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1、高等数学高等数学高等数学高等数学第四章第四章(向量代数与向量代数与)空间解析几何空间解析几何 前言向量代数(补充内容) 第一节 平面与直线第二节 简单的二次曲面高等数学高等数学高等数学高等数学简单的二次曲面结构图简单的二次曲面结构图本节内容：本节内容：一、曲面与方程（包括柱面方程）一、曲面与方程（包括柱面方程）二、空间曲线二、空间曲线三、旋转曲面三、旋转曲面四、二次曲面四、二次曲面二次曲面二次曲面（按构造分）（按构造分）柱面柱面圆柱面圆柱面 旋转曲面旋转曲面 椭圆柱面椭圆柱面 抛物柱面抛物柱面双曲柱面双曲柱面球面椭球面抛物面圆锥面高等数学高等数学高等数学高等数学一、曲面及其方程一、曲面及其方程
2、一般地一般地,如果曲面如果曲面S与三元方程存在如下关系与三元方程存在如下关系:(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0.(2)不在曲面不在曲面S上的点不满足方程上的点不满足方程.那么那么F(x,y,z)=0称为曲面称为曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S称为方程的图形称为方程的图形.1.曲面方程及其图形曲面方程及其图形高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学曲面方程曲面方程高等数学高等数学高等数学高等数学曲面方程曲面方程高等数学高等数学高等数学高等数学P119 例例13 确定球面方程的球心与半径。确定球面方程的球心与半径。高等数
3、学高等数学高等数学高等数学2.柱面柱面定义定义 设给定一条直线设给定一条直线L,则平行则平行于于L且沿曲线且沿曲线C移动的直线移动的直线L所形所形成的曲面叫成的曲面叫柱面柱面. 定曲线定曲线C 叫柱面的叫柱面的准线准线,动动直线直线L叫作柱面的叫作柱面的母线母线. 如果柱面的准线是如果柱面的准线是xOy面上面上的曲线的曲线C,其方程为其方程为f(x,y)=0,柱面柱面的母线平行于的母线平行于z轴轴,则方程则方程f(x,y)=0就是这柱面的方程就是这柱面的方程.高等数学高等数学高等数学高等数学 在此柱面上任取一点在此柱面上任取一点M(x,y,z),过点过点M作直线平行于作直线平行于z轴轴,此此直
4、线与直线与xOy面相交于点面相交于点M0(x,y,0), 点点M0就是点就是点M在在xOy面上面上的投影的投影,于是点于是点M0必落在准线上必落在准线上,它在它在xOy面上的坐标面上的坐标(x,y)必必满足满足f(x,y)=0，这个方程不含，这个方程不含z的项，所以点的项，所以点M的坐标的坐标(x,y,z)也满足方程也满足方程f(x,y)= 0.因此因此,在空间坐标系中在空间坐标系中,方程方程f(x,y)=0,所表所表示的图形就是平行于示的图形就是平行于z轴的柱面。轴的柱面。 同理可知同理可知,只含只含y,z而不含而不含x的方程的方程f(y,z)= 0和只含和只含x,z而不含而不含y的方程的方
5、程f(x,z)= 0,分别表示平行于分别表示平行于x轴和轴和y轴的柱面轴的柱面.母线平行于坐标轴的柱面母线平行于坐标轴的柱面 在空间直角坐标系在空间直角坐标系oxyz下含两个变量的二次方程即为柱面下含两个变量的二次方程即为柱面方程方程.其名称根据此二次方程在所含变量平面上的曲线形状而其名称根据此二次方程在所含变量平面上的曲线形状而定。缺哪个变量，母线就平行于哪定。缺哪个变量，母线就平行于哪 个坐标。个坐标。高等数学高等数学高等数学高等数学母线平行于坐标轴的柱面母线平行于坐标轴的柱面高等数学高等数学高等数学高等数学二、空间曲线二、空间曲线 如果两个曲面的方程为如果两个曲面的方程为F1(x,y,z
6、)=0和和F2(x,y,z)= 0,则它则它们的交线们的交线C上的点同时在两个曲面上上的点同时在两个曲面上,其坐标必须同时满足这其坐标必须同时满足这两个方程两个方程.反之反之,满足这两个方程的点也一定在这两曲面的交满足这两个方程的点也一定在这两曲面的交线上线上.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学2.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的方程为设空间曲线的方程为 作曲线作曲线C在在xOy面上的投影时面上的投影时,要通过曲线要通过曲线C上的每一点上的每一点作作xOy面的垂线面的垂线,这就相当于作一个母线平行
7、于这就相当于作一个母线平行于z轴且通过曲轴且通过曲线线C的柱面的柱面,这柱面与这柱面与xOy面的交线就是曲线面的交线就是曲线C在在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线,所以关键在求该柱面的方程所以关键在求该柱面的方程.从原方程中消去从原方程中消去z而得到而得到F(x,y)=0.高等数学高等数学高等数学高等数学 该方程表示一个母线平行于该方程表示一个母线平行于z轴的柱面轴的柱面,此柱面此柱面必包含必包含C曲线曲线,所以它是一个以曲线所以它是一个以曲线C为准线为准线,母线母线平行于平行于z轴的柱面轴的柱面,叫做曲线关于叫做曲线关于xOy面的投影柱面面的投影柱面,简称投影简称投影,曲线曲线C在在xOy
8、面的投影曲线方程为面的投影曲线方程为 高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学三、旋转曲面三、旋转曲面 一平面曲线一平面曲线C绕着该平面内一定直线绕着该平面内一定直线L旋转一周旋转一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.曲线曲线C叫做旋转曲面的叫做旋转曲面的母线母线,直线直线L叫做叫做旋转旋转曲面的曲面的轴轴. 设在设在yOz面上有一已知曲线面上有一已知曲线C:F(x,y,z)=0,将这曲线绕将这曲线绕z轴旋轴旋转一周转一周,就可以得到一个以就可以得到一个以z为为轴的旋转曲面轴的旋转曲面,求其方程求其方程.如图如图高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高
9、等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学例例5 求求yOz面上的直线面上的直线z=ky绕绕z轴旋轴旋转一周所成的旋转曲面的方程转一周所成的旋转曲面的方程.高等数学高等数学高等数学高等数学旋转曲面方程旋转曲面方程高等数学高等数学高等数学高等数学四、二次曲面四、二次曲面 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,方程方程F(x,y,z)=0一般代表曲面一般代表曲面,若若F(x,y,z)= 0为一次方程为一次方程,则它代表一次曲面则它代表一次曲面,即平面即平面.若若F(x,y,z)= 0为二次方程为二次方程,则它所表示的曲面称为则它所表示的曲面称为二次曲面二次曲面. 可以利用坐标面或平行于
10、坐标面的平面与曲线相截可以利用坐标面或平行于坐标面的平面与曲线相截,通过通过考察其交线的方法考察其交线的方法,去了解曲面的形状去了解曲面的形状,然后加以综合然后加以综合,从而了从而了解整个曲面的形状解整个曲面的形状.这叫做这叫做截痕法截痕法.高等数学高等数学高等数学高等数学1.椭球面椭球面高等数学高等数学高等数学高等数学1.椭球面椭球面高等数学高等数学高等数学高等数学2.双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学(2)双叶双曲面双叶双曲面高等数学高等数学高等数学高等数学3.抛物面抛物面高等数学高等数学高等数学高等数学(2)双曲抛物面双
11、曲抛物面高等数学高等数学高等数学高等数学课堂练习课堂练习母线平行于母线平行于Z Z轴（或者说以轴（或者说以Z Z轴为轴）的圆柱面轴为轴）的圆柱面以以yoxyox平面的直线平面的直线y=xy=x绕绕Z Z轴旋转的旋转面轴旋转的旋转面- -圆锥面圆锥面以以Z Z轴为旋转轴的旋转抛物面轴为旋转轴的旋转抛物面母线平行于母线平行于x x轴的抛物柱面轴的抛物柱面以原点为中心的椭球面以原点为中心的椭球面以点（以点（1,-1,01,-1,0）为球心，以）为球心，以1 1为半径的球面为半径的球面高等数学高等数学高等数学高等数学课堂练习课堂练习A 两个平面两个平面 B 双曲柱面双曲柱面 C 椭圆柱面椭圆柱面 D 圆柱面圆柱面AA 球面球面 B 旋转抛物面旋转抛物面 C 圆锥面圆锥面 D 圆柱面圆柱面CA 椭球面椭球面 B 柱面柱面 C 圆锥面圆锥面 D 抛物面抛物面DB做书本上的作业：做书本上的作业：07级学生做杨和稳教材级学生做杨和稳教材P192自测题七自测题七 08级学生方鸿珠教材级学生方鸿珠教材P146自测题五自测题五 高等数学高等数学高等数学高等数学再见！课外作业：课外作业：做练习本的作业：教材做练习本的作业：教材P120 同步练习二同步练习二
