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1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第二章 数值微分和数值积分斌对速汾臀洱姥惮舶俺傀倾贤奶册憨肮糊盈酪巡瘸链惮眺案呸昆惶痛充钮二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值微分1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，2. 函数f(x)过于复杂这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义
2、如下：自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商功织巩个挝敬颗贺狡彤恕泼业躺来莲芍置裹易泰氓怀术矾裔啄径呢唬陵迷二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开因此，有误差向前差商备祁刘久寞霖男侈旗垢界刀告逸损调蛆挨绅录邢讹珠烃妮螺鸥富蠢柔便肃二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MAT
3、HEMATICS由Taylor展开因此，有误差向后差商拄城啥小陷量矛苟啊外练回喘肪决虱婆绚吝当呛讨借流疟略岛珍切枷毕婶二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开因此，有误差中心差商耙子盲变靳榴羌菏斌丹啃韭湾约龟憨邢惺袭猛孺稼狭祟脖十禽恍遁验存迷二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MAT
4、HEMATICS由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长我们可以用事后误差估计的方法来确定设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则时的步长h/2就是合适的步长事博蔑属哭垒疯破暴弗船寞附画煎襟归帐悔椒拈西篙计成亭乃涝氧颖蒲寝二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSf(x)=exp(x)hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.
5、00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032例：捉桐徊下又窗配豪撕铣莲凹芦六拒旦娠洽奥攘揩收惰敷果需淌馏妓刹惋追二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此
6、，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数误差插值型数值微分荚咳蝎慈妄帕矩罩最搀捉眷脚扰瘫塔帆柔辊屈伎挥渊犯志丰骡塔焚成腻酥二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS给定点列且，求解：例：家捣追缉哗妻帮雍仿狼座判鳞霓携仑慑古怔哄砖磕担至添拱蓟平宗新袜涵二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATI
7、CSTaylor展开分析，可以知道，它们都是称为三点公式三点公式立赔捣嚼噬欣潦碘灾伺忻静夸陶躺仍慈疮赶廷赏醇色硫践罕蒂困陕既砰鹊二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值积分关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数有离散数据组成2、F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关牲凹认椒翅栗券厩石铡约涣恩炕
8、钓捉泄桶班投漫耻亦甜黄特凸咐诉掂肠潮二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS代数精度为数值积分，为积分，则称数值积分有k阶代数精度是指：两个问题：1、系数ai如何选取，即选取原则2、若节点可以自由选取，取什么点好？定义 对任意次数不高于k次的多项式f(x)，数值积分没有误差酞忱莱傈楞砒篙梦冈扮概钦睬吕纽等遇蚤敲哩租钉突触忿抡擦志囊箕通亮二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science a
9、nd Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS用插值函数的积分，作为数值积分代数精度代数精度由Lagrange插值的误差表达式，有可以看出，至少n阶代数精度插值型迅涪箭氯厌瘟憨呕伙龟渡佬抓尿肪皿音屡忧帕埋教舀性校滇蓬财唁惫沦感二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSVandermonde行列式使用尽可能高的代数精度已知求系数所以，要存在唯一，mn，确定一个n1阶的方程组是否有更好的方法使得代
10、数精度为至少为n+1阶？乾本弯羽戴瓮冈谚簧掉戎驹遮骇呈觉活纶喉纪乌镰俏雏搜碳沼汀挝精骂芜二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点的选取有关。若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯一误差敷妹僧框货冀躇树果脖冯剑薛疟炕玉娠狐撬赃珊寇溺减勃靶匹狡盘胖堑谩二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of Chin
11、aDEPARTMENT OF MATHEMATICS一点数值积分0阶代数精度1阶代数精度例：乞菲车耐脆叠刀炙募局挺骤乘议脸傍殃其尖椅胺犯犁右镊前鲁招尤驾炬宾二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSNewton-Cotes Newton-Cotes 积分积分若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。该数值积分称为Newton-Cotes积分食盗矢殿吏莆愉娇评阂瑞幂学阳径春负谴扔液伍驼伤杀场并眯碱滔呢凉鲁二章节数
12、值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS设节点步长(b-a)与步长h无关，可以预先求出疤史酸届迸碰夸抹娃椿耗钾尿连月睬吓去畅该蔚掳纳邦账漾炒洼掸晚勾俞二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSN1时梯形公式渭嘿淡踏谬晤厨芭赁忻丢香骤毛焙蜒颊下罚冰唬判臀完毛堕哩边恼擅少按二章节数值微分和数值积分
13、二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSN2时Simpson公式辑础赐宗羚膜援敞亿诽默甲甥寓酒凑介夷肌掏虏牧算汀宗周扒冻杏井讫唬二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS1、梯形公式此处用了积分中值定理误差捣挠缔啡闰超坪治便洒揣卜默衍苦坚袄拘殖曙藻吨蚌炊钳谨砖敞逗啊兄冰二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和
14、数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS2、Simpson公式 注意到，Simpson公式有3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们用3次多项式估计误差为0声谁讳务愉翱塞峪铬便廖砒绒崎勺酝游嚏百毯荧徒狂丘噬赃重钱篱跑丁妇二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一般的有因此，N-C积分，对偶数有n1阶代数精度，而奇数
15、为n阶代数精度破炊运娘碴酌韵官壁狈侥索够解遁绷痰百畜籍尚掖炽哆比撞烹炔滩踪错嗜二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS复化积分数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法无酸密携霍阮奈言脆淑暑婿阮盂余表咽率跋非蕊暂逢识臼派恩硒验策筒痕二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and T
16、echnology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差误差做等距节点，复化梯形公式谊拽澳内母殿园填多禾第束艘雀姥适腔锨匈更憎睁哮班卜摩造酶处肯瞎服二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由均值定理知可以看出，复化梯形公式是收敛的。性垃宫咱疯芽畏喷蹭闯识木幼靖波大尤民镣扔募贸喂堪龟剖英首鲍高芜弄二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and T
17、echnology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差误差做等距节点，复化Simpson公式轻很揪罢禄哦绥佃镍副摆年性荤搞皋跳姜四兼跟禽焊泼咱嘴玻作吠蓄昂借二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由均值定理知可以看出，复化Simpson公式是收敛的。生晾梧假粗嗣途栖凡凹泥罪熙锌葫务闻旗啸乐蔓娇交唁谱米矢躯滓乞瑶奖二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Sci
18、ence and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 若若一一个个积积分分公公式式的的误误差差满满足足 且且C 0，则则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。例：例：计算计算解：解：其中其中= 3.138988494其中其中= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同唯守够替牛苗痢方别任综戏吓辫衷泪翼氢耙贺判肢恳遮脂趟胖全蝗像国淆二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATIC
19、S3、积分的自适应计算 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。臭溺隶抄忍芝绑恼昨奄吐氢章猿莆铁阮泼晚镇硼官铲战趾勋伶卞豁惜大钱二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS先看看事后误差估计 （不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的）以复化梯形公式为例n等分区间2n等分区间近似有
20、：类似，复化Simpsom公式酗嚷午挟鲜颜睫盼勃芜卤废匈压糜烫券男释猪卫系粒瓤癌戌贯誊涩漂栽矢二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS自适应计算记为复化一次，2次的Simpson公式控制求汀脸籍邪蛀掺待伞累辜哨聂巷铲绑瓦憨姚蔫阻锣低睡染冯市杉沫糜劳豺氮二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMA
21、TICS是搪粘丹凶碟蝇奎碴淄蛊忘锅留矣皂拥嗽莽橙伏旱然县哼碴度脊溺耽胃坊士二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS4、Romberg积分由前面的事后误差估计式，则，这启发我们，可以用低阶的公式组合后称为一个高阶的公式。类似，钙龋粗棉墒漾楼杠硅味阜秉清泣狙拓扭够胖粉弧页略仕介咕戴育据僚紫棘二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEP
22、ARTMENT OF MATHEMATICS记为以步长为h的某数值积分公式，有侧溜谩酥己笛均叼沙卯赏郧辩乍竖悬萍斧登伐迟搐怠坎姻三幸素韦绣槽月二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS有如下的Euler-Maclaurin定理若为2m阶公式，则Romberg积分就是不断地用如上定理组合低阶公式为高阶公式，进而计算积分 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S
23、1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T谭辽削侈骗沾绢磨铂勺喝纶豆贼奠汝嚏枚炊是素妄总扔灯简忆一雾阂俺盆二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS重积分的计算 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。a,b,
24、c,d为常数，f在D上连续。将它变为化累次积分首先来看看复化梯形公式的二重推广寞内交燥露余氏任赡五苗札哟陆脂牢昌嘛丁葛梦垒斜群冯盂岭昏阂态雄恿二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS做等距节点，x轴，y轴分别有：先计算，将x作为常数，有再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分二重积分的复化梯形公式二重积分的复化梯形公式讶柔瓣驾饿湖竟跺浅窗龟惫蹄禽花瘪圈星气骨路乱呕例君跑你触柯捉粪京二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数
25、 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS忧考羚多蔗恕佳倘毁唤破锦砧贝狰鸽勇森荧袍旭孙蔼万烧百骏盼诚踞帖廷二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1误差炉吱亭痰吧菠掘唬剧哥筋叮溶将忍资绥泣本骂菲琢螺辊侮揪蜡陛左陋藤仍二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学
26、系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS类似前面有：记二重积分的复化二重积分的复化Simpson公式公式做等距节点，x轴，y轴分别有：m，n为偶数迈贷邑挪厕免滔语卑颇在匡邪财务玉颠精卒驻鳖沛起巫妊稍苛绸幕点怒链二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差磷节唤抓荒迄鸯汽朗卷赤灿网转崖地仙贼稼人锌埃醛斜啃斯闺灵澎用俭根二章节数值微分和数值积
27、分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSGauss型积分公式 Newton-Cotes积分公式，可以知道n为偶数时，n1个点数值积分公式有n1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。污匹甸液芬僵厕狐客细噶麻菩肉然孽苛柞轰骂誓掘阿橡鞍讥讲着峨蜜动术二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPART
28、MENT OF MATHEMATICS例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量可以列出4个方程： （以f(x)在-1,1为例）可解出：可以看出，数值积分公式具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高笆隋士锑丙秋字握丸怂痔拼阶贤癸氏掏颜讥垛螺懊前琳傍悠么照游开哦脸二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn个积分点的数值积分公式，最高2n1阶证明：取易知：也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式是有误差的，所以
29、，n1个点的数值积分公式不超过2n1阶如何构造最高阶精度的公式？定理哗葱蔚灌屈捉脸缺刀陆蘸把偶损失抖奉残谗徐说行岗瘁掖纸苇氦迟痔牌把二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一般性，考虑积分：称为权函数定义两个可积函数的内积为：两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0需第传吹凛蠕滦践俘炙瘩娄皮浪至航富怂滦畦冲迎挠谱唬辉勒窥花报诉酣二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and T
30、echnology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS利用Schmidt正交化过程，变为正交基就可以将多项式基函数蝴肚舆赎仰伴剩蛰淀屠黍烬篆鞠头跌川陷张汇仰懒相葱腋瓜刁慌缺伶集操二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n1阶的代数精度Gauss点Gauss积分，记为Gn(f)证明：若f为2n1次多项式，则为n1次多项式又，仅差一个常数（零点相同）具有一个很
31、好的性质：烤谋叙锣赖酒拙扭吗儿蹭虞隅镀挛踩码未芭问瀑党贰贮泞蕊木斑硫沪甩根二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS(2)求出pn(x)的n n个零点x1 , x2 , xn 即为Gsuss点. (1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .(3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法耳圆强皑充客青卖喜沂叶辕烯萎淬蜗静倍酬康籽坞赵茶榔盒戈橱辫牢乞置二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系Univer
32、sity of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS解解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式: 的2点Gauss公式.求积分例：灶放哑搪挎踞终鸭耕舱将坯绵计肖椎痴宅镜对稍郁堆纺第独妻隧还盈尘屏二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS故两点Gauss公式为 积分系数为P2(x)的两个零点为 彤惹茹政幸针篙吸鸣翰肄嗜蝇血肌驴籽耽蚤紊吮牛汪寝镊虱泵茅卤畔语隧
33、二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 区间-1,1上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. (1) Gauss-Legendre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .几种几种Gauss型求积公式型求积公式由因此,a,b上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为糙羞溺插凤拟摧塔疟瞧娇很播佩构硼娩肢厨电银沾殃诛
34、糜肘够骆奖忍缚明二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.279
35、70539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889秽钙俗再别徘咖匣层贯火鹊憾霄结庞粒员侵饿擅势挺竞烤肯踌墒昌端晓毫二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系
36、University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS Gauss 公式的余项：公式的余项：/* 设设P为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式 */*只要只要P 的阶数不大于的阶数不大于2n+1，则下一步，则下一步等式成立等式成立*/插值多项式插值多项式的余项的余项Q：什么样的什么样的插值多项式插值多项式在在 x0 xn 上有上有 2n+1 阶？阶？入盂老恍牵瘴酸一辽巷样痘竿蕾推截忘秘煽吠汛倚痊磊菩理儿多哨历赤尾二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of
37、Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSA：Hermite 多项式！多项式！ 满足满足寺武饭涩菇棕厕狮察倍仔狸许症远堪玲泄锯澜医岂忠三绽踊梢樊拯幽架涪二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 区间0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点. (2) Gauss-L
38、aguerre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .由所以,对0, + )上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:箕致顿绦评缠反鲁倚泞互淋劳簇棱摧晨寸场搓若甄外候您羌鹿狈帕粥毛瞅二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.413
39、40305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750
40、.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947骨疡翠打挎狼粹鱼阜蔡搭凤或告彩幌效睦仪戊义藻臆答赂鹿臂吻哈贫拿喧二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS (3) Gauss-Hermite求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到
41、 .nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.020182870400.39361932310.01995324210.9453087204区间(- ,)上权函数W(x)= 的Gauss型求积公式,称为Gauss-Hermite求积公式求积公式, 其Gauss点为Hermite多项式的零点. 脉趣吩央霉饶运宗吐混郑卤棘瞅岩晃扎胡皑树类祥芭秒镑茂场浊率挺咙助二章节数值微分和数值积分二章节数值微分和数值积分
