《2012届总复习-走向清华北大--42抛物线.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届总复习-走向清华北大--42抛物线.ppt（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四十二讲第四十二讲 抛物线抛物线回归课本回归课本1.1.抛物线的定义抛物线的定义平面内与平面内与一个定点一个定点F F和和一条直线一条直线l(Fl(F l)l)的距离的距离相等相等的点的轨的点的轨迹叫做抛物线迹叫做抛物线. .2.2.抛物线的标准方程和几何意义抛物线的标准方程和几何意义考点陪练考点陪练1.(20101.(2010湖南湖南) )设抛物线设抛物线y y2 2=8x=8x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是4,4,则点则点P P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是( )( )A.4A.4B.6B.6C.8C.8D.12D.12解析解析: :由抛物线的方程得由抛物
2、线的方程得 再根据抛物线的定义再根据抛物线的定义, ,可知所求距离为可知所求距离为4+2=6,4+2=6,故选故选B.B.答案答案:B:B解析解析: :如图如图, ,由直线的斜率为由直线的斜率为 得得AFH=60AFH=60,FAH=30,FAH=30, ,PAF=60PAF=60. .又由抛物线的定义知又由抛物线的定义知|PA|=|PF|,|PA|=|PF|,PAFPAF为等边三角形为等边三角形, ,由由|HF|=4|HF|=4得得|AF|=8,|AF|=8,|PF|=8.|PF|=8.答案答案:B:B3.(20103.(2010陕西陕西) )已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p0)
3、=2px(p0)的准线与圆的准线与圆(x-(x-3)3)2 2+y+y2 2=16=16相切相切, ,则则p p的值为的值为( )( ) 解析解析: :由已知由已知, ,可知抛物线的准线可知抛物线的准线 与圆与圆(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=16=16相切相切. .圆心为圆心为(3,0),(3,0),半径为半径为4,4,圆心到准线的距离圆心到准线的距离 解得解得p=2.p=2.故选故选C.C.答案答案:C:C4.4.若点若点P P到点到点F(0,2)F(0,2)的距离比它到直线的距离比它到直线y+4=0y+4=0的距离小的距离小2,2,则则P P的轨迹方程为的轨迹方程为( ( )
4、)A.yA.y2 2=8x=8xB.yB.y2 2=-8x=-8xC.xC.x2 2=8y=8yD.xD.x2 2=-8y=-8y解析解析: :由题意知由题意知,P,P到到F(0,2)F(0,2)的距离比它到的距离比它到y+4=0y+4=0的距离小的距离小2,2,因因此此P P到到F(0,2)F(0,2)的距离与到直线的距离与到直线y+2=0y+2=0的距离相等的距离相等, ,故故P P的轨迹的轨迹是以是以F F为焦点为焦点,y=-2,y=-2为准线的抛物线为准线的抛物线, ,所以所以P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2=8y.=8y.答案答案:C:C答案答案:A:A类型一类型一抛物线的
5、定义抛物线的定义解题准备解题准备: :利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化点和准线的距离相互转化. .例如若点例如若点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )是抛物线是抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的任一点上的任一点, ,则该点到抛物线的焦点则该点到抛物线的焦点F F的距离的距离 ( (焦半径公式焦半径公式),),这一公式的直接运用会为这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便. .在求过焦点的一弦长时在求过焦点的一弦长时, ,经
6、常将其转化为两端点到准线的距经常将其转化为两端点到准线的距离之和离之和, ,再用根与系数关系求解再用根与系数关系求解, ,有时也把点到准线的距离有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解转化为点到焦点的距离进行求解. .【典例典例1 1】(1)(1)在抛物线在抛物线y y2 2=4x=4x上找一点上找一点M,M,使使|MA|+|MF|MA|+|MF|最小最小, ,其其中中A(3,2),F(1,0),A(3,2),F(1,0),求求M M点的坐标及此时的最小值点的坐标及此时的最小值. .(2)(2)已知抛物线已知抛物线y y2 2=2x=2x和定点和定点 抛物线上有动点抛物线上有动点P,
7、PP,P到到点点A A的距离为的距离为d d1 1,P,P到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为d d2 2, ,求求d d1 1+d+d2 2的最小的最小值及此时值及此时P P点的坐标点的坐标. . 解解 要求最小值问题要求最小值问题, ,可考虑抛物线的定义可考虑抛物线的定义, ,通过定义转化为通过定义转化为“两点之间线段最短两点之间线段最短”及及“三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边”这一结论这一结论. .(1)(1)如图如图, ,点点A A在抛物线在抛物线y y2 2=4x=4x的内部的内部, ,由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,
8、|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中其中|MH|MH|为为M M到抛物线的准线的距到抛物线的准线的距离离. .过过A A作抛物线的准线的垂线交抛物线于作抛物线的准线的垂线交抛物线于M M1 1, ,垂足为垂足为B,B,则则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|MA|+|MF|=|MA|+|MH|AB|=4(|AB|=4(当且仅当点当且仅当点M M在在M M1 1的位置的位置时时),),此时此时M M点的坐标为点的坐标为(1,2).(1,2). (2)(2)如图如图, ,点点 在抛物线在抛物线y y2 2=2x=2x的外部的外部, ,由抛物线的定由抛物线的定义可知义可知, , ( (其中
9、其中F F为抛物线的为抛物线的焦点焦点).).此时此时P P点的坐标为点的坐标为(2,2).(2,2). 反思感悟反思感悟 熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键. .利用利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距离相互转化离相互转化. .例如若点例如若点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )是抛物线是抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的上的任一点任一点, ,则该点到抛物线的焦点则该点到抛物线的焦点F F的距离的距离 ( (焦半径公式焦半径公式),),这一公式的直接运用会为我们
10、求解有关到这一公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便焦点或准线的距离的问题带来方便. .在求过焦点的一弦长在求过焦点的一弦长时时, ,经常将其转化为两端点到准线的距离之和经常将其转化为两端点到准线的距离之和, ,再用韦达定再用韦达定理求解理求解, ,有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离进行求解进行求解. .类型二类型二求抛物线的方程求抛物线的方程解题准备解题准备: :求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法. .为为避免开口方向不确定而设成多种形式的麻烦避免开口方向不确定而设成多种形
11、式的麻烦, ,可以将焦点可以将焦点在在x x轴上的抛物线的标准方程统一设为轴上的抛物线的标准方程统一设为y y2 2=ax(a0);=ax(a0);焦点焦点在在y y轴上的抛物线的标准方程统一设为轴上的抛物线的标准方程统一设为x x2 2=ay(a0).=ay(a0).【典例典例2 2】求下列各抛物线的方程求下列各抛物线的方程: :(1)(1)顶点在坐标原点顶点在坐标原点, ,对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴, ,且经过点且经过点M(-2,-4);M(-2,-4);(2)(2)顶点在坐标原点顶点在坐标原点, ,焦点在焦点在y y轴上轴上, ,抛物线上一点抛物线上一点Q(m,-3)Q(m,-3)到到
12、焦点的距离等于焦点的距离等于5.5. 解解(1)(1)设抛物线为设抛物线为y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny,=ny,则则(-4)(-4)2 2=m(-2)=m(-2)m=-8m=-8或或(-2)(-2)2 2=n(-4)=n(-4)n=-1.n=-1.所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y y2 2=-8x=-8x或或x x2 2=-y.=-y.(2)(2)依题意依题意, ,抛物线开口向下抛物线开口向下, ,故设其方程为故设其方程为x x2 2=-2py.=-2py.则准线方程为则准线方程为 又设焦点为又设焦点为F,F,则则 故抛物线方程为故抛物线方程为x x2 2=-8y.=-
13、8y.反思感悟反思感悟这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论,先先入为主入为主,设定一种形式的标准方程后求解设定一种形式的标准方程后求解,以致失去另一解以致失去另一解.类型三类型三抛物线的几何性质抛物线的几何性质解题准备解题准备:1.:1.以抛物线的标准方程以抛物线的标准方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)为例为例, ,有如下几有如下几何性质何性质: :范围范围: :抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)开口向右开口向右, ,且向右上方和右下方无且向右上方和右下方无限延伸限延伸;抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴x x轴
14、轴, ,没有对称中心没有对称中心;顶顶点点: :抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点, ,即坐标原点即坐标原点. .顶点是焦点向准线所作垂线段的中点顶点是焦点向准线所作垂线段的中点;离心率离心率: :抛物线抛物线上的点上的点M M与焦点的距离和它到准线的距离的比与焦点的距离和它到准线的距离的比, ,叫抛物线的叫抛物线的离心率离心率,e=1.,e=1.2.2.抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径, ,由由焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长公式焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长公式: :设过抛物线设过抛物线y y2
15、 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点F F的弦为的弦为AB,AB,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则弦则弦长长|AB|=|AF|AB|=|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|=x|=x1 1+x+x2 2+p.+p.特别地特别地, ,当弦当弦ABAB与抛物线的与抛物线的对称轴垂直时对称轴垂直时, ,这条弦称为通径这条弦称为通径, ,其长度为其长度为2p.2p. 分析分析 考查抛物线的过焦点的弦的性质考查抛物线的过焦点的弦的性质. .将抛物线的焦点弦的方程设出将抛物线的焦点弦的方程设出, ,代入抛物线方程代入抛物线方程, ,利用韦
16、达定利用韦达定理等解决问题理等解决问题. .类型四类型四直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系解题准备解题准备: :直线和抛物线的位置关系直线和抛物线的位置关系, ,可通过直线方程与抛物可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组实数解的个数来确定线方程组成的方程组实数解的个数来确定, ,同时注意过焦同时注意过焦点的弦的一些性质点的弦的一些性质, ,如如: : 弦长弦长l=xl=x1 1+x+x2 2+p.+p. (2)(2)当直线当直线l l的斜率不存在时的斜率不存在时,x=8,x=8与抛物线没有交点与抛物线没有交点, ,不合题不合题意意. .当直线当直线l l的斜率存在时的斜率存在时, ,
17、设直线设直线l l的斜率为的斜率为k,k,则则l:y=k(x-l:y=k(x-8).8).设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),), 即即x x1 1x x2 2+x+x1 1+x+x2 2+1+k+1+k2 2(x(x1 1-8)(x-8)(x2 2-8)=97,-8)=97,(1+k(1+k2 2)x)x1 1x x2 2+(1-8k+(1-8k2 2)(x)(x1 1+x+x2 2)+1+64k)+1+64k2 2=97,=97,将将y=k(x-8)y=k(x-8)代入代入y y2 2=-4x=-4x得得k k2 2x x2 2+(4-16k+(
18、4-16k2 2)x+64k)x+64k2 2=0,=0,代入代入式得式得:64(1+k:64(1+k2 2)+(1-8k)+(1-8k2 2) ) 整理得整理得 l l的方程为的方程为: :即即x-2y-8=0x-2y-8=0或或x+2y-8=0.x+2y-8=0.错源一错源一 对抛物线的定义理解不透而致错对抛物线的定义理解不透而致错【典例典例1 1】若动点若动点M M到定点到定点F(1,0)F(1,0)的距离等于它到定直线的距离等于它到定直线l:x-l:x-1=01=0距离距离, ,则动点则动点M M的轨迹是的轨迹是( )( )A.A.抛物线抛物线B.B.直线直线C.C.圆圆D.D.椭圆椭
19、圆 错解错解 由抛物线的定义知动点由抛物线的定义知动点M M的轨迹是抛物线的轨迹是抛物线, ,故选故选A.A. 剖析剖析 抛物线的定义中隐含一个条件抛物线的定义中隐含一个条件“定点定点F F不在定直线不在定直线l l上上”. .若若“定点定点F F在定直线在定直线l l上上”, ,那么动点的轨迹就不再是那么动点的轨迹就不再是抛物线抛物线, ,而是过定点而是过定点F F且与定直线且与定直线l l垂直的直线垂直的直线. . 正解正解 因定点因定点F(1,0)F(1,0)在定直线在定直线l:x-1=0l:x-1=0上上, ,故动点故动点M M的轨迹是的轨迹是直线直线, ,应选应选B.B. 答案答案B
20、B错源二错源二对抛物线的标准方程认识不清而致误对抛物线的标准方程认识不清而致误 答案答案CC错源三错源三对问题考虑不全面而致错对问题考虑不全面而致错【典例典例3 3】过点过点M(1,-2)M(1,-2)的抛物线的标准方程为的抛物线的标准方程为_. . 错解错解 设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=2px,=2px,把点把点M(1,-2)M(1,-2)的坐标代入得的坐标代入得2p=4,2p=4,故抛物线的标准方程为故抛物线的标准方程为y y2 2=4x.=4x. 剖析剖析 上面的解法漏掉了抛物线的焦点还可以在上面的解法漏掉了抛物线的焦点还可以在y y轴的负半轴的负半轴上的情形轴上的情形.
21、. 正解正解 当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在x x轴上时轴上时, ,设方程为设方程为y y2 2=mx(m0),=mx(m0),把把点点M(1,-2)M(1,-2)的坐标代入得的坐标代入得m=4,m=4,故抛物线的标准方程为故抛物线的标准方程为y y2 2=4x;=4x;当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在y y轴上时轴上时, ,设方程为设方程为x x2 2=ny(n0),=ny(n0),把点把点M(1,-M(1,-2)2)的坐标代入得的坐标代入得 故抛物线的标准方程为故抛物线的标准方程为故应填故应填y y2 2=4x=4x和和 答案答案 错源四对直线与抛物线只有一个公共点认识不清错源四对直线与
22、抛物线只有一个公共点认识不清【典例典例4】求过点求过点(0,1)且与抛物线且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直只有一个公共点的直线线l的方程的方程. 剖析剖析 事实上事实上, ,上述解法只考虑了直线上述解法只考虑了直线l l的斜率存在且不为的斜率存在且不为0 0时解的情形时解的情形, ,而忽视了而忽视了k k不存在以及直线不存在以及直线l l平行于抛物线对平行于抛物线对称轴这两种情形称轴这两种情形. . 正解正解(1)(1)当直线当直线l l的斜率为的斜率为0 0时时, ,则则l:y=1,l:y=1,此时此时l l平行于抛物平行于抛物线的对称轴线的对称轴, ,且于抛物线只有一个公共点且于抛物
23、线只有一个公共点(2)(2)当直线当直线l l的斜率的斜率k0k0时时, ,同错解同错解. .(3)(3)当当k k不存在时不存在时, ,则则l:x=0l:x=0与抛物线与抛物线y y2 2=2x=2x相切于点相切于点(0,0).(0,0).综上可知综上可知, ,所求直线所求直线l l的方程为的方程为: : 技法一技法一 抛物线中过定点直线的性质抛物线中过定点直线的性质【典例典例1 1】已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p0),=2px(p0),过过(2p,0)(2p,0)作直线交抛物线作直线交抛物线于两点于两点, ,请写出你所能得出的不同结论请写出你所能得出的不同结论. . 分析分析
24、 设直线与抛物线交于设直线与抛物线交于A A B B两点两点, ,有以下结论有以下结论: :结论结论1:OAOB.1:OAOB. 证明证明 设设P(2p,0),P(2p,0),当当ABAB不垂直于不垂直于x x轴时轴时,OPM,OPM为直角三角形为直角三角形,M,M在以在以OPOP为直径的圆周上为直径的圆周上, ,方程为方程为(x-p)(x-p)2 2+y+y2 2=p=p2 2. .当当ABxABx轴轴时时,M,M点与点与P P点重合点重合, ,满足上述方程满足上述方程. .所以所以,M,M点轨迹方程为点轨迹方程为(x-(x-p)p)2 2+y+y2 2=p=p2 2( (除除(0,0)(0
25、,0)点外点外).).结论结论1 1和结论和结论3 3所对应命题的逆命题也成立所对应命题的逆命题也成立, ,不妨证明之不妨证明之. . 思考思考 若将定点若将定点(2p,0)(2p,0)改为改为(p,0)(p,0)或或(3p,0)(3p,0)等等等等, ,则又会有一则又会有一些什么样的结论呢些什么样的结论呢? ?技法二技法二 焦点弦问题和焦半径焦点弦问题和焦半径【典例典例2 2】过抛物线焦点过抛物线焦点F F的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A,BA,B两点两点, ,若若A,BA,B在抛物线的准线上的射影是在抛物线的准线上的射影是A A1 1,B,B1 1, ,求求A A1 1FBFB1
26、 1的值的值. . 解题切入点解题切入点 由题意先准确画出图形由题意先准确画出图形, ,利用抛物线定义可推利用抛物线定义可推出出AAAA1 1F F与与BBBB1 1F F都是等腰三角形都是等腰三角形, ,再利用平面几何知识即再利用平面几何知识即可得出可得出A A1 1FBFB1 1的值的值. . 解解 设抛物线方程为设抛物线方程为y y2 2=2px(p0).=2px(p0).如图如图, ,由抛物线定义知由抛物线定义知|AF|=|AA|AF|=|AA1 1|,|BF|=|BB|,|BF|=|BB1 1|,|,所以所以AAAA1 1F=AFAF=AFA1 1,BB,BB1 1F=BFBF=BFB1 1, ,又又AAAA1 1xx轴轴BBBB1 1, ,AAAA1 1F=AF=A1 1FFFF1 1,BB,BB1 1F=BF=B1 1FFFF1 1, ,所以所以AFAAFA1 1+A+A1 1FFFF1 1+F+F1 1FBFB1 1+B+B1 1FB=2(AFB=2(A1 1FFFF1 1+F+F1 1FBFB1 1)=2A)=2A1 1FBFB1 1=180=180. .即即A A1 1FBFB1 1=90=90. .
