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1、第三章第三章 行列式行列式3.1 行列式的概念行列式的概念3.2 行列式的性质行列式的性质3.3 行列式的计算行列式的计算3.4 行列式的应用行列式的应用我们为什么要学习行列式？我们为什么要学习行列式？l行列式应用广泛，在数学、工程技术以及经济学中都有行列式应用广泛，在数学、工程技术以及经济学中都有极其广泛的应用。极其广泛的应用。行列式为什么应用如此广泛呢？行列式为什么应用如此广泛呢？l主要是因为矩阵的广泛应用，而行列式之于矩阵，就像主要是因为矩阵的广泛应用，而行列式之于矩阵，就像判别式判别式之于一元二次方程。当我们知道判别式的值就之于一元二次方程。当我们知道判别式的值就可以知道方程是否有根，
2、有实根还是虚根。类似地，当可以知道方程是否有根，有实根还是虚根。类似地，当我们知道矩阵的行列式的值时，我们能获取有关矩阵的我们知道矩阵的行列式的值时，我们能获取有关矩阵的关键信息，比如，矩阵是否可逆？矩阵的秩是多少？等关键信息，比如，矩阵是否可逆？矩阵的秩是多少？等等。等。这一章的学习重点是什么呢？这一章的学习重点是什么呢？l行列式的计算，而运用行列式的性质可以大大地简化计行列式的计算，而运用行列式的性质可以大大地简化计算，故还必须熟练掌握行列式的基本性质。算，故还必须熟练掌握行列式的基本性质。3.13.1行列式的概念行列式的概念 考虑一个二阶方阵考虑一个二阶方阵记记所确定的二阶行列式所确定的
3、二阶行列式, ,(1),(1),我们称我们称(1)(1)为二阶方阵为二阶方阵记为记为主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算记记（2 2）, ,我们称我们称(2)(2)为三阶方阵为三阶方阵A所确定的三阶行列式所确定的三阶行列式. . 考虑一个三阶方阵考虑一个三阶方阵三阶行列式的计算三阶行列式的计算 列标列标行标行标对角线法则对角线法则l橙线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠橙线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠以负号以负号l对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式例例3.2.3.2.l 解：解：按对角线
4、法则，有按对角线法则，有下面我们利用递归方法将二阶、三阶行列式的概念推广下面我们利用递归方法将二阶、三阶行列式的概念推广到到n阶行列式情形阶行列式情形. .为此我们给出为此我们给出余子式余子式、代数余子式代数余子式的定义。的定义。定义：在定义：在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列划去列划去后，留下来的后，留下来的 n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 aij 的的余子式余子式，记作，记作 Mij .l把把 Aij = (1)i+j Mij 称为称为元素元素 aij 的的代数余子式代数余子式l例如：例如： l结论：因为行标和列标可唯一标
5、识行列式的元素，所以结论：因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .定义定义3.1.3.1. n阶方阵阶方阵= =所确定的所确定的n n阶行列式阶行列式代表一个由代表一个由A中元素根据一定的运算关系所得的数中元素根据一定的运算关系所得的数. .= =当当n=1=1时时, ,当当n=2=2时时, ,= = = =当当n22时时, ,= =也可简记为也可简记为或或我们将行列式按第我们将行列式按第1 1行元素展开的定义式推广行元素展开的定义式推广, ,得到行列得到行列式按任意行式按任
6、意行( (或列或列) )展开的定理展开的定理. .定理定理3.1.3.1.n阶行列式阶行列式= =等于它的任一行等于它的任一行( (任一列任一列) )的每个元素与它们所对应的代数余子式乘积之和的每个元素与它们所对应的代数余子式乘积之和, ,即即: :n n 行列式可以按第行列式可以按第i i行元素展开行元素展开: :列展开：列展开：阶行列式也可以按第阶行列式也可以按第j jnl注意注意: : 由此定理由此定理, ,在计算行列式的值时在计算行列式的值时, ,可以按它的可以按它的任一行任一行( (或列或列) )展开展开. .为计算方便起见为计算方便起见, ,我们一般选择我们一般选择有较多有较多0
7、0元素的行元素的行( (或列或列) )展开展开. .例例3.3. 3.3. 计算行列式计算行列式l解：解：按第一行展开，得按第一行展开，得l解：解： 注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得例例3.4.3.4.计算对角行列式计算对角行列式l解：解：例例3.5.3.5.计算计算n阶下三角行列式阶下三角行列式l解解: : 同样由同样由n行列式定义行列式定义, ,按第按第1 1行元素展开行元素展开: := = = =例例3.6. 3.6. 计算上三角行列式计算上三角行列式l解解: : 我们将行列式按第我们将行列式按第1 1列元素展开列元素展开: :l可以看到无
8、论是下三角阵还是上三角阵，其行列式的结可以看到无论是下三角阵还是上三角阵，其行列式的结果均为为主对角线元素之积果均为为主对角线元素之积. .行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具低阶行列式计算的重要工具. . 例例3.7.3.7.计算行列式计算行列式l解：解：3.23.2行列式的性质行列式的性质当当n 较大时较大时,求求n阶行列式值的计算量是很大的阶行列式值的计算量是很大的.一般地一般地,我们可以利用行列式的性质来简化行列式的计算我们可以利用行列式的性质来简化行列式的计算. .行列式行列式 DT 称为行列式称为行
9、列式 D 的的转置行列式转置行列式 记记行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立对行成立的对列也同样成立性质性质1：行列式与它的转置行列式相等：行列式与它的转置行列式相等根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有 性质性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号：互换行列式的两行（列），行列式变号例：例： l推论推论1：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零为零.证明：互换相同的两行，有证明：互换相同的两行，有 D = D ，所以，所以 D = 0 l备注：交换第备注：交换
10、第 i 行（列）和第行（列）和第 j 行（列），记作行（列），记作备注：我们也将行列式的这种变换分别记为：备注：我们也将行列式的这种变换分别记为：行变换：行变换：列变换：列变换：性质性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数一个倍数 k ，等于用数，等于用数 k 乘以此行列式乘以此行列式l推论推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面l推论推论3.对对 n 阶行列式及数阶行列式及数k, 有有例例3.9.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零证明：奇数
11、阶反对称矩阵的行列式的值等于零 l证证: : 设设A为为n阶反对称矩阵，即阶反对称矩阵，即 = =,n为奇数为奇数由性质由性质1 1及性质及性质3 3，有，有: :所以所以l推论推论4.若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零。于零。性质性质4：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和, 行列式关于该行（列）可分解为两个行列式行列式关于该行（列）可分解为两个行列式l例：例：则则例例3.10. 3.10. 计算行列式计算行列式l解解: : 利用性质利用性质4 4把原行列式分成把原行列式分成2 2个行列式之和个行列
12、式之和: :性质性质5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证：我们以三阶行列式为例验证：我们以三阶行列式为例 记记 l备注：以数备注：以数 k 乘第乘第 j 行（列）加到第行（列）加到第 i 行（列）上，记作行（列）上，记作例例3.11.计算行列式常用方法：利用运算计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值形行列式，从而算得行列式的值l解：解：作业：作业：P P6565 3(2),4(2)(4)
13、 3(2),4(2)(4)行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式计算的重要工具. . 互换行列式的两行（列），互换行列式的两行（列），行列式变号行列式变号行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 k ，等于，等于用数用数 k 乘以此行列式乘以此行列式把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列列(行行)对应的元素上去，对应的元素上去，行列式不变行列式不变l推论推论5. 行列式任一
14、行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质第第i行的元素与相应第行的元素与相应第j行对应元素的代数余子式的乘积行对应元素的代数余子式的乘积之和。之和。我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 在上式中把在上式中把 a1k 换成换成 a2k (k = 1,2,3)，则，则 第第i列的元素与相应第列的元素与相应第j列对应元素的代数余子式的乘积列对应元素的代数余子式的乘积之和之和.同理可得同理可得例例3.11. 设设 则有：则有：对对D1作运算作
15、运算 ，及，及 把把D1化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对D2作运算作运算 ，及，及 把把D2化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为回忆：回忆：l证明：证明：对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ， 则：则：对对 D 的后的后 n 列作运算列作运算 ， 则则l证明：证明：对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ， 则：则：设设n+m阶分块方阵阶分块方阵 其中其中A,B分别为分别为n,m阶方阵阶方阵, 则则:与与性质性质6. 若若n阶分块对角阵阶分块对角阵 ，其中，其中 为为阶方阵阶方阵 则则 : 定理定理3.2 若若 均为均为n阶方阵，则阶方阵，则 3.3 3.3
16、 行列式的计算行列式的计算我们可利用上节的我们可利用上节的性质性质5 5将行列式化成将行列式化成上上( (下下) )三角行列式三角行列式一一. .目标行列式法目标行列式法来进行计算来进行计算. . 性质性质5.5. 将行列式的某一行将行列式的某一行( (列列) )的的k k倍加到另一行倍加到另一行( (列列) )上上, , 则行列式的值不变则行列式的值不变. .例例3.12. 3.12. 计算计算4 4阶行列式阶行列式 l解解: : 例例3.13. 3.13. 计算计算n阶行列式阶行列式l解解: :将第将第2,3,2,3, ,n列元素都加到第列元素都加到第1 1列对应元素上去列对应元素上去:
17、:= =二二. .降阶法降阶法 我们也可以利用行列式的展开定理为了减少我们也可以利用行列式的展开定理为了减少计算量，通常先利用行列式的性质将行列式的某行计算量，通常先利用行列式的性质将行列式的某行（列）化出较多的零元素，再按该行（列）展开（列）化出较多的零元素，再按该行（列）展开 例例3.14.3.14.计算行列式计算行列式 l解解: :为了使为了使D D中的零元素增多，利用行列式性质，得中的零元素增多，利用行列式性质，得: :三三.(.(拆项拆项) )分裂行列式法分裂行列式法 行列式的性质行列式的性质4 4也可以用来简化行列式的运算也可以用来简化行列式的运算. .性质性质4.4. 若行列式中
18、某一行若行列式中某一行( (列列) )的元素都是两数之和，的元素都是两数之和， 则此行列式可表示为两个行列式的和即则此行列式可表示为两个行列式的和即: := =+ +例例3.15. 3.15. 计算行列式计算行列式l解解: : 利用性质利用性质4 4把原行列式分成把原行列式分成2 2个行列式之和，个行列式之和，是按照某行拆开，还是按照某列拆开？是按照某行拆开，还是按照某列拆开？四四. .数学归纳法数学归纳法下面考察应用广泛的重要行列式下面考察应用广泛的重要行列式: :范德蒙行列式范德蒙行列式. .例例3.15.3.15.证明证明n阶范德蒙阶范德蒙(Vandermonde)(Vandermond
19、e)行列式行列式 其中其中 为满足为满足 的所有的所有的乘积的乘积 l证证: :我们对我们对n使用数学归纳法使用数学归纳法 . .因此原恒等式在因此原恒等式在n=2=2时成立时成立. . n=2=2时时, ,假设假设原式对原式对n-1阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立, , 下证原式对下证原式对n阶范德蒙行列式也成立阶范德蒙行列式也成立 中中, ,从第从第n行开始，由下往上，行开始，由下往上，下一行下一行减去减去上一行的上一行的 倍，得倍，得: :按第一列展开，得按第一列展开，得: :从第从第1 1列提取公因子列提取公因子 ，第，第2 2列提取公因子列提取公因子 , , ,第第 n-1-1列
20、提取公因子列提取公因子 ，就得，就得: :上式右端的行列式是上式右端的行列式是 n-1-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式, ,由归纳假设可得由归纳假设可得: : 五五. .递推法递推法很多情况下很多情况下, ,n阶文字行列式直接计算比较困难阶文字行列式直接计算比较困难, ,有时可以想办法得到有时可以想办法得到与与之间的关系式之间的关系式, ,进而利用递推的方法得到进而利用递推的方法得到的结果的结果. .例例3.16.3.16.计算计算n阶行列式阶行列式l解解: :将行列式按第一列展开将行列式按第一列展开: :等式右端的第一个行列式与原行列式形式上完全一致等式右端的第一个行列式与原行列式形式上完全
21、一致, , 只是行列式的阶数低了一阶，设其为只是行列式的阶数低了一阶，设其为 , ,则则: :于是得到递推公式于是得到递推公式: :进一步得进一步得: := = =六六. .加边法加边法计算计算n n阶文字行列式往往比较困难阶文字行列式往往比较困难, ,有时我们还可以有时我们还可以进行逆向思维进行逆向思维, ,利用行列式按行利用行列式按行( (列列) )展开的思想将行列展开的思想将行列式化为阶数更高的行列式后反而会柳暗花明式化为阶数更高的行列式后反而会柳暗花明. .例例3.17. 3.17. 计算计算n阶行列式阶行列式l解解: : 利用加边法：利用加边法： 将原行列式加一行一列元素后得到新的将
22、原行列式加一行一列元素后得到新的n+1阶行列式阶行列式: : 显然这是一个范德蒙显然这是一个范德蒙行列式行列式. . 于是于是: :而原行列式即而原行列式即D(x)D(x)中中 的余子式，因此原行列式的余子式，因此原行列式的值为的值为D(x)D(x)展开式中展开式中 的系数的相反数，即的系数的相反数，即: : 计算行列式的常用方法：计算行列式的常用方法：(1) (1) 利用利用定义、性质定义、性质算得行列式的值；算得行列式的值；(2) (2) 利用性质把行列式化为利用性质把行列式化为上三角形行列式上三角形行列式，从而算得，从而算得行列式的值行列式的值（3 3）降阶降阶法法（4 4）( (拆项拆
23、项) )分裂行列式法分裂行列式法（5 5）数学归纳法、递推法）数学归纳法、递推法（6 6）加边法）加边法3.4 3.4 行列式的应用行列式的应用行列式在很多领域中都有着广泛的应用行列式在很多领域中都有着广泛的应用, ,本节仅本节仅介绍其在矩阵理论和一类特殊线性方程组中的应用介绍其在矩阵理论和一类特殊线性方程组中的应用. .一一. .方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩所构成的如下矩阵阵称为矩阵称为矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵. .注意下标注意下标结论：结论： ，其中，其中定理：若定理：若| A | 0，则方阵，则方阵 A
24、可逆，而且可逆，而且元素元素 aij 的代数的代数余子式余子式 Aij 位于位于第第 j 行第行第 i 列列利用第利用第2 2节中行列式性质的推论节中行列式性质的推论5:5:l推论：若推论：若| A | 0，则，则 .l推论：若推论：若| A | 0，则，则 .l证明：若证明：若| A | 0，则，则 .l证明：若证明：若| A | 0，则，则 ,l推论推论: 若若n阶方阵阶方阵 ，其中，其中 为为 阶方阵阶方阵则则 A可逆的充要条件为可逆的充要条件为:可逆此时可逆此时: 例例3.16：求：求3阶方阵阶方阵 的逆矩阵的逆矩阵.l解解：| A | = 1，则则l当当n n较大时较大时, ,此方法
25、计算量较大此方法计算量较大, ,推荐初等变换的方法推荐初等变换的方法. .作业：作业：P65 4(1,7),7(2),9(2).计算行列式的常用方法：计算行列式的常用方法：(1) (1) 利用性质把行列式化为利用性质把行列式化为上三角形行列式上三角形行列式，从而算得，从而算得行列式的值行列式的值（2 2）降阶降阶法法二二. .矩阵秩的刻画矩阵秩的刻画第第2 2章我们介绍过矩阵秩的概念，这里我们通过行章我们介绍过矩阵秩的概念，这里我们通过行列式来刻划矩阵的秩列式来刻划矩阵的秩. .先引入矩阵的先引入矩阵的k 阶子式的概念阶子式的概念. .定义定义. 设设A 是一个是一个 矩阵，在矩阵，在A中任取
26、中任取 k行、行、k列列, 位于这些行和列相交处的元素，按它们原来的相对位置位于这些行和列相交处的元素，按它们原来的相对位置 组成一个组成一个k 阶行列式，称为阶行列式，称为 A的一个的一个k 阶子式阶子式 概念辨析：概念辨析： k 阶子式、余子式、代数余子式阶子式、余子式、代数余子式与元素与元素a12相对应的相对应的余子式余子式相应的相应的代数余子式代数余子式矩阵矩阵 A 的两个的两个 2 阶子式：阶子式：矩阵矩阵 A共有共有 18个个2 阶子式。阶子式。例如例如: A相交处的元素构成的相交处的元素构成的2 2阶子式：阶子式： 取取A的第的第2，3行和第行和第1，3列列取遍取遍A的所有的所有
27、3阶子式：阶子式： 即：即：A有一个不为有一个不为0 0的的2 2阶子式阶子式, , 即：即：A的所有的所有3 3阶子式全为阶子式全为0. 0. 我们称我们称D是是A的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式，该子式的阶数是，该子式的阶数是2 2. . 另一方面，通过初等变换的方法可以算出另一方面，通过初等变换的方法可以算出A的秩为的秩为2 .即：即：矩阵矩阵A的秩的秩等于等于矩阵矩阵 A的最高阶非零子式的阶数的最高阶非零子式的阶数事实上，这个结论对任何矩阵都是成立的事实上，这个结论对任何矩阵都是成立的.定理定理3.4.设矩阵设矩阵 .则则 的充要条件是的充要条件是 A至少有至少有一个一个r 阶
28、子式不等于零阶子式不等于零,且且A的所有的所有r+1阶子式阶子式 （如果存在）全为零即（如果存在）全为零即: 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非矩阵的秩等于矩阵的最高阶非 零子式的阶数。零子式的阶数。矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 定义：设矩阵定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所，且所有有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为称为矩阵矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式例例3.17：求矩阵：求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中l解：在解：在 A 中
29、，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 例例3.17：求矩阵：求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中l解：解：注意到矩阵注意到矩阵 B 第第 4 行元素都等于零，因此其行元素都等于零，因此其4 阶子式全为零，阶子式全为零，同时同时 B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，行，以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式 ，因此，因此 R(B) = 3 还存在其还存在其它它3 阶非零阶非零子式吗？子式吗？回忆：行阶梯形矩阵的
30、秩就等于非零行的行数回忆：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数例例3.17：求矩阵：求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中l解：解：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如三三. .克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则下面我们应用行列式来讨论下面我们应用行列式来讨论线性方程组的求解问题线性方程组的求解问题 ( Gabriel Cramer ( Gabriel Cramer 瑞士瑞士 1704-1752)1704-1752)定理定理3.5. (3.5. (克莱姆法则克莱姆法则) )如果线性方程组如果线性方程组: :的系数行列式的系数行列式 则此线性方程组有唯一
31、解，并且其解可表示为则此线性方程组有唯一解，并且其解可表示为其中其中 表示把矩阵表示把矩阵A中中第第j j列元素分别列元素分别换成换成所得的行列式所得的行列式. . l目标：要证明目标：要证明l推论推论. . 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组: :的系数行列式的系数行列式 ，则它只有零解，则它只有零解 l如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组有非零解有非零解, ,则它的系数行则它的系数行列式必为零列式必为零. .lCramerCramer法则及其推论仅能应用于未知元个数与方程个数法则及其推论仅能应用于未知元个数与方程个数相等相等的线性方程组。的线性方程组。例例3.18.3.18.已知方程组已知方程组问问:当当k 取什么值时取什么值时,它有唯一解它有唯一解?有唯一解时，求其解有唯一解时，求其解.l解：因为系数行列式解：因为系数行列式= =所以，由克莱姆法则知，当所以，由克莱姆法则知，当 且且 时时， 方程组有唯一解此时方程组有唯一解此时 于是，方程组的解为于是，方程组的解为: :作业：作业：P P6666 11. 11.
