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1、4.3 协方差及相关系数、矩协方差及相关系数、矩 对对于于二二维维随随机机变变量量(X，Y)，除除了了讨讨论论X与与Y的的数数学学期期望望和和方方差差外外，还还需需讨讨论论描描述述X与与Y之之间间相相互互关关系的数字特征：协方差和相关系数系的数字特征：协方差和相关系数 4.3.1 4.3.1 协方差协方差 由由4.2.2中中方方差差的的性性质质(3)知知,若若随随机机变变量量X与与Y相相互互独独立立,则则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也也就就是是说说,当当随随机机变变 量量 X与与 Y相相 互互 独独 立立 时时 ,有有 EX E(X)Y E(Y)= 0成成立立,这这意意味味着
2、着当当EX E(X)Y E(Y) 0时时,X与与Y不不相相互互独独立立,由由此此可可见见这这个个量量的的重重要性要性4.3.1 4.3.1 协方差协方差定定义义4.4 设设有有二二维维随随机机变变量量(X，Y)，如如果果EX E(X)Y E(Y)存存在在，则则称称其其为为随随机机变变量量X与与Y的的协方差协方差记为记为Cov(X，Y)，即，即 Cov(X，Y) = EX E(X)Y E(Y) 这样，上节中方差的性质这样，上节中方差的性质(3)可改写为可改写为 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X，Y)由由(4.9)式及式及(4.10)式知协方差的表达式可以表示为式知协方差
3、的表达式可以表示为 Cov(X，Y) = E(XY) E(X)E(Y) 常利用这个式子来计算协方差常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).4.3.1 4.3.1 协方差协方差由由协协方方差差定定义义，不不难难知知道道协协方方差差还还具具有有以以下下几几条条性性质：质： (1) (2) (3) ，a，b为常数；为常数； (4) (5) 当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时，有相互独立时，有 Cov(X，Y) = 04.3.1 4.3.1 协方差协方差【例例4.22】设随机变量设随机变量(X，Y)具有概率密度具有概率密度其中区域其中区域G由曲线与围成，如图由曲线与围成，如图4-4所示，所示，
4、求求Cov(X，Y)及及D(X + Y)解：解：4.3.1 4.3.1 协方差协方差 4.3 协方差及相关系数、矩协方差及相关系数、矩 4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数定义定义4.5 称称为随机变量为随机变量X与与Y的的相关系数相关系数 相关系数相关系数 XY是一个无量纲的量是一个无量纲的量 XY常简记为常简记为 【例例4.23】在例在例4-22中，求相关系数中，求相关系数 XY 解：解：因为因为所以所以4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数下面不加证明地给出相关系数的两条性质：下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) | XY | 1；
5、 (2) | XY | = 1的充要条件是，存在常数的充要条件是，存在常数a，b，使使PY = aX + b = 1 定定义义4.6 若若 XY = 0，称称X与与Y不不相相关关0 XY 1，称称X与与Y正相关，正相关， 1 XY 0，称，称X与与Y负相关负相关 事事实实上上,相相关关系系数数 XY是是X与与Y线线性性关关系系强强弱弱的的一一个度量个度量,X与与Y的线性关系程度随着的线性关系程度随着| XY|的减小而减弱的减小而减弱, 当当| XY| = 1时时X与与Y的线性关系最强，的线性关系最强， 当当 XY = 0时时，意意味味X与与Y的的不不存存在在线线性性关关系系，即即X与与Y不相关
6、不相关.4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数由协方差的性质由协方差的性质 (5) 当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时，有相互独立时，有Cov(X，Y) = 0易知易知定定理理4.3 若若X与与Y相相互互独独立立，则则 XY = 0，即即X与与Y不不相关，反之不真相关，反之不真 这这意意味味着着，X与与Y不不相相关关仅仅指指X与与Y之之间间不不存存在在线线性关系，并不能说明性关系，并不能说明X与与Y不具有其他关系不具有其他关系4.3.2 4.3.2 相关系数相关系数【例例4.24】设设随随机机变变量量Z服服从从( ， )上上的的均均匀匀分分布，又布，又X = sinZ，Y = cosZ，
7、试求相关系数，试求相关系数 XY 解：解：由于由于因而因而Cov(X，Y) = 0， XY = 0 相关系数相关系数 XY = 0，说明随机变量，说明随机变量X与与Y不相关，不相关，但是，由于但是，由于 ，所以，所以X与与Y不独立不独立 4.3.3 4.3.3 矩矩 矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用定定义义4.7 设设X和和Y是是随随机机变变量量，若若E(Xk)，k = 1，2，存在，称其为存在，称其为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称k阶矩阶矩； 若若 存存在在，称称其其为为X的的k阶阶中心矩中心矩； 若若 存存在在，称称其其为为X和和Y的的k
8、+ l阶混合矩阶混合矩； 若若 存存在在，称称它它为为X和和Y的的k + l阶混合中心矩阶混合中心矩4.3.3 4.3.3 矩矩(1) X的的k阶原点矩阶原点矩: E(Xk)，k = 1，2， (2) X的的k阶中心矩阶中心矩: (3) X和和Y的的k + l阶混合矩阶混合矩:(4) X和和Y的的k + l阶混合中心矩阶混合中心矩: 显然，显然，X的数学期望的数学期望E(X)是是X的一阶原点矩，的一阶原点矩，X的方差的方差D(X)是是X的二阶中心矩，的二阶中心矩，X和和Y的的协协方方差差Cov(X,Y)=0是是X和和Y的的二二阶阶混混合合中中心心矩矩【实实验验4-2】设设X和和Y分分别别表表示
9、示在在一一分分钟钟内内通通过过某某收收费费站站的小汽车数量和卡车数量，的小汽车数量和卡车数量，X和和Y的联合分布律如下：的联合分布律如下： (1) 期望期望E(X)、E(Y)、E(XY) (2) 方差方差D(X)、D(Y) (3) 协方差协方差Cov(X，Y) (4) 相关系数相关系数 XY Y Y X X0 01 12 23 34 40 00.050.050.040.040.010.010 00 01 10.050.050.10.10.030.030.020.020 02 20.030.030.050.050.150.150.050.050.020.023 30 00.020.020.080
10、.080.10.10.050.054 40 00 00.020.020.050.050.080.08 实验准备：实验准备： (1) 函数函数SUMPRODUCT的使用格式：的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3, .) 功功能能：返返回回多多个个区区域域array1,array2,array3, . 对对应数值乘积之和应数值乘积之和 (2) 函数函数MMULT的使用格式：的使用格式：MMULT(array1,array2) 功功能能：返返回回两两数数组组的的矩矩阵阵乘乘积积结结果果矩矩阵阵的的行行数数与与array1的行数相同，列数与的行数相同，列数与arr
11、ay2的列数相同的列数相同 实验步骤：实验步骤： (1) 整理数据如图整理数据如图4-5所示所示图图4-5 整理数据整理数据 (2) 计算边缘概率计算边缘概率PX = xi和和PY = yj 在在单单元元格格G2中中输输入入公公式式：= SUM(B2:F2)，并并将将其复制到单元格区域其复制到单元格区域G3:G6 在在单单元元格格B7中中输输入入公公式式：=SUM(B2:B6)，并并将将其其复制到单元格区域复制到单元格区域C7:F7 (3) 计算期望计算期望E(XY) 首先在单元格首先在单元格B9中输入公式：中输入公式：=MMULT(B1:F1,B2:F6)，选选中中单单元元格格区区域域B9:
12、F9后后，按按F2键键，再再按按组组合合键键Ctrl+Shift+Enter，算出中间数组，如图，算出中间数组，如图4-6所示所示图图4-6 计算矩阵乘积计算矩阵乘积 然后在单元格然后在单元格B10中输入公式：中输入公式：=MMULT(B9:F9,A2:A6)，即即得得期期望望E(XY)，如如图图4-7所示所示 图图4-7 计算期望计算期望E(XY) (4) 计算期望计算期望E(X)、E(Y)和和方差方差D(X)、D(Y) 在单元格在单元格B11中输入公式：中输入公式：=SUMPRODUCT(G2:G6,A2:A6) 在单元格在单元格B12中输入公式：中输入公式：=SUMPRODUCT(B1:
13、F1,B7:F7) 在单元格在单元格D11中输入公式：中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A6,A2:A6,G2:G6)-B112 在单元格在单元格D12中输入公式：中输入公式：=SUMPRODUCT(B1:F1,B1:F1,B7:F7)-B122 (5) 计算协方差计算协方差Cov(X，Y) 在单元格在单元格B14中输入公式：中输入公式：=B10-B11*B12 (6) 计算相关系数计算相关系数 XY 在单元格在单元格B15中输入公式：中输入公式：=B14/SQRT(D11*D12)即得结果如图即得结果如图4-8所示所示 图图4-8 计算结果计算结果第四章第四章 随机变量的数字特征随机
14、变量的数字特征【分赌本问题解答分赌本问题解答】 1654年年法法国国有有个个职职业业赌赌徒徒De Mer向向数数学学家家Pascal提提出出了了一一个个使使他他苦苦恼恼了了很很久久的的问问题题：甲甲乙乙两两人人各各出出赌赌注注50法法郎郎赌赌博博，约约定定谁谁先先赢赢3局局，就就赢赢得得全全部部的的100法法郎郎，假假定定两两人人赌赌技技相相当当，且且每每局局无无平平局局如如果果当当甲甲赢赢了了两两局局，乙乙赢赢了了一一局局时时，因因故故要要中中止赌局，问如何分止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？法郎的赌注才算公平？ 这这个个问问题题在在当当时时引引起起了了许许多多人人的的兴兴趣趣,显显
15、然然平平均均分分对对甲甲不不公公平平,全全部部归归甲甲对对乙乙又又不不公公平平合合理理的的分分法法当当然然是是按按照照一一定定的的比比例例,甲甲多多分分些些,乙乙少少分分些些，那么如何确定分配比例呢？那么如何确定分配比例呢？ 1654年年法法国国有有个个职职业业赌赌徒徒De Mer向向数数学学家家Pascal提提出出了了一一个个使使他他苦苦恼恼了了很很久久的的问问题题：甲甲乙乙两两人人各各出出赌赌注注50法法郎郎赌赌博博，约约定定谁谁先先赢赢3局局，就就赢赢得得全全部部的的100法法郎郎，假假定定两两人人赌赌技技相相当当，且且每每局局无无平平局局如如果果当当甲甲赢赢了了两两局局，乙乙赢赢了了一
16、一局局时时，因因故故要要中中止赌局，问如何分止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？法郎的赌注才算公平？分法分法(1) ：基于已赌的局数分配：基于已赌的局数分配：甲甲赢赢了了两两局局，乙乙赢赢了了一一局局，故故甲甲乙乙两两人人按按2：1的比例分赌注；的比例分赌注； 【分赌本问题解答分赌本问题解答】【分赌本问题解答分赌本问题解答】 分法分法(2)： Pascal提出了如下的分法：提出了如下的分法： 设设想想再再赌赌下下去去，甲甲的的最最终终所所得得视视为为一一个个随随机机变变量量X，其其可可能能值值为为0或或100，再再赌赌两两局局赌赌博博必必结结束束，结结果无外乎是以下果无外乎是以下4种情形
17、之一：种情形之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，其其中中“甲甲乙乙”表表示示甲甲胜胜第第一一局局乙乙胜胜第第二二局局，其其余余类类似似由由于于赌赌技技相相同同，所所以以甲甲在在三三种种情情形形下下可可赢赢得得100法法郎郎，只只在在一一种种情情形形（乙乙乙乙）下下，赢赢得得0法法郎郎所以所以X的分布律如下：的分布律如下：【分赌本问题解答分赌本问题解答】 X的分布律如下：的分布律如下： 因此，因此，Pascal认为，甲的认为，甲的“期望期望”所得应为所得应为 （法郎）（法郎） 这这种种分分法法不不仅仅考考虑虑了了已已赌赌局局数数，而而且且还还包包含含了了对对继继续续赌赌下下去去的的一一种种“期期望望”，它它比比第第一一种种分分法法更更合合理理这这其其实实也正是数学期望这个名称的由来也正是数学期望这个名称的由来X0100pi1/43/4
