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1、定积分之几何应用定积分之几何应用(2) (2) 在区间在区间a,ba,b内任取一个小区间内任取一个小区间 , ,求出相应于这个小区间的部分量求出相应于这个小区间的部分量 的近似值的近似值. .在在 处的值处的值 与与 的乘积的乘积, ,就把就把 称为量称为量U U的微元且记作的微元且记作 , ,即即如果如果 能近似地表示为能近似地表示为a,ba,b上的一个连续函数上的一个连续函数(3) (3) 以所求量以所求量U U的微元的微元 为被积表达式为被积表达式, ,在区间在区间a,ba,b上作定积分上作定积分, ,得得2. 一般图形一般图形及射线及射线 = , = 所围图形的面积微元所围图形的面积微
2、元为为 则面积为则面积为o 由曲线由曲线 NoM例例4 求求r =1与与r =1+coscos 所围公共面积所围公共面积.解解 如图如图,曲线交点为曲线交点为由对称性由对称性则则而而 立体的体积立体的体积一一. 平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积点点 且垂直于且垂直于 轴的截面面积轴的截面面积.如图如图,体积微元为体积微元为 , 则体积为则体积为 取取 为积分变量为积分变量,其变化范围为其变化范围为a,b. 设立体介于设立体介于 之间之间, 表示过表示过xA(x)dV=A(x)dxx.aVbaaxz y0aaxz y0. .过点过点M(x,0,0)作垂直于作垂直于x轴的截面，
3、则截面为正方形，边轴的截面，则截面为正方形，边长为长为称为称为旋转体旋转体.则如前所述则如前所述,可求得截面面积可求得截面面积二二. 旋转体的体积旋转体的体积则则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图设旋转体由图1的曲边梯形绕的曲边梯形绕x轴形成轴形成.yabo图图1 同理同理,如旋转体由图如旋转体由图2的曲边梯形绕的曲边梯形绕y轴形成轴形成.ycoxdx=(y) 例例6 求如图直角三角形绕求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的轴旋转而成的圆锥体的 体积体积. 解解 可求得过点可求得过点O及及P(h,r)的直线方程为的直线方程为
4、由公式得由公式得yoxP(h,r)则体积为则体积为图图2图图3柱壳法柱壳法-由平面图形由平面图形 绕绕 轴旋转所成的旋转体的体积为轴旋转所成的旋转体的体积为柱壳法柱壳法就是把旋转体看成是以就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，一系列圆柱形薄壳组成的，以此柱壳的体积作为体积元素。以此柱壳的体积作为体积元素。在区间在区间 上上柱壳体的体积元素为柱壳体的体积元素为即为圆柱薄壳即为圆柱薄壳当当 很小时，此小柱体的高看作很小时，此小柱体的高看作 ，yx0x=g(y)cdx= g (y)绕绕 y 轴旋转轴旋转ydA=2 g(y)ds.(ds是曲线的弧微分是曲线的弧微分).
5、 . . .故旋转体侧面积故旋转体侧面积求旋转体侧面积求旋转体侧面积Ads 平面曲线的弧长平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长光滑曲线可应用定积分求弧长. 若函数若函数 的导函数在区间的导函数在区间a,b上连续上连续,则称曲线则称曲线 为区间为区间a,b上的光滑曲线上的光滑曲线,一一.直角坐标情形直角坐标情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:可用相应的切线段近似代替可用相应的切线段近似代替.即即则弧长微元则弧长微元(弧微分弧微分)故弧长为故弧长为oyxdyabdx取取 为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为a,b.a,b内任意小区间内任意小区间 的一段弧的一段弧 长长二二. 参数方程情形参数方程情形设光滑曲线方程设光滑曲线方程:弧长微元弧长微元则如前所述则如前所述,例例9 求星形线求星形线的弧长的弧长.解解 由对称性及公式由对称性及公式例例10 求阿基米德螺线求阿基米德螺线r=a (a0)上上相应于相应于 从从0到到2 的一段弧长的一段弧长.解解三三. 极坐标情形极坐标情形设曲线方程设曲线方程:r=r( ) (). 化为参数方程化为参数方程:则则结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！25
