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1、空间向量空间向量在立体几何中的应用在立体几何中的应用 用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问题问题 RDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和BC上的动点，且上的动点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的的中点中点. 求证：求证： MN平面平面AC.法法:M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1法法:作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结连结QP1， 作作NN1 QP1于于N1，连结连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM
2、1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo法法3：建立如图所：建立如图所示的空间直角坐示的空间直角坐标系标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又又A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0, 0, 1)， 又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACDCBAD1C1B1A1例例
3、3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证： 平面平面A1BD平面平面CB1D1法法1:平行四边行平行四边行A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx法法2：建立如图所示的空：建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，则向量则向量设平面设平面BDA1的法向量的法向量为为则有则有x+z=0x+y=0令令x=1,则得方程组的解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量为的法向量为同理可得平面同理可得平面C
4、B1D1的法向量为的法向量为则显然有则显然有即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx 用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问题问题 例4:证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 例例5 5：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1 1上的点，上的点，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。 求
5、证求证: : 面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy不不妨妨设设 a =2 a =2，则，则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（ 3 3 ，1 1，0 0）C C（0 0，2 2，0 0），），E E（ 3 3，1 1，2 2） F F（0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（ 3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），），因为，因为，x x轴轴 面面ACF ACF 所以所以 可取面可取面ACFACF的法向量为的法向量为m=m=（1 1，0 0，0 0），），设设n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法向量，的法向
6、量，则则AFEC1B1A1CBzyxnAE=nAE= 3x+y+2z=03x+y+2z=0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=（0 0，-2-2，1 1）显然有显然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF证明：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系A-xyz A-xyz ，例8总总结：结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很题，是近年来很“热热”的话题，其原因是它把有关的话题，其原因是它把有关的的“证明证明”转化为转化为“程序化的计算程序化的计算. 利用向量解题利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。几何问题是学好立体几何的基础。
