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1、误差理论与数据处理第4章 测量不确定度主菜单结束4-4-1 1 误差理论与数据处理教学目标本章介绍用测量不确定度来评定和表示测量结果的基本概念和方法，要求正确掌握测量不确定度的若干名词术语，会分析不确定度的来源，掌握标准不确定度的两类评定、合成标准不确定度和扩展不确定度的求取方法，还应学会正确表示测量结果的方式。 主菜单结束2 2 误差理论与数据处理教学重点和难点v 不确定度的基本概念v A类不确定度评定v B类不确定度评定v 自由度v有效自由度v合成不确定度v扩展不确定度v测量结果的表示方法主菜单结束3 3误差理论与数据处理第一节 研究不确定度的意义 主菜单结束4-4-4 4 误差理论与数据
2、处理一、研究不确定度的必要性一、研究不确定度的必要性误差概念和误差分析在用于评定测量结果时,有时显得既不完备，也难于操作。 一种更为完备合理、可操作性强的评定测量结果的方法。 寻寻求求诞诞生生测量不确定度 主菜单结束5 5 误差理论与数据处理二、不确定度的由来二、不确定度的由来 v1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确定度关系。 v1953年Y.Beers在误差理论导引一书中给出实验不确定度。 v1970年C.F.Dietrich出版了不确定度、校准和概率。 v1973年英国国家物理实验室的J.E.Burns等指出，当讨论测量准确度时，宜用不确定度。 v1978年国际计量局发出
3、不确定度征求意见书，征求各国和国际组织的意见。 v1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1（1980）。 主菜单结束6 6 误差理论与数据处理不确定度的由来不确定度的由来( (续续) ) v1981年10月国际计量委员会提出了建议书（CI-1981），同意INC-1。 v1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生产、科学研究中的不确定度指南。 v1993年出版了测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）。 v1999年中国人民解放军总装备部批准发布了GJB 3756-
4、99 测量不确定度的表示及评定。v1999年国家质量技术监督局批准发布了JJF 1059-1999 测量不确定度评定与表示,这规范原则上等同采用了GUM的基本内容。主菜单结束7 7 误差理论与数据处理三、不确定度的应用领域三、不确定度的应用领域 （1）一些产品生产过程中的质量检测、质量保证与控制，以及商品流通领域中的商品检验等有关质量监督、质量控制和建立质量保证体系的质量认证活动；（2）建立、保存、比较溯源于国家标准的各级标准、仪器和测量系统的校准、检定、封缄和标记等计量确认活动；主菜单结束8 8 误差理论与数据处理（3）基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验，以及实验室认可活动；（4）科
5、学研究与工程领域内的测量，以及与贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境与资源监测等有关的其他测量活动；（5）用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的评定，以及对测量和测量器具的设计和合格评定。不确定度的应用领域不确定度的应用领域( (续续) ) 主菜单结束9 9误差理论与数据处理第二节第二节 不确定度的基本概念不确定度的基本概念4-4-1010 误差理论与数据处理一、不确定度的定义一、不确定度的定义测量不确定度测量不确定度（uncertainty of measurement） 测量结果带有的一个参数，用于表征合理地赋予被测量值的分散性。 该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准差或其倍数
6、，或说明了置信水平的区间半宽度。该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定度分量 该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行方差和协方差合成得到。所得该参数的可靠程度一般可用自由度的大小来表示 该参数是用于完整地表征测量结果 主菜单结束1111 误差理论与数据处理二、不确定度的来源二、不确定度的来源 （1）对被测量的定义不完整或不完善 （2）复现被测量定义的方法不理想 （3）测量所取样本的代表性不够 （4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善 （5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差 （6）仪器计量性能上的局限性 主菜单结束1212 误差理论与数据处理（7）赋予测量标准和标
7、准物质的标准值的不准确 （8）引用常数或其它参量的不准确 （9）与测量原理、测量方法和测量程序有关的的近似性或假定性 （10）在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随机变化 不确定度的来源（续）不确定度的来源（续） 主菜单结束1313 误差理论与数据处理（11）对一定系统误差的修正不完善 （12）测量列中的粗大误差因不明显而未剔除 （13）在有的情况下，需要对某种测量条件变化，或者是在一个较长的规定时间内，对测量结果的变化作出评定。应把该相应变化所赋予测量值的分散性大小，作为该测量结果的不确定度。 不确定度的来源（续）不确定度的来源（续） 主菜单结束1414 误差理论与数据处理三、不确定度评定
8、方法的分类三、不确定度评定方法的分类 A A类评定类评定（type A evaluation of uncertainty） 指用对样本观测值的统计分析进行不确定度评定的方法。 B B类评定类评定（type B evaluation of uncertainty） 指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。 主菜单结束1515 误差理论与数据处理四、几个相关的名词与概念四、几个相关的名词与概念 标准不确定度标准不确定度（standard uncertainty） 用标准差表示测量结果的不确定度，一般用符号u来表示。对于不确定度分量，常在u上加小脚标进行表示，如u1，u2，un等。 合
9、成（标准）不确定度合成（标准）不确定度（combined standard uncertainty） 当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或）协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果随这些量变化的情况而定。用符号uc表示。 主菜单结束1616 误差理论与数据处理扩展不确定度扩展不确定度（expanded uncertainty） 规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U或UP表示。 包含因子包含因子（coverage factor） 为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号k或k
10、P来表示。在国内，有的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。 几个相关的名词与概念几个相关的名词与概念 主菜单结束1717误差理论与数据处理第三节标准不确定度评定主菜单结束4-4-1818 误差理论与数据处理一、一、A A类评定方法类评定方法采用统计分析的方法评定标准不确定度，用实验标准差或样本标准差表示。 单次测量值作为被测量的估计值 当用n次测量的平均值作为被测量的估计值 单次测量的实验标准差 n次测量的实验标准差计算实验标准差的方法：贝塞尔公式，极差法 主菜单结束1919 误差理论与数据处理二、二、B B类评定方法类评定方法 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必
11、然要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要 主菜单结束2020 误差理论与数据处理 过去的测量数据 测量仪器的特性和其他相关资料等； 测量者的经验与知识； 假设的概率分布及其数字特征。 1 1、B B类评定的信息来源类评定的信息来源 校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件 生产厂家的技术说明书 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给出的参考数据及不确定度值等主菜单结束2121 误差理论与数据处理2 2、B B类评定的方法类评定的方法 （1）若由先验信息给出测量结果的概率分布，及其“置信区间”和“置信水平”
12、 置信区间的半宽度 置信水平的包含因子 （2）若由先验信息给出的测量不确定度U为标准差的k倍时 （3）若由先验信息给出测量结果的“置信区间”及其概率分布 置信区间的半宽度 置信水平接近1的包含因子 主菜单结束2222 误差理论与数据处理几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（1 1）舍入误差）舍入误差 舍入误差的最大误差界限为0.5（末），按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （2 2）引用误差）引用误差 测量上限为的级电表，其最大引用误差限（即最大允许不确定度）为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 主菜单结束2323 误差理论与数据处理（3 3）示值误差）示值误差 某些测量仪器是按符合“最大
13、允许误差”要求而制造的，经检验合格，其最大允许误差为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （4 4）仪器基本误差）仪器基本误差 设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能达到的最大误差限为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计主菜单结束2424 误差理论与数据处理（5 5）仪器分辨力）仪器分辨力 设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （6 6）仪器的滞后）仪器的滞后 滞后引起的标准不确定度为 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计主菜单结束2525 误差理论与数据处理设校准证书给出名义值10的标准电阻器的电阻，测量
14、结果服从正态分布，置信水平为99。求其标准不确定度。 【例【例4-14-1】【解】【解】根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽度 查表得计算主菜单结束2626误差理论与数据处理三、自由度三、自由度主菜单结束4-4-2727 误差理论与数据处理研究自由度的意义研究自由度的意义 由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈大，标准差愈可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定质量 不确定度的评定质量标准差的可信赖程度自由度主菜单结束2828 误差理论与数据处理自由度的概念对于一个测量样本，自由度等于该样本数据
15、中n个独立测量个数减去待求量个数1。 对某量X进行n次独立重复测量，用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。 按估计相对标准差来定义的自由度称为有有效自由度效自由度 （或）情形1情形2情形3自由度自由度（degrees of freedom） 计算总和中独立项个数，即总和的项数减去其中受约束的项数。 主菜单结束2929 误差理论与数据处理A A类评定的自由度类评定的自由度 最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式 34567891015201234567891419Bessel公式最大误差法极差法1.92.6 3.33.94.65.25.8 6.46.98.3 9.50.91.8 2.
16、73.64.55.36.0 6.87.510.513.1表表4-3 4-3 几种几种A A类评定不确定度的自由度类评定不确定度的自由度 10.9主菜单结束3030 误差理论与数据处理B B类评定的自由度类评定的自由度 对于B类评定的不确定度，其自由度一般通过相对标准不确定度来折算。 00.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.5050 128632自由度表表4-44-4相对标准不确定度与自由度的关系相对标准不确定度与自由度的关系 相对标准不确定度主菜单结束3131误差理论与数据处理四、应用举例主菜单结束4-4-3232 误差理论与数据处理用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量10次，得
17、到的测量列如下（单位：mm） 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08 求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量及其自由度。 【例【例4-24-2】【解】【解】本例估计的是重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量，可根据已知样本数据进行类评定主菜单结束3333 误差理论与数据处理按极差法求取极差 查表3-1得， 则标准差 查表7-3其自由度 用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。 由贝塞尔公式其自由度计算结果主菜单结束3434 误差理论与数据处理某激光管发出的激光之波长，
18、经检定为 后来又用更精确的方法，测得该激光管的波长为，试估计原检定波长的标准不确定度及其自由度。 【例【例4-34-3】【解】【解】查表7-3其自由度用了更精确的方法测量激光管的波长，故可认为约定真值为则原检定波长的真误差为可用最大误差法进行类评定，因n=1，查表得 则标准差即原检定波长的标准不确定度 主菜单结束3535误差理论与数据处理第四节合成不确定度主菜单结束4-4-3636 误差理论与数据处理一、一、 合成公式合成公式合成标准不确定度合成标准不确定度 当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。 第个标准不确定度分量
19、第和第j个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数 合成标准不确定度 主菜单结束3737 误差理论与数据处理间接测量的合成标准不确定度公式间接测量的合成标准不确定度公式 输出量估计值 的标准不确定度 输入量估计值 和 的标准不确定度 函数 在 处的偏导数，称为灵敏系数灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数传播系数； 和 在 处的相关系数 标准不确定度传播公式 主菜单结束3838 误差理论与数据处理不确定度分量合成公式 直接测量的不确定度分量 直接测量的不确定度分量的合成公式 记主菜单结束3939 误差理论与数据处理简单的合成公式当 和 相互独立时, 标准不确定度传播公式 主菜单结束
20、4040 误差理论与数据处理常见的间接测量函数模型常见的间接测量函数模型（1）设 , 各之间互不相关，则有 （2）设 ，各之间互不相关，则有 相对标准不确定度的表示形式 主菜单结束4141 误差理论与数据处理二、有效自由度二、有效自由度 合成标准不确定度的自由度称为有有效自由度效自由度，一般用 来表示。 设被测量有个影响测量结果的分量，记为 ，当各分量均服从正态分布，且相互独立时，可根据韦尔奇-萨特思韦特（Welch- Satterthwaite）公式来计算其合成标准不确定度的有效自由度。 主菜单结束4242误差理论与数据处理三、应用举例主菜单结束4-4-4343 误差理论与数据处理【例【例4
21、-44-4】某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度和有效自由度。 来源序号12345合成结果基准尺读数电压表电阻表温度1.01.01.42.02.05104161不确定度符号数值符号数值自由度3.57.8主菜单结束4444 误差理论与数据处理【解】【解】根据题意，按式(1)计算合成标准不确定度 有效自由度计算结果主菜单结束4545 误差理论与数据处理被测电压的已修正结果为，其中重复测量6次的算术平均值=0.928571V，A类标准不确定度为 。修正值，修正值的标准不确定度由B类评定方法得到，估计的相对误差为25%。试求V的合成标
22、准不确定度、相对标准不确定度及其自由度。 【例【例4-54-5】【解】【解】由合成标准不确定度的计算公式得 主菜单结束4646 误差理论与数据处理自由度查B类评定自由度表得 有效自由度 相对标准不确定度为 计算结果计算结果主菜单结束4747 误差理论与数据处理测量环路正弦交变电位差幅值V，电流幅值I，各重复测量5次，得到如下表所示的数据，相关系数=0.36，试根据测量值，求阻抗R的最佳值及其合成标准不确定度。 【例【例4-64-6】5.007次数123454.9945.0054.9904.99919.63919.663电位差幅值V 电流幅值mA 19.64019.68519.675主菜单结束4
23、848 误差理论与数据处理【解】【解】根据算术平均值和标准差的计算公式得 算术平均值和标准差的计算主菜单结束4949 误差理论与数据处理计算结果电阻的最佳值为 合成标准不确定度 相对标准不确定度为 主菜单结束5050误差理论与数据处理第五节扩展不确定度主菜单结束4-4-5151 误差理论与数据处理一、概述扩展不确定度的两种方法表示扩展不确定度的两种方法表示 在传统场合多用合成标准不确定度 来表示测量结果的分散性，但在许多领域，常要求用扩展不确定度来表示 合成标准不确定度乘以包含因子 给定的置信概率或置信水平主菜单结束5252 误差理论与数据处理包含因子的确定方法自由度法超越系数法简易法 扩展不
24、确定度表示方法中，关键是确定包含因子常用方法主菜单结束5353 误差理论与数据处理自由度法自由度法 有效自由度 置信水平，常取95%或99% 扩展不确定度近似按下两式表示 包含因子可取为 当 足够大时, 或 主菜单结束5454 误差理论与数据处理设，输入量、服从正态分布，分别用独立重复测量了=10、=5、=15次的算术平均值、和作为它们的估计值，相对标准不确定度分别为=0.25%、=0.57%、=0.82%，试计算相对合成标准不确定度、有效自由度和扩展不确定度（置信水平为95%）。 【例【例4-74-7】【解】【解】根据合成标准不确定度的计算公式，得 主菜单结束5555 误差理论与数据处理由于
25、 则根据有效自由度计算 查t分布表得 最后得相对扩展不确定度 计算结果计算结果主菜单结束5656 误差理论与数据处理超越系数法超越系数法 当无法获得自由度信息，而大致知道测量分布且为对称分布时，可以根据分布的四阶矩（即超越系数）来确定其包含因子。 合成分布的超越系数 设有若干个不确定度分量 ，每个分量对应的分布均对称，其超越系数 (可查表得到)，合成标准不确定度为 算得 后，再查表，即可得合成分布的包含因子 表见课本P142主菜单结束5757 误差理论与数据处理【例【例4-84-8】已知影响某测量结果的有六个主要的不确定度源，其分布及大小见下表所示。假设它们之间相互独立，试按置信水平，估计其扩
26、展不确定度。 序号分布区间半宽度 分布因子标准差超越系数1均匀0.061.710.03511.22均匀0.321.710.1871.23均匀0.501.710.2921.24反正弦0.631.410.4471.55反正弦0.561.410.3971.56正态0.100序号1.62.320.6990.45主菜单结束5858 误差理论与数据处理【解】【解】根据各自所服从的分布和给定的区间半宽度，获得分布因子和标准差，以及超越系数，列于上表（加红字）。 合成标准不确定度 超越系数 根据，查超越系数表7-7并插值计算得，最后，得扩展不确定度 计算结果计算结果5959 误差理论与数据处理简易法简易法 不
27、知道自由度和有关合成分布的信息，被测量值的估计区间及其置信水平。 怎么办？取包含因子k=2或3 简易法主菜单结束6060 误差理论与数据处理【例【例4-94-9】用卡尺对某工件直径重复测量了三次，结果为15.125，15.124和15.127mm。 试写出其测量的最佳估计值和测量重复性。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差为0.025mm，假设测量服从三角分布（置信因子取），估计其不可信赖程度为25%。试表示其测量结果。 【解】【解】（1）计算算术平均值和测量重复性 因，用极差法估计s，有 主菜单结束6161 误差理论与数据处理（2）用A类评定方法估计测量不确定度分量之一 计算算术平均
28、值的标准偏差，即多次测量的重复性 （3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二 （4）求合成标准不确定度 合成不确定度的计算主菜单结束6262 误差理论与数据处理求扩展不确定度 自由度法自由度法 其不可信赖程度为25%，卡尺允许误差极限分量的自由度为 重复测量分量的自由度为 则有效自由度 扩展不确定度 6363 误差理论与数据处理超越系数法超越系数法 重复测量分量服从正态分布，有 卡尺允许误差极限分量服从三角分布，查表有 计算超越系数 按，查超越系数表得扩展不确定度简易法简易法 取，有 扩展不确定度的计算 主菜单结束6464 误差理论与数据处理第六节测量结果表示方法一个完整的测量结果 被测量的
29、最佳估计值，一般由算术平均值给出 有关测量不确定度的信息 6565 误差理论与数据处理一、测量结果报告的基本内容一、测量结果报告的基本内容 测量不确定度用合成标准不确定度表示 合成标准不确定度 自由度 测量不确定度用扩展不确定度表示 扩展不确定度U 合成标准不确定度 自由度 包含因子置信水平 主菜单结束6666误差理论与数据处理二、二、 测量结果的表示方式测量结果的表示方式主菜单结束4-4-6767 误差理论与数据处理、合成标准不确定度表示方式、合成标准不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度 (1)，或，(2)(3)括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果
30、的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样主菜单结束6868 误差理论与数据处理2 2、扩展不确定度表示方式、扩展不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度包含因子，扩展不确定度 或或或主菜单结束6969 误差理论与数据处理包含因子或或扩展不确定度表示方式扩展不确定度表示方式 扩展不确定度主菜单结束7070 误差理论与数据处理三、数字位数与数据修约规则三、数字位数与数据修约规则 在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以下几条原则 (1) 最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位当保留一位有效数字时，按“三分之一原则”进行修约。多余部分推荐多余
31、部分推荐当保留两位有效数字时，按“不为零即进位”；0.001 1010.001 2 0.001 001 0.001 主菜单结束7171 误差理论与数据处理多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原则进行舍弃截断或进位截断。 (2) 被测量的估计值的位数也要进行相应的修约修约后的不确定度数值的位数对齐被测量的估计值 已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000 54 0.001 2 20.000 5 20.000 56 0.001 2 20.000 6 20.000 55 0.001 2 20.000 6 四舍六入逢五取偶被测量的估计值的位数的修约主菜单结束7272 误差理论与数据处理在最终
32、表示测量结果的场合，规范和完整的表示方式有以下两种：（1）区间半宽度表示方式： 测量结果 = 最佳估计值 测不准部分（单位）（置信水平，自由度）（2）标准偏差表示方式： 测量结果 = 最佳估计值 （ 测不准部分）（单位）（自由度）测量结果的最终表示主菜单结束7373 误差理论与数据处理【例【例4-104-10】用数字电压表测量某直流电压问题 用数字电压表在标准条件下对10伏直流电压进行了10次测量，得到10个数据如下表所示。由该数字电压表的检定证书给出，其示值误差按3倍标准差计算为3.510-6 V。同时，在进行电压测量前，对数字电压表进行了24小时的校准，在10V点测量时，24小时的示值稳定
33、度不超过15V。试分析评定对该10伏直流电压量的测量结果。1234567891010.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094主菜单结束7474 误差理论与数据处理计算最佳估计值 10次电压测量的算术平均值 分析测量不确定度来源 （3）数字电压表测量重复性引起的不确定度u3（1）数字电压表示值稳定度引起的不确定度u1（2）数字电压表示值误差引起的不确定度u2【解】【解】计算步骤主菜单结束7575 误差理论与数据处理不确定度评定 （1）数字电压表示值稳定度引起的不
34、确定度分量u1 24小时的示值稳定度不超过15V。按均匀分布考虑，其置信因子为，则得标准不确定度分量 给出示值稳定度的数据可靠，按不可靠性10%考虑，取其自由度 7676 误差理论与数据处理（2）数字电压表示值误差引起的不确定度分量u2 示值误差按3倍标准差计算为 故在10V点测量时，由其引起的标准不确定度分量 由检定证书给出的示值误差数据可靠，取其自由度 不确定度评定 主菜单结束7777 误差理论与数据处理（3）电压测量重复性引起的不确定度分量u3 贝塞尔公式计算标准差 算术平均值的标准差 算术均值为测量结果重复性引起的不确定度分量 其自由度 不确定度评定 主菜单结束7878 误差理论与数据处理计算合成标准不确定度 根据韦尔奇-萨特思韦特公式，其有效自由度为 由于不确定度分量u1、u2、u3相互独立，它们之间的相关系数为0。根据合成标准不确定度的计算公式得 主菜单结束7979 误差理论与数据处理计算扩展不确定度 取置信概率为99%，包含因子 故该电压测量结果的扩展不确定度 测量结果报告 用数字电压表测量该直流电压的结果 计算结果主菜单结束8080
