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1、* 微分学微分学是微积分的重要组成部分是微积分的重要组成部分,它它的基本概念的基本概念 是是 导数导数 和和 微分微分.* 两个基本概念来源于两类问题两个基本概念来源于两类问题: 1) 研究函数在某点变化的快慢研究函数在某点变化的快慢, 即即 变化率问题变化率问题; 2) 研究当自变量变化少许时研究当自变量变化少许时, 函数值变化了多少函数值变化了多少,即即 改变量问题改变量问题.* 本章基本内容本章基本内容就是建立导数和微分的概念就是建立导数和微分的概念,讨论讨论 函数的求导方法和微分运算方法函数的求导方法和微分运算方法. 前者引出前者引出 “导数导数” 概念概念, 后者引出后者引出 “微分
2、微分” 概念概念.第一节第一节 导数的定义导数的定义u 概念的引入概念的引入u 导数的概念导数的概念u 导数的意义导数的意义u 可导与连续的关系可导与连续的关系一、概念的引入一、概念的引入例例1 设作变速直线运动的质点设作变速直线运动的质点,它的位移规律是它的位移规律是 s=s(t),则它在时刻则它在时刻 t0 的速度的速度 v(t0) 是什么是什么?例例2 求曲线的切线方程求曲线的切线方程.若点若点 N 沿曲线沿曲线 C 趋于点趋于点 M 时，割线时，割线 MN 绕点绕点 M 转动趋于一个极限位置转动趋于一个极限位置 MT，则直线，则直线 MT 就就 称为曲线称为曲线 C 在点在点 M 处的
3、切线。处的切线。 割线的极限位置割线的极限位置切切 线线 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度: :曲线的切线斜率：曲线的切线斜率：两者的共性：两者的共性：两者的共性：两者的共性：所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 二、导数的概念二、导数的概念1. 1. 点导数的定义点导数的定义定义定义2.导数也可记作导数也可记作说明说明:1. 导数的定义是构造型的导数的定义是构造型的,它是函数的一种特殊它是函数的一种特殊 形式的形式的 极限极限.3. 导数定义形式的不同记号导数定义形式的不同记号:如果极限不存在的原因是如果极限不存在的原因是 ,4. 如果极限
4、不存在如果极限不存在,则称函数则称函数 f(x) 在点在点 x0 不可导不可导.则称函数则称函数 f(x) 在点在点 x0 的导数为的导数为无穷大无穷大.2. 2. 单侧导数的定义单侧导数的定义右导数右导数:左导数左导数:函数在一点处可导的函数在一点处可导的 充要条件：充要条件：3. 3. 导函数导函数( (区间导数区间导数) )的定义的定义说明说明:2.对于闭区间的端点对于闭区间的端点,只要求单侧可导只要求单侧可导.1.在上述极限表达式中在上述极限表达式中, 是变量是变量, 是常量。是常量。 3. 与与 之间的关系之间的关系: 步骤步骤:例例 3解解4. 4. 由定义求导数由定义求导数例例
5、4解解一般地一般地:例如例如:例例 5解解类似地，类似地， 例例 6解解特别地：特别地：例例 7解解特别地：特别地： 请记住以下基本求导公式请记住以下基本求导公式: :例例 8解解Back解解例例 91. 1. 概念中的导数概念中的导数在均匀情况下在均匀情况下,凡是凡是用除法定义的概念或用除法定义的概念或物理量物理量,在不均匀的在不均匀的情况下情况下, 都是用导数。都是用导数。其他如其他如:种群的生长种群的生长率和死亡率率和死亡率;放射性放射性物质的衰变率物质的衰变率;战争战争中物资和战斗力的中物资和战斗力的损耗率损耗率;冷却过程中冷却过程中的温度变化率等等的温度变化率等等,都与导数有关都与导
6、数有关.三、导数的意义三、导数的意义2. 2. 导数的几何意义导数的几何意义切线方程：切线方程： 法线方程：法线方程： 切线的斜率切线的斜率:特殊情况：特殊情况：注意注意: 导数存在导数存在有切线有切线例例 10分析分析凡涉及切线、法线的问题，关键在于寻求凡涉及切线、法线的问题，关键在于寻求 切点切点 和和 切线的斜率切线的斜率.解解四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系证证定理定理 若函数在某点可导，则其一定在该点连续若函数在某点可导，则其一定在该点连续.注意注意: : 不连续一定不可导不连续一定不可导, ,如如 例例 8 中中 y = |x| 在在 x = 0 处连续但不可导处连续但不可导.再如再如,0但连续未必可导但连续未必可导. .加深对导数概念的理解；加深对导数概念的理解；基本求导公式的推导；基本求导公式的推导；分段函数分界点处的可导性讨论等分段函数分界点处的可导性讨论等.物理典型物理典型:速度问题速度问题几何典型几何典型:切线问题切线问题导数的概念导数的概念:函数对函数对自变量的瞬时变化自变量的瞬时变化率率导数的定义导数的定义:当自变当自变量的增量趋于零时量的增量趋于零时,函数增量与自变量函数增量与自变量增量之比的极限。增量之比的极限。利用定义利用定义求导数求导数求求切线和切线和法线法线方程方程可导与连续的可导与连续的关系关系 本节内容小结本节内容小结
