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1、-第六章习题解答第六章习题解答1 已知约束优化问题:minf(x) (x12)2(x21)2s tg1(x) x12 x2 0g2(x) x1 x22 0试从第 k 次的迭代点x(k)1 2T出发，沿由（-11)区间的随机数 0.562 和.254 所确定的方向进行搜索,完成一次迭代， 获取一个新的迭代点x(k1)。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 解解 1）确定本次迭代的随机方向：SR0.562 0.56220.2542(k1)0.254220.562 0.254T0.9110.412T2)用公式:x x(k)SR计算新的迭代点。步长取为搜索到约束边界上的最大步长。到
2、第二个约束边界上的步长可取为，则:xk1 x1kSR 1 1 20.911 0.822 x2kSR 2 2 2(0.412) 1.176k1k1x2即：X0.8221.176该约束优化问题的目标函数的等值线、 可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。2 已知约束优化问题:-2minf(x) 4x1 x212s t2g1(x) x12 x225 0g2(x) x1 0g3(x) x2 0试以x10201T,x2401T,x333T为复合形的初始顶点,用复合形法进行两次迭代计算。 解解1)计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点:x102 1f10 50x24 1f20 30x33
3、3f30 900为最好点，x2为最坏点。经判断，各顶点均为可行点，其中，x30)计算去掉最坏点x2后的复合形的中心点：xc01L1232.530xi21323i1 3i21)计算反射点xR(取反射系数1.3）2.540.552.510xR xc0(xc0 x2) 1.3 2213.3 11经判断xR为可行点，其目标函数值fR 20.69001）去掉最坏点x2构成新的复合形,在新的复合形中，由x10，x3和xR1为最好点，x10为最坏点,进行新的一轮迭代。xR5）计算新的复合形中,去掉最坏点后的中心点得：1xc130.551.775 3.15233.36）计算新一轮迭代的反射点得：1.77521
4、.48251.775211xR xc(xc x10) 1.3 3.153.1515.94521经判断xR为可行点，其目标函数值fR 41.413，完成第二次迭代。3 设已知在二维空间中的点x x1x2T，并已知该点的适时约束的梯度-g 11T，目标函数的梯度f 0.51T,试用简化方法确定一个适用的可行方向。 解解 按公式-32dxxkk Pf(xk)/ Pf(xk)计算适用的可行方向：1T点的目标函数梯度为:f(xk) 0.5k点处起作用约束的梯度 G 为一个n J阶的矩阵，题中:n2，J1：G g1(xk) 1梯度投影矩阵 P 为：1T1P I G GTGk1GT1 0111 1110 1
5、10.5 0.5010.5 0.5则：适用可行方向为：d0.5 0.50.5 10.5 0.50.5 0.50.50.7070.5 0.510.7074 已知约束优化问题:minf(x) s t422(34)(x1 x1x2 x2) x33g1 x1 0g2 x2 0g3 x3 0试求在xk01/4k1/2T点的梯度投影方向。 解解 按公式 6-32dxxkk Pf(xk)/ Pf(xk)计算适用的可行方向：0.251T点的目标函数梯度为：f(xk) 0.125点处起作用约束的梯度 G 为一个n J阶的矩阵，题中：n=，J=:G g1(xk) 1梯度投影矩阵 P 为：00T1P I G GTG
6、1GT1 0 0110 1 001 0 000 0 1000 0 01 0 00 1 00 0 1则：适用可行方向为：-0 0 00.125 0 1 00.250 0 11 0 0 00.1250 1 00.250 0 11 00.2430.97 dk用内点法求下列问题的最优解:2min f(x) x12 x22x11g1 3 x2 0s t（提示：可构造惩罚函数(x,r) f(x) r 解解构造内点惩罚函数:u1lngu(x)，然后用解析法求解。)22(x,r) f(x) rlngu(x) x12 x22x11 rln(3 x2)u12令惩罚函数对 x 的极值等于零：d2x12 02x(r)
7、/(3x )dx22x11得:6368rx24舍去负根后，得x2当r6368r40 时，x23，该问题的最优解为x 1 3T。6用外点法求下列问题的最优解:minf(x) x1 x2s tg1 x12 x2 0g2 x1 0 解解 将上述问题按规定写成如下的数学模型: sbroutne（n,x,x) dimesin x(n)=x(）+x（2） enduroutine gg(,k，x,g)ienson (n),gx() gx(1)=(1)x(1)-(2)x(2)=x(1)end subrute hx(，k,x,x)-omnionx(n),x(kh）x(1）=.0 end然后，利用惩罚函数法计算，
8、即可得到如下的最优解：=PRIMR DATA=N= 2 KG=H 0 X:10000E01 .200000EFX: .3000000E+01 GX: -.1000E01-.1000000E+01 X :1000000E+01 .200000:3000000E+01 GX：.0000E+1.100000E+01 PN .5000E01 R =.10000E01 =.2000000=.0000E-01 EPS1= .00000E- EPS2=1000E0= PIUM OLUTIN = I= IE=LI= 117PE=3759 NX=NGR= 0R=104857E-3 PEN=42850-6:495
9、67 .70758-0X: .16668E06X：.72035E-07.94305077.用混合惩罚函数法求下列问题的最优解:min f(x) x2 x1s tg1(x) lnx1 0h2(x) x1 x21 0 解解 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subruine ffx(n,x,x) dein (n）x=x()（） enuoune gx（n,kg，x）imenio x（n),x(kg） gx(）=-log(（1)） gx()=-x(） gx（3)=-x（2) en surouinehx（n,kh,x,hx) domension (n),hx(kh) hx(）=x（1)+x(2)-1
10、e-然后,利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解: = PRIMARY DT = N= 3KH 1 X : .00000E01100000E0FX:0000E01X: -.693472+0.20000E1.00000E01 X :.000000E+01.0000E+0 FX:.10000+01 G： -.6931400-.2000E+0-.100000+01HX:200000+01E = .592695E+01 R = .10 E01C.4000E+00T0 .100000-01 EP=.0000E-5 EP2=1000005 =OPTIM SOLUTION =IC=2 ITE 143L= 13 NE 1190NFX= 0N 12 R= .720565E-1 PEN-992000: .0006E01.3787-0X: -.1000012E01X: -.59607E-05-.10006E+0 .62223E-05X:.61659E-06-
