《中值定理与导数的应用(10)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中值定理与导数的应用(10)课件（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、泰勒公式泰勒公式主要是用多项式近似代替函数主要是用多项式近似代替函数, ,且误差可由公式表且误差可由公式表示出来示出来. .这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数用高次多项式来近似表示函数, ,同时给出误差公式同时给出误差公式. .第三节第三节 泰勒公式泰勒公式在利用微分作近似计算时在利用微分作近似计算时(当当 时时)不足不足: :问题问题: :1 1、精确度不高；、精确度不高； 2 2、误差不能估计、误差不能估计. .问题的提出问题的提出将求得的系数将求得的系数 a0, ,a1, ,a2,an代入代入(1)(1)式式
2、, ,有有(2)来来近近似似表表达达f( (x),),要要求求Pn n( (x) )与与f( (x) )之之差差是是比比( (x- -x0 0) )n高高阶阶的的无无穷小穷小, ,并给出误差并给出误差| |f( (x)- )- Pn n( (x)|)|的具体表达式的具体表达式. .设函数设函数f( (x) )在含有在含有x0 0的开区间内具有直到的开区间内具有直到(n+1)(n+1)阶导数阶导数, ,试找出试找出一个关于一个关于( (x- -x0 0) )的的n n次多项式次多项式(1)假设假设Pn n( (x) )与与f( (x) )在点在点x0 0的函数值及它的直到的函数值及它的直到n n
3、阶导数都相等得阶导数都相等得证明证明: :()则由上式得则由上式得拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项注注: : 1)1)在不需要余项的精确表达式时，在不需要余项的精确表达式时，n n 阶泰勒公式也可阶泰勒公式也可 写成写成(5)(5)麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式解解代入公式代入公式, ,得得由公式可知由公式可知估计误差估计误差其误差其误差 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式解解原式原式例例3 3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限 解解 由于分式的分母由于分式的分母所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即返回返回
