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1、7 7 切线长定理切线长定理乐平二中乐平二中 夏祥宪夏祥宪问题问题1 1 经过平面上一个已知点，作已知经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？圆的切线会有怎样的情形？OOOP PPA问题问题2 2 经过圆外一点经过圆外一点P P，如何作已知，如何作已知O O的切线？的切线？新课导入新课导入新课导入新课导入 O O.A AB BP P思考思考：假设切线：假设切线PAPA已作出，已作出，A A为切点，则为切点，则OAP=90OAP=90, ,连接连接OPOP，可知，可知A A在怎样的圆在怎样的圆上上? ?问题问题2 2 经过圆外一点经过圆外一点P P，如何作已知，如何作已知O O的的切
2、线？切线？过过 O外一点作外一点作 O的切线的切线OPABO一、切线长定义一、切线长定义: 经过圆外一点做圆经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的切线，这点和切点之间的线段的长叫做的线段的长叫做这点到这点到圆的切线长。圆的切线长。OPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。获取新知获取新知 若从若从O O外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切，切点分别是点分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBO
3、B、OPOP，你能发现什么，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。结论？并证明你所发现的结论。A AP PO O.B BPA = PBPA = PB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90 OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL) PA = PBPA = PB试用文字语试用文字语言叙述你所言叙述你所发现的结论发现的结论PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B BPA = PBPA = PB 过圆外一
4、点所画的圆的两条切线的长相等过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.二、切线长定理二、切线长定理APOB.几何语言几何语言: 若从若从O O外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切点，切点分别是分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么结，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。论？并证明你所发现的结论。A AP PO O.B BPA = PBPA = PBOPA=OPBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90OAP=OBP=9
5、0 OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL) PA = PBPA = PB这里由全等这里由全等还可以得到还可以得到关于角度的关于角度的关系吗？关系吗？OPA=OPBOPA=OPBPAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B BOPA=OPBOPA=OPB推论：推论：从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。一点的连线平分两条切线的夹角。 APO。B几何语言几何语言: :反思反思：切线长定理及推论为证明：切线长定理及推论为证明线段线段相等、角相等相等、角相等提供了新的方法提供
6、了新的方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个A
7、PO.BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OPOP垂直平分垂直平分ABAB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPBPA = PB OPA=OPB PAB PAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OPOP垂直平分垂直平分ABABA AP PO O.B B 若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连结，连结CACA、CBCB，你又，你又能得出什么新的结论能得出什
8、么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CBCA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PBPA = PB，OPA=OPBOPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCPCA PCB AC=BCC C例例1 1 PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1 1）写出图中所有的垂直）写出图中所有的垂直关系关系. .OAPAOAPA，OB PBOB PB，AB OPAB O
9、P（3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形. .AOP BOPAOP BOP， AOC BOCAOC BOC， ACP BCPACP BCP（2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角. .OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPC典例精析典例精析典例精析典例精析例例1 1 PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（4 4）写出图中所有的相似三角形）写出图中所有的相似三角形. .AOC BOC AOC BO
10、C POAPOB PACPBCPOAPOB PACPBC（5 5）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形. .ABP AOBABP AOB典例精析典例精析典例精析典例精析.PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。要我们构建基本图形。例例2：已知如图，：已知如图，RtABC的两条直角边的两条直角边AC=10，BC=24， O 是是ABC 的内切圆，切点分别为的内切圆，切点分别为D,E,F，求，求 O 的
11、半径。的半径。解法解法1 1：连接：连接ODOD，OEOE，OFOF，设，设OD=rOD=r在在RtRtABCABC中，中，AC=10AC=10，BC=24BC=24O O分别与分别与ABAB，BCBC，CACA相切于相切于D,E,FD,E,FODODABAB，OEOEBCBC，OFOFACAC，OD=OE=OF OD=OE=OF 连接连接OAOA，OBOB，OCOC又又S SABCABC= S= SABOABO +S +SBCOBCO +S +SACOACOrr=4=4即即OO半径为半径为4 4【例题例题】例例2：已知如图，：已知如图，RtABC的两条直角边的两条直角边AC=10，BC=24
12、， O 是是ABC 的内切圆，切点分别为的内切圆，切点分别为D,E,F，求，求 O 的半径。的半径。解法解法2 2：连接：连接ODOD，OEOE，OFOF，设，设OD=rOD=r在在RtRtABCABC中，中，AC=10AC=10，BC=24BC=24O O分别与分别与ABAB，BCBC，CACA相切于相切于D,E,FD,E,FODODABAB，OEOEBCBC，OFOFACAC， BE=BD BE=BD， AF=ADAF=AD，CE=CFCE=CF又又C=90C=90四边形四边形OECFOECF为正方形为正方形EEC=FC=rC=FC=rBBE=24-r,AF=10-rE=24-r,AF=1
13、0-rAAB=BD+AD=BE+AFB=BD+AD=BE+AF 即即24-r+10-r=26,24-r+10-r=26, 2r=10+24-262r=10+24-26r=4r=4即即OO半径为半径为4 4【例题例题】例例3 3 如图，如图，PAPA、PBPB是是O O的切线，的切线，CDCD切切O O于点于点E E，PCDPCD的周长为的周长为1212，APB=60APB=60求：求：（1 1）PAPA的长；的长；（2 2）CODCOD的度数的度数解：解：（1 1）CACA，CECE都是圆都是圆O O的切线，的切线， CA=CECA=CE 同理同理DE=DBDE=DB，PA=PBPA=PB 三
14、角形三角形PDEPDE的周长的周长 =PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD =PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD =PA+PB =PA+PB =2PA =2PA =12 =12， 即即PAPA的长为的长为6 6；（2 2）P=60P=60，PCE+PDE=120PCE+PDE=120，ACD+CDB=360ACD+CDB=360-120-120=240=240，CACA，CECE是圆是圆O O的切线，的切线，OCE=OCA=OCE=OCA= ACDACD；同理：同理：ODE=ODE= CDBCDB，OCE+ODE=OCE+ODE= （ACD+CDBACD+CDB）=120=120，C
15、OD=180-120COD=180-120=60=60 【例例4 4】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分别相切于点分别相切于点L L，M M，N N，P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD.AD+BC=AB+CD.证明：证明：由切线长定理得由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MBLB=MB，NC=MCNC=MC，DN=DP,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即即AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD，DLMNABCOP【例题例题】圆的外切四边
16、形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等1.1.如果如果PA=4cm,PD=2cm,PA=4cm,PD=2cm,求半径求半径OAOA的长的长. .42xx【解析解析】设设OA=xcmOA=xcm；在在RtOAPRtOAP中，中，OA=xcmOA=xcm，OP=OD+PD=OP=OD+PD=（x+2x+2）cmcm，PA=4cm,PA=4cm,由由勾股勾股定理，得定理，得PAPA2 2+OA+OA2 2=OP=OP2 2，即即4 42 2+x+x2 2=(x+2)=(x+2)2 2, ,整整理，得理，得x=3.x=3.所以，半径所以，半径OAOA的长为的长为3cm.3cm.【跟踪训练
17、跟踪训练】ABCDEF2.2.设设ABCABC的边的边BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，内切圆，内切圆II和和BC,AC,ABBC,AC,AB分别相切于点分别相切于点D,E,F.D,E,F.求求AE,CD,BFAE,CD,BF的长的长. .Ixyz【解析解析】设设AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=z,CD=z, xyz答答：AE=9 , BF=6AE=9 , BF=6，CD=2CD=2x+y=15,x+y=15,y+z=8,y+z=8,x+z=11,x+z=11,x=9,x=9,y=6,y=6,z=2,z=2,则则解得解得3.3.如图，如图，ABCABC中，
18、中，C=90C=90，它的内切圆，它的内切圆O O分分别与边别与边ABAB、BCBC、CACA相切于点相切于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求，求O O的半径的半径r r解：解：连接连接OEOE，OFOF，O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切于点相切于点D D、E E、F F，DEBCDEBC，DFACDFAC，AF=AD=8AF=AD=8，BE=BD=12BE=BD=12，OEC=OFC=90OEC=OFC=90，C=90C=90，四边形四边形OECFOECF是矩形，是矩形，又又OE=OFOE=OF，四边形四边形OECFOECF是正方
19、形，是正方形，EC=FC=rEC=FC=r，AC=AF+FC=8+rAC=AF+FC=8+r，BC=BE+EC=12+rBC=BE+EC=12+r，AB=AD+BD=12+8=20AB=AD+BD=12+8=20，在在RtABCRtABC中，中，ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2，20202 2= =（12+r12+r）2 2+ +（8+r8+r）2 2，r r2 2+20r-96=0+20r-96=0，即（即（r-4r-4）（）（r+24r+24）=0=0，解得：解得：r=4r=4或或r=-24r=-24（舍去）舍去）O O的半径的半径r r为为4 41 1（珠海（珠海中考）
20、如图，中考）如图，PA,PBPA,PB是是 O O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A,BA,B，如果，如果P P6060, ,那么那么AOBAOB等等于（于（ ） A.60A.60 B.90 B.90C.120C.120 D.150 D.150C C2.2.（杭州（杭州中考）如图，正三角形的内切圆半径为中考）如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那么这个正三角形的边长为（那么这个正三角形的边长为（ ）A A2 2 B B3 C3 C D D ABD3.3.已知：如图已知：如图,PA,PB,PA,PB是是O O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A,BA,B，Q Q为为O O上一点，过上一点，
21、过Q Q点作点作O O的切线，交的切线，交PA,PBPA,PB于于E,FE,F点，已知点，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PEFPEF的周长的周长. .【解析解析】易易证证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. PE+EQ=PA=12cm, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.PF+FQ=PB=PA=12cm.周长为周长为24cm.24cm.F1.1.切线长定理及推论切线长定理及推论 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条
22、切线的夹角。切线的夹角。 APO。BECDPAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B BPA = PB ,OPA=OPBPA = PB ,OPA=OPBOPOP垂直平分垂直平分ABAB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，线段相等，角相等，弧相等，垂直关系角相等，弧相等，垂直关系提供了理提供了理论依据，必须掌握并能灵活应用。论依据，必须掌握并能灵活应用。2.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结完成课堂点睛第完成课堂点睛第71-7271-72页页课后作业课后作业课后作业课后作业 谁在装束和发型上用尽心思，谁在装束和发型上用尽心思，谁就没有精力用于学习；谁只注谁就没有精力用于学习；谁只注意修饰外表的美丽，谁就无法得意修饰外表的美丽，谁就无法得到内在的美丽。到内在的美丽。 杨尊田杨尊田
