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1、无穷级数习题课常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛敛散性不变散性不变. .性质性质2 2
2、: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质
3、;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. .3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域(3) (3) 和函数和函数(1) (1
4、) 定义定义6 6、幂级数、幂级数(2) (2) 收敛性收敛性推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法(其中其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法(其中其中除法除法b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :7 7、幂级数展开式、幂级数展开式(1) 定义定义(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性根
5、据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.(4) 常见函数展开式常见函数展开式(5) 应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式(1) (1) 三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数三角级数其中其中称为傅里叶级数称为傅里叶级数.(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )(4) (4)
6、正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数奇延拓奇延拓:(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓:二、典型例题二、典型例题例例1 1解解根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数收敛原级数收敛解解根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛解解从而有从而有原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散例例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛例例解解两边逐项积分两边逐项积分例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解和函数的图形为和函数的图形为例例7 7解解由上式得由上式得例例8 8解解测测 验验 题题测验题答案测验题答案
