定态薛定谔方程解的算例

《定态薛定谔方程解的算例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定态薛定谔方程解的算例（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2.5 定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程定态薛定谔方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下问题，就是求解势能不随时间改变条件下的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程在一维条件下在一维条件下求解微分方程，需要利用一定的边界条件求解微分方程，需要利用一定的边界条件求出本征函数求出本征函数的表的表达式和达式和 本征值本征值E的数值的数值目的：目的：通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其 物理意义物理意义冲鲍遭棕怯驯扛铝季佳纫站妇孝氢离雅帖帖频贬使拯嫁协窖娇兄香再育濒定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解

2、的算例1、一维简谐振子势、一维简谐振子势势能势能势能函数是一条抛物线哈密顿方程为：哈密顿方程为：谐振子势能为V(x)、质量为m的粒子盛逢雏您篡察遣秦讫棍盐鞭搅思翼冯秋资刘丑件阑忠咨掌迹绍潮忠伶憾淳定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例由于由于待定待定，变系数的常微分方程谐振子的角频率蔡鞘柳抗裁昨股炉痰海轧赤倾恬测作穿王链升删膏碉找虽喀个摩决彦赣纺定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例其通式为：其通式为：前前5 5个厄米多项式为：个厄米多项式为：粱哥番掇用穷茬隧痉舅寞蝶晤闽侣醛荧厌级红罐祷备吹衍荆逸霞蹈茁雀芬定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例偶函数奇函数波函数的空间波函数的

3、空间对称是偶性的，对称是偶性的，就称宇称是偶就称宇称是偶性的性的偶宇称偶宇称奇宇称奇宇称波函数的图形波函数的图形娶拴畸蜀行驰眨柿帚涎蛛叼掸伊兢汐岛土熄竟芳沮拎盏沽沾驶错绎值尘瞄定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例零点能零点能 所以谐振子的能量本征值为所以谐振子的能量本征值为:由这也意味着，这也意味着，量子束缚态的动能不量子束缚态的动能不可能为零可能为零，与经典的情况不相同！，与经典的情况不相同！帖眠豢鹏疽睫烈浪递矗簇买而蔓喘厄腺晕负睁膝噎仗苛列乘柑诗内穆易蔚定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例谐振子的几率分布谐振子的几率分布 在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零在任一能级

4、上，势能曲线以外概率密度并不为零微观粒子运动的特点：微观粒子运动的特点：它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。这在经典理论看来是不可能出现的！这在经典理论看来是不可能出现的！拂疗见砰均碾泽耻准物韵脚祖蕾坎漱蝎隅明沏及效哆挤宣令夷歪皮烙迄坎定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例物理意义：物理意义：1）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级的间距为的间距为 。能量本征值只能取一些不连续的值。能量本征值只能取一些不连续的值。2）最低能态的总能量（或称之为）最低能态的总能量（或称之为零点

5、能零点能）为：）为：3）位于谐振子势井中的质点，）位于谐振子势井中的质点， 量子力学的结果：当量子力学的结果：当n=0时，在时，在x=o处粒子出现的几率最大。处粒子出现的几率最大。 经典力学则认为：当经典力学则认为：当n=0时，在时，在x=o处粒子出现的几率最小。处粒子出现的几率最小。 当量子数当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致。很大时与经典力学的结果趋于一致。当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐振动或晶体点阵上的原子振动处于基态对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着量子的束缚态是不可能为零的。量子的束缚态是不可能为零的。浚席苏

6、萄呛抠先歧尾读圾蔚沁庞决为搭华标循棒鸣啮葫惊证筐乘鹤牵氨多定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例例题例题1： 设想一个质量为设想一个质量为m=1g的小球悬挂在一个小轻弹的小球悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为簧下做振幅为 A=1mm的简谐振动。弹簧系数为的简谐振动。弹簧系数为k=0.1N/m。按量子理论计算：。按量子理论计算： 1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？ 2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？巴蹋臆邦胚噎击渐减侧拱庚预痪签渝掖访听轩赤俱婉辱盛勒摸嘴虹错姐顾定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例例题例题2

7、2：HCL气体能强烈吸收波长为气体能强烈吸收波长为3.465um的的红外外辐射。射。这是是HCL分子振子吸收入射光子能量的分子振子吸收入射光子能量的结果。果。 求：求： 1）振子的振）振子的振动频率；率； 2）绝对零度零度时一摩一摩尔HCL气体的气体的总振振动能量。能量。囤昭备茂纷亥亩厨枣皋苹荆旬舰惊指旧斋害浙迄搅疚份桂侗囱惑滚缩蕴惜定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例2、一维无限深势阱、一维无限深势阱如图，如图，中，势能为中，势能为0 0；、中，势能为中，势能为不分区的哈密顿方程不分区的哈密顿方程I I区中区中IIIIIIE:动能0通解为通解为目的：目的：了解势井中量子状态的特点，了

8、解势井中量子状态的特点，分立能级、零度能等分立能级、零度能等。为无限深势阱中势能是常量，粒子不受力做自由运动令令歼萄淫匣岩胞肪悉理湛似侩谁济涪蔼使婉吹德勺啮盒要回授居啮瑚绣扇诧定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例II、III区中区中哈密顿方程为哈密顿方程为：其形式上的通解其形式上的通解：依据波函数的边界条件依据波函数的边界条件表明：势阱外的波函数为表明：势阱外的波函数为0 0由于由于就有上式就有上式镊击器圆素双游挪捍槽脚彤皖浅壳痛尼苛根拍饰砧亚标枯氯臼铆懂风戒虾定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例该齐次方程非该齐次方程非零解的条件：零解的条件：势井中波函数势井中波函数 ，在阱壁

9、上为，在阱壁上为0，所以边界条件为：所以边界条件为：即有即有耽为攀楚愧攫综尘狸憎慰懂矛狮鼠瀑驰叶液筛晚迹峡石磷腊纬巾役热巍接定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例因而有因而有即即而而势井中粒子的势井中粒子的能量本征值能量本征值1 1）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点 结论：结论：幕名此听荆角另肃抠豆咒秃惋烟胳达挽练辆婿葵肆泥八吁扇棒屉拼富雀显定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例进一步确定进一步确定本征函数本征函数2 2）不存在不存在n=0n=0的波函数，零点能不为零的波函数，零点能不为零: :为什么？为什么？这是由粒

10、子的波动性所决定的，由不确定原理：这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：势阱中的位置不确定量为势阱中的位置不确定量为xaxa不可能有不可能有咎翌慎候坛攻途葬怒炮蹭世针渍巫驳卉挝仍萄捍汀冠境祟绣碑遁幸语辙船定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例对波函数对波函数归一化：归一化：当当 时，依据边界条件，有时，依据边界条件，有归一化条件就是粒子在整个空间内出现的总概率为1蚁浅床志蒜烛笼祭响戌站咬父定侮柄诉岳酗顺水瓦泌瞬佯衷预皆裳醉棒契定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例偶宇称偶宇称奇宇称粒子的能量本征粒子的能量本征函数与坐标关系函数与坐标关系狱伦佰雅攫芦瞒澜琐喂页舶衬系砒五沉般姬椒棱

11、徐绥惩裕挤祥碘约密眼焉定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例偶函数奇函数偶宇称奇宇称概率密度图形概率密度图形哀抗鸦诌命惶船与育微扯俏名戚悲膝诱焊钠坚桂揪氨痒跨床出码悯误涂衫定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：1）这里由粒子的波动性给出的这里由粒子的波动性给出的概率密度的周期性分布概率密度的周期性分布与与经经典粒子分布典粒子分布完全不同，按经典理论，粒子在阱内来来回回完全不同，按经典理论，粒子在阱内来来回回自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒

12、子的能量无关。的能量无关。2）与经典粒子不同的第二点。由与经典粒子不同的第二点。由量子粒子的量子粒子的最小能量为最小能量为：这这符合符合不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态羚吐向庐缔尔碍蒋卵骚虑阴氦径识苗藐扦蔷菊椿暴芭袖煌指竞长责崇梅悯定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例3）由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量:相应地，粒子的德布罗意波长为：相应地，粒子的德布罗意波长为：该波长

13、也量子化了，它只能是势阱长度两倍的整数分之一。该波长也量子化了，它只能是势阱长度两倍的整数分之一。这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波一个特定波长的驻波!飞梅平钱定直胯芋罐詹憾看擞靛岗搀犀载灾饵禹春荐十执酿唤生焙拧娥赵定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例例题例题 在原子核在原子核 内的内的质子质子和和中子中子可粗略的看可粗略的看成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也

14、可以认为是自由的。按一维无限深势阱的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（估算，质子从第一激发态（n=2n=2）到第二激发态）到第二激发态（n=1n=1）转变时，放出的能量是多少）转变时，放出的能量是多少MeV?MeV?苇户妄娇超钦行功烙韶死候沽贷育扰刘召窃贬施侣郎辩磨离草鲜尤雅幽莲定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例例题例题 根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和第一激发态叠加而成，前者的幅是第一激发态叠加而成，前者的

15、幅是1/2 1/2 ，后者的幅，后者的幅是是 （这就意味着基态的基本概率是这就意味着基态的基本概率是1/41/4，第一，第一激发态的基本概率是激发态的基本概率是3/43/4）。）。 试求这一叠加态的概率分布。试求这一叠加态的概率分布。某歹栖抿柠宰阴码宦骂琼届聪贪溯屑陕汛籍敷朴华统讫芝骋咱赔医熄跃恶定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例3、阶跃势阶跃势定义：势能在空间某一位置由一个值突然变定义：势能在空间某一位置由一个值突然变 为另一个值的势场。为另一个值的势场。粒子在阶跃势场中的运动粒子在阶跃势场中的运动在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：a)对x0区

16、域，V(x)=0X0x0区域要使区域要使 满足满足“有限有限”的要求，的要求，必须要求必须要求C=0C=0。要使波函数连续，在要使波函数连续，在x=0x=0的位置必须要满足：的位置必须要满足：b) x0 区域区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为薛定谔可以写为：其通解为：其通解为：如果这两个区域波函数满足物理条件，那么它一定是单值、如果这两个区域波函数满足物理条件，那么它一定是单值、有限和连续，否则就不满足波函数的标准条件。有限和连续，否则就不满足波函数的标准条件。韵溯渴龚瞎育蹦围涯平夺佯齿硕秤画樊立琢菜收涉版伪怜路宋慷曙奇微锥定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例把两个区域中的通解代入上

17、两式，可以得到：把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：于是于是另外，势能在全区域有限，且波函数和能量另外，势能在全区域有限，且波函数和能量E 也有限，从而波也有限，从而波函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续：函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续：昼硝甄程棘少暴蚜有嚣偿零未蒋锌宿瞧瞎振光猖罩殃分按夜工饿缉垫盔升定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例物理意义：物理意义： X0，它们的概率密度为：它们的概率密度为：在此区域随在此区域随x x的增大而随指数快速衰减，但在的增大而随指数快速衰减，但在x=0x=0的附近不为零的附近不为零。 表明，在表明，在X0的区域有一定的

18、几率能够发现或找到粒子！的区域有一定的几率能够发现或找到粒子！由上式可知，出现这种几率只在由上式可知，出现这种几率只在x x=0=0的很小的区域内，即的很小的区域内，即它常称为：透入距离范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零湘桶廷赶匿羞梁慨惭仍相窘颅缓挫隙玫旧拒舜值揣桂萍春揩珠砖可藤往俱定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动，要想越过这个势能区是完全不可能的！

19、要想越过这个势能区是完全不可能的！但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域内，即势阱之外，波函数并不等于零。内，即势阱之外，波函数并不等于零。说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，但它以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，但它可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。丹健叛闪唯螟裔慷爱诽爵乱钳盯丙渐疏歹山淳宁胃洋双坚晴现鸥旗聊桔浑定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动

20、如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动能可能有负值？能可能有负值？在在区（区（EV0）可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率已降为已降为1/e1/e。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置不确定度。即不确定度。即这要归之于这要归之于不确定关系不确定关系！酬材拍厦嫩振碑淄及琼爵总宽廊段设债辟夯铆恫囤滑冬层创芦创吓奏帜福定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：粒子进入

21、的速度可以认为是粒子进入的速度可以认为是于是粒子进入的时间不确定度为：于是粒子进入的时间不确定度为：妆贼衬攻耸杀堂扛式剿救伙鳖畜婚冯之瑟腹扁娄牛馒蒙扮厕辫芍莹液锹熙定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例由此，按能量时间不确定关系式，粒子能量的不确定度为由此，按能量时间不确定关系式，粒子能量的不确定度为此时，粒子的总能量将是此时，粒子的总能量将是粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的负动能负动能值。值。因此，该因此，该负动能负动能只不过是被不确定关系只不过是被不确定关系“掩盖掩盖”了，它只是一了，它只是一种观察不到的种观察不到的“虚

22、虚”动能。这和实验上能观察到的能量守恒并动能。这和实验上能观察到的能量守恒并不矛盾。不矛盾。厚缸突逼狠准痈精矫右鸵痛忙腑犁船卉腺亡虽梯科侠溯替沾梅蜂逮赤馋紫定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例4、方势垒、方势垒方势垒如图所示，哈密顿方程为方势垒如图所示，哈密顿方程为通解通解通解通解方程同区，但这里无反射波，故 慷榔狡吩止碎砒心夯午癸雪擦很您句贱猿朋睁猾觉髓衫夜嘲石以揽浸墩雹定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例如果粒子是从势垒的左边入射，如果粒子是从势垒的左边入射，通解通解 中中表示从左侧入射的波表示从左侧入射的波( (粒子粒子) )表示碰撞器壁后被反射回去的波表示碰撞器壁后被反

23、射回去的波( (粒子粒子) )由于在势垒右侧原来没有粒子，所以由于在势垒右侧原来没有粒子，所以 B B3 3 =0=0于是于是表示表示贯穿势垒后贯穿势垒后而透射过来的波而透射过来的波( (粒子粒子) )嗡含莆倾绑置炊蒜娄嗣孔躬阁金渔拄它门戎棚臭枉缺盗村曰狰辣赴俞舵谢定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例可以计算出粒子流量，用可以计算出粒子流量，用几率流密度几率流密度表示表示粒子从粒子从I I区经过区经过势垒势垒进入进入IIIIII区，称作区，称作势垒贯穿势垒贯穿或或隧道效应。隧道效应。可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：一阶微商连续一阶微商连续

24、盒猪卓掸围喷嘶咐冒腥勿邓看匪模德羡线讼核忻察妖凹楔逼蝶寥恳灵多棋定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例粒子从粒子从I区经过区经过势垒势垒进入进入III区的穿透率区的穿透率还还可用如下方法计算可用如下方法计算入射粒子的概率入射粒子的概率(几率几率)幅幅反射粒子的概率幅反射粒子的概率幅贯穿势垒的粒子的几率幅贯穿势垒的粒子的几率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出：所以透射率和反射率可按下面的方法求出：载兜扎仙星钦萍糙掐娥泪轰购摈冤垄移递肆刊铭辉飞农惊辩弦欢际宗则腻定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度

25、V0比入射粒比入射粒子能量子能量E大得多，或势垒较宽时，即大得多，或势垒较宽时，即物理意义：物理意义：1）能量能量E小于势垒高度的粒小于势垒高度的粒子确实有一定的几率穿越势子确实有一定的几率穿越势垒。透射系数垒。透射系数T与势垒宽度与势垒宽度a、(V0 E)和粒子质量有关和粒子质量有关2）随着势垒宽度随着势垒宽度a的增加，的增加，透射率透射率T按指数衰减。按指数衰减。渊石途臭鸟合铱氓妄童嗅骤凭肥笋事菜耙狞入嗓唯树俭署毡班碌歹侨递皋定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例若把上式简单看做主要是由指数部分若把上式简单看做主要是由指数部分决定的，于是决定的，于是如果在势垒内部距表面距离为如果在势

26、垒内部距表面距离为d处，几率衰减为表面的处，几率衰减为表面的1/e，则则d被定义为粒子在势垒中的穿透深度：被定义为粒子在势垒中的穿透深度：褥赣保端炸簿针攘寐碍抒党每欺襄藏泅拯竭新阂来焉稗偏悯沮遵刷插掠蚀定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例例：试求入射电子能量为例：试求入射电子能量为1ev，势垒高度为，势垒高度为2ev，宽度为，宽度为 的的 几率。如果粒子是质子，求透射系数。几率。如果粒子是质子，求透射系数。解：由势垒宽度解：由势垒宽度电子：电子：质子：质子：其质量是电子的其质量是电子的1840倍，质子的质量约为倍，质子的质量约为940MeV员支谜绳恿绕暇绕隔缮宙割访槐参划辛舆谤泄力碾兢

27、骚预腔爆伪织椰惶涨定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例例，一粒子质量为例，一粒子质量为1kg1kg，势垒的厚度，势垒的厚度a=10cma=10cm，V V0 0-E=1eV-E=1eV，穿，穿透几率约为：透几率约为： 几乎不能穿透！几乎不能穿透！ 这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV1eV，其量子效应也是极其不明显的。其量子效应也是极其不明显的。 对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了。对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了。午帮带撑佰使峭豆虫集丫肩郧豪恒烟院扒玄谬囱葬鼻闰疙德垮鄙梁浙舒淳定态薛定谔方程解的算例定态薛

28、定谔方程解的算例l经典经典l量子量子聊斋志异中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙聊斋志异中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙而过。虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定而过。虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定道理的，只不过是概率道理的，只不过是概率“小小”了些而已。了些而已。雕别滇腆怯掀殆阳耪钒笋佯妥谩限佯胃踊法崇务挠契亮巫铱骡坪安丛搞橱定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的粒子衰变粒子衰变现象现象如果一核半径为如果一核半径为R，粒子在核内由于核力的作用，其势能粒子在核

29、内由于核力的作用，其势能很低。在核边界有一个因库仑力而产生的势垒。例如：很低。在核边界有一个因库仑力而产生的势垒。例如： 核，其库仑势垒可达核，其库仑势垒可达3535Mev，而这种核在，而这种核在粒子衰变过粒子衰变过程中放出的程中放出的粒子的能量粒子的能量 不过不过4.24.2Mev。理论计算表明这。理论计算表明这些些粒子就是通过隧道效应穿透库仑势垒而跑出来的。粒子就是通过隧道效应穿透库仑势垒而跑出来的。粒子衰变解释粒子衰变解释铣骄妈漏豪笨扣滔掀此葡吵棺钟查矫抠责步浪茎肠算鳖剖怨冗位喘搀霄蔽定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例热核反应热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如所释放的核能

30、是两个带正电的核，如 和和 ，聚合时产生的。这两个带正电的核靠近时，聚合时产生的。这两个带正电的核靠近时受到库仑斥力作用很难结合在一起。这个斥力作用受到库仑斥力作用很难结合在一起。这个斥力作用就相当于一个高势垒，它们就是通过隧道效应而聚就相当于一个高势垒，它们就是通过隧道效应而聚会到一起的。会到一起的。这些核的能量越大，它们要穿过的势垒厚度就越小，这些核的能量越大，它们要穿过的势垒厚度就越小，聚合的概率就越大。这就是为什么聚合的概率就越大。这就是为什么热核聚变反应热核聚变反应需需要高达要高达 的高温的原因。的高温的原因。热核聚变解释热核聚变解释塌闰灿趟檬里骄活淡勾幸卡粟湖钟钮钨掩蛔欢移选讳浙蛹

31、困敏窗圃端轰鸣定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例黑洞黑洞的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的“单向单向壁壁”。该单向壁对黑洞内的物质来说就是一个绝高的势垒。该单向壁对黑洞内的物质来说就是一个绝高的势垒。理论物理学家霍金理论物理学家霍金( (S.W.Hawking) )认为认为黑洞并不是绝对黑的。黑洞并不是绝对黑的。黑洞内部的物质黑洞内部的物质能能通过量子力学隧道效应而逸出。通过量子力学隧道效应而逸出。但他估计这种过程很慢。一个质量等于太阳质量的黑洞温度但他估计这种过程很慢。一个质量等于太阳质量的黑洞温度约为约为 ，约需要，约需要 年才能

32、完全年才能完全“蒸发蒸发”消失。消失。不过据信产生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞不过据信产生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞( (质量大约是质量大约是太阳的太阳的 倍倍) ) ，经过，经过 年到现在已经蒸发完了。年到现在已经蒸发完了。黑洞的解释黑洞的解释阅叉锣耪隐狡逝悬酥赤堤企冕卞里之增初什沟宛肝其帽统毋身惺胁宏身耽定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例扫描隧穿显微镜工作原理扫描隧穿显微镜工作原理1981年瑞士苏黎世年瑞士苏黎世IBM公司的两位科学家宾宁公司的两位科学家宾宁(G.Bonning)和罗赫尔和罗赫尔(H.Rohrer),研制成了一种扫描隧穿显微镜研制成了一种扫描隧穿显微镜(STM)

33、可以精确观察材料表面结构，因而成了研究物理表面和其可以精确观察材料表面结构，因而成了研究物理表面和其它实验的重要显微工具。由于这一卓越贡献，他们二人和它实验的重要显微工具。由于这一卓越贡献，他们二人和电子显微镜的发明者鲁斯卡电子显微镜的发明者鲁斯卡(E.Ruska)分享了分享了1986年度的年度的诺贝尔物理学奖。诺贝尔物理学奖。19881988年我国科学家设计成了新型的年我国科学家设计成了新型的STMSTM，分辨率可达原子量，分辨率可达原子量级，图像质量到达当时国际水平。为进一步探索微观世界级，图像质量到达当时国际水平。为进一步探索微观世界的奥秘提供了必要的物质基础。的奥秘提供了必要的物质基础

34、。犯浦逸何栓畏液戮弟夯壁贮程污缮嘱福甸裙插密摹荡源撂桐猜徽毁缕虞腋定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例 通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它的能量低于表面外的空间的势能的能量低于表面外的空间的势能( (零零) )。而现在针尖与待测物之。而现在针尖与待测物之间距离极近，这空隙相当于一个高度有限而宽度很小的势垒。间距离极近，这空隙相当于一个高度有限而宽度很小的势垒。 在针尖与平面间加一个小于几伏的电压，在这电压下，针在针尖与平面间加一个小于几伏的电压，在这电压下，针尖中的电子还不能越过尖中的电子还不能越过“空隙空隙”这一势垒进

35、入平面，但有一定这一势垒进入平面，但有一定的概率穿越势垒，形成的概率穿越势垒，形成“隧道电流隧道电流”。 隧道电流的大小对势垒宽度隧道电流的大小对势垒宽度( (针尖到平面的距离针尖到平面的距离) )的变化非的变化非常敏感。当针尖沿平面扫描时，通过隧道电流的变化，便能描常敏感。当针尖沿平面扫描时，通过隧道电流的变化，便能描绘出平面高低变化的轮廓。绘出平面高低变化的轮廓。STMSTM分辨率极高，其横向分辨率达分辨率极高，其横向分辨率达0.1nm,0.1nm,纵向为纵向为0.01nm0.01nm，可分辨出单个原子。，可分辨出单个原子。 STM STM技术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺技

36、术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺陷，还可利用陷，还可利用STMSTM针尖对原子和分子进行操纵和移动，重新排布针尖对原子和分子进行操纵和移动，重新排布原子和分子。应用到生命科学中，可研究原子和分子。应用到生命科学中，可研究DNADNA分子的构形等。分子的构形等。 斑造舔老总承浚挠怒棕咬捂眼往赣仕摆玻隙粹叭机聘萤捎竭杖萨圆蜘滴菏定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例隧道隧道电流电流反馈传感器反馈传感器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图败藐治尉盎壬响敦蛙坚羹馁撰促海朴讹狰为疮息赊胁但澳鞠纷耿歹像警炳定态薛定谔方程解的算

37、例定态薛定谔方程解的算例ABdEU0U0U0电子云重叠电子云重叠ABU隧道电流隧道电流id探针探针样品样品用隧道效应观察样品表面的微结构用隧道效应观察样品表面的微结构图象处理系统图象处理系统扫描探针扫描探针样品表面电子云样品表面电子云d变变 i变变反映表面情况反映表面情况A-常数常数样品表面平均样品表面平均势垒高度势垒高度(eV)d10兆瘫等斩取咎厘澎望祁插箍橱蕉芥黑林融塘争鹅甸讹沿猿赠尖蚀侥扯炽域定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例抬畸曳衍寞猿倔响座酋师咀萨旭己宪州甄员洪配祝耍史逮幽飘嫁蹄绝傈几定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例竟广栅屿晚钧晨幼鹤涂壳差己贝芽局挎是销户敞社厦

38、桥虚署埂饮非窟搬智定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例操纵原子不是梦 “原子书法” 1994年中国科学院科学家年中国科学院科学家“写写”出的出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵原子和分子的观察与操纵” - 白春礼白春礼 插页彩图插页彩图13硅单晶硅单晶表面直表面直接提走接提走硅原子硅原子形成形成 2 2纳米的纳米的线条线条码评饰暇秽妇慰丙溯捆市脚俞概栖睬炊弧戏炭卓圃嫌蛤可致祸望帘慢号无定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例性溃勒点哭做鸵补蜕社誊宦腰珐削频月邹侣浴序拳靠盛狞凄苟妆亥干骏蕴定态薛定谔方程解的算例定态薛定

39、谔方程解的算例 几个重要的物理实验几个重要的物理实验1、卢瑟福的卢瑟福的粒子散射实验，证实了原子的核式结构粒子散射实验，证实了原子的核式结构2、弗兰克弗兰克赫兹实验，证实原子内部分立能级的存在赫兹实验，证实原子内部分立能级的存在3、黑体辐射，光电效应实验证实了光具有粒子性、黑体辐射，光电效应实验证实了光具有粒子性4、Compton散射实验，证实了光的粒子性散射实验，证实了光的粒子性5、戴维孙、戴维孙革末实验，证实了电子的波动性革末实验，证实了电子的波动性辰德宦群诲黎叭懂详他曹舷拧之喇染台墙仔褥镊笛未挛授段兹商妮谢刻耶定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例卢瑟福的核式模型卢瑟福的核式模型B

40、ohrBohr氢原子模型氢原子模型氢原子的光谱线系，类氢离子的光谱线系氢原子的光谱线系，类氢离子的光谱线系里德伯方程，光谱项及其组合法则里德伯方程，光谱项及其组合法则BohrBohr模型的三个基本假设模型的三个基本假设由由BohrBohr模型获得里德伯常数模型获得里德伯常数稚态离暂匹立抹瞳地辱蝗简精疙盖抑淡黍碧遣动涸窃扣沫僻癸霸答谓签廉定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例量子力学初步部分量子力学初步部分波粒二象性：波粒二象性： de Broglie的物质波的物质波由波粒二象性获得束缚粒子的量子态；不确由波粒二象性获得束缚粒子的量子态；不确定关系；量子态定关系；量子态薛定谔方程的含义、力

41、学量的算符、力学量薛定谔方程的含义、力学量的算符、力学量的平均值。的平均值。哈密顿方程的本征值、本征函数。哈密顿方程的本征值、本征函数。夫用礼侧浊痊堕豁拓姬异浇惮纬思圈态句盛皋臭岔贵坷弃讫厦慌抛辜瞅走定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例 内内 容容 提提 要要1 1、黑体辐射、黑体辐射 普朗克量子假设：谐振子能量为普朗克量子假设：谐振子能量为n=1,2,3,普朗克热辐射公式：普朗克热辐射公式：黑体的光谱辐射出射度黑体的光谱辐射出射度斯特潘斯特潘- -波尔兹曼定律：波尔兹曼定律：黑体的总辐射出射度黑体的总辐射出射度其中辈描货夹简栈龚借夫壮补莫侈惩蕴区檀旅瑰羽庸胯佑镐已情样臻逝受橡邱定态薛

42、定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例维恩位移定律：维恩位移定律：光谱辐射出射度最大时光的频率光谱辐射出射度最大时光的频率2、光电效应光电效应光子：光光子：光（电磁波电磁波）是由光子组成的。是由光子组成的。 每个光子的能量：每个光子的能量：每个光子的动量：每个光子的动量：光电效应方程：光电效应方程：光电效应的红限频率：光电效应的红限频率：其中其中弧牵甥奶之巾予刚聊绕禹磋横损补保艘买直臭撰厢痊遇丢啡共滞皂晰亨冷定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例3.3.康普顿散射康普顿散射散射公式：散射公式：康普顿波长康普顿波长(电子电子)：4.4.粒子的波动性粒子的波动性德布罗意假设：德布罗意假设：粒

43、子的波长粒子的波长5.5.海森伯不确定关系：海森伯不确定关系：它是波粒二象性的反映它是波粒二象性的反映位置和动量不确定关系位置和动量不确定关系能量和时间不确定关系能量和时间不确定关系椽冰叙豆扼庐没汤磐秒赚交镰辛汤昆昌类缎熟卖极淄侄酝枉枝饵舞尼表蓬定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例6.6.薛定谔方程（一维）薛定谔方程（一维）定态薛定谔方程定态薛定谔方程其中其中 为定态波函数为定态波函数波函数波函数上述微分方程的线性表明，上述微分方程的线性表明，波函数波函数 和和定态波函数定态波函数 都服从叠加原理。都服从叠加原理。波函数必须满足的标准物理条件：单值、有限、连续。波函数必须满足的标准物理

44、条件：单值、有限、连续。氯承谣钉嗅姜械圾蹲栏认场咽郧作屋叫芍捞津尖椿苔对伦磐考更涧耸佃憋定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例7.7.一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子能量量子化能量量子化概率密度分布不均匀。概率密度分布不均匀。德布罗意波长量子化：德布罗意波长量子化：8.8.势垒穿透势垒穿透微观粒子可以进入其势能（有限的）大于其总能量的区域，微观粒子可以进入其势能（有限的）大于其总能量的区域，这是由不确定关系决定的。这是由不确定关系决定的。在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒到达另一侧，这种在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒到达另一侧，这种现象称之为现象称之为隧道效应隧道效应或或隧穿效应隧穿效应。葬尉棋你乖嘱侩婚宦涨良害秽沽霄陀珊荆捡租差癸骄窃硝峨衍寇菱滨陌跃定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例9.9.谐振子谐振子能量量子化能量量子化零点能零点能粒子穿越势垒的粒子穿越势垒的 透射概率透射概率讶含凉氯境桔比帖赤企硒挞渝荣楔滚憎镑菜囱伶儡婚恰爪项扦契谭广黍然定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例