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1、 在给定条件下求函数的解析式在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉是高中数学中经常涉及的内容及的内容, 形式多样形式多样, 没有一定的程序可循没有一定的程序可循, 综合性强综合性强, 解起解起来有相当的难度来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用还是有一些常用之法之法. 下面谈谈求函数解析式下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法的方法.一、配凑法一、配凑法例例1 已知已知 f( )= + , 求求 f(x). xx+1x2x2+1x1f(x)=x2- -x+1(x1). 解解: f( )= + xx+1x2x2+1x1=1+ +x21
2、x1=( +1)2- -( +1)+1 x1x1并且并且 1, xx+1=( )2- -( )+1 xx+1xx+1评注评注: 若在给出的函数关系式中若在给出的函数关系式中 与与 的关系的关系不明显时不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系要通过恒等变形寻找二者的关系. + x2x2+1x1xx+1二、换元法二、换元法 所以所以 f(x)=2lnx- -3 (x0). 评注评注: 通过换元通过换元, 用用“新元新元”代替原表达式中的代替原表达式中的“旧元旧元”, 从而求得从而求得 f(x). 又如又如: 已知已知 f(cosx- -1)=cos2x. 求求 f(x). 例例2 已知已知 f(e
3、x)=2x- -3, 求求 f(x). 解解: 设设 t=ex, 则则 x=lnt 且且 t0, 有有: f(t)=2lnt- -3 (t0). f(x)=2x2+4x+1(- -2x0) 三三、解方程组法解方程组法例例3 已知已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求求 f(x). xx- -1解解: 记题中式子为记题中式子为式式, 用用 代替代替中的中的 x, 整理得整理得:xx- -1f( )+f( )= , xx- -11- -x1x2x- -1再用再用 代替代替中的中的 x, 整理得整理得:1- -x1f( )+f(x)= , 1- -x11- -x2- -x解由解由 ,
4、 , 组成的方程组组成的方程组, 得得: 2x(x- -1)x3- -x2- -1f(x)= . 评注评注: 把把 f(x), f( ), f( ) 都看作都看作“未知数未知数”, 把已知把已知条件化为方程组的形式解得条件化为方程组的形式解得 f(x). 又如又如: 已知已知 af(x)+bf( )=cx, 其中其中, |a|b|, 求求 f(x). xx- -1 1- -x 1 1xf(x)= (ax- - ). a2- -b2cbx四四、递推求和法递推求和法 例例4 已知已知 f(n)- -f(n- -1)=an, n 为不小于为不小于 2 的自然数的自然数, a0 且且f(2)=8, 求
5、求 f(n) 的解析式的解析式.解解: 由已知由已知, f(3)- -f(2)=a3, f(4)- -f(3)=a4, , f(n)- -f(n- -1)=an, 将这将这(n- -2)个式子相加个式子相加, 得得: 评注评注: 这是运用数列中递推公式的思想这是运用数列中递推公式的思想. f(n)- -f(2)=a3+a4+an=n- -2 ( (a=1 时时) ); a3(1- -an- -2)(1- -a)- -1 ( (a1 时时) ). f(n)= n+6 ( (a=1 时时) ); 8+(a3- -an+1)(1- -a)- -1 ( (a1 时时) ). f(2)=8, 五五、待定
6、系数法待定系数法例例5 设设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 求求 f(x). 解解: 由原式可知由原式可知 fg(x) 中的中的 g(x) 一个是一个是 2x, 另一个是另一个是 3x+1, 都是一次式都是一次式.而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式是一个二次式, 则可设则可设: f(x)=ax2+bx+c, 从而有从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比较系数得比较系数得: a=1, b=0, c=- -1. 从而有从而有: f(x)=x2- -1. 评注评注: 先分析出先分析出 f(x) 的基
7、本形式的基本形式, 再用待定系数法再用待定系数法, 求出各求出各系数系数.又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与与 13x2+6x- -1 表示同一个式子表示同一个式子, 即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x- -1 . 例例6 已知已知 fff(x)=27x+13, 且且 f(x) 是一次式是一次式, 求求 f(x). 解解: 由已知可设由已知可设 f(x)=ax+b, 则则: 六六、迭代法迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由题意知由
8、题意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比较系数得比较系数得: a=3, b=1. 故故 f(x)=3x+1. 评注评注: 本题的解法除了用迭代法本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法还用了待定系数法. 七七、数学归纳法数学归纳法例例7 已知已知 f(n+1)=2+ f(n)(nN+), 且且 f(1)=a, 求求 f(n). 12解解: f(1)=a f(2)=2+ a 12=4- -21+2- -1a, 故猜想故猜想: f(n)=4- -23- -n+21- -na, 用数学归纳法证明如下用数学归纳法证明如下: f(5)=2+ f(4) 12f(3)=2+ f(2)=3+ a
9、 1214=4- -20+2- -2a, f(4)=2+ f(3)= + a 127218=4- -2- -1+2- -3a, =4- -2- -2+2- -4a, =4- -22+20a, 证明从略证明从略.故故 f(n)=4- -23- -n+21- -na. 评注评注: 先用不完全归纳法摸索出规律先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证再用数学归纳法证明明, 适用于自然数集上的函数适用于自然数集上的函数. 课堂练习课堂练习1.已知已知 f(x) 是一次函数是一次函数, 且且 ff(x)=4x- -1, 求求 f(x) 的解析式的解析式.5.若若 3f(x- -1)+2f(1- -x
10、)=2x, 求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)= , 求求 f(x) 的解析式的解析式. 4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(- -x)=10x , 求求 f(x). 6.已知已知 f(0)=1, f(a- -b)=f(a)- -b(2a- -b+1), 求求 f(x). 7.已知已知 f(x) 是是 R 上的偶函数上的偶函数, 且且 f(x+4)=f(- -x), 当当 x(- -2, 2)时时, f(x)=- -x2+1, 求当求当 x(- -6, - -2) 时时 f(x) 的解析式的解析式.f(x)=- -2x+1 或或 2x- - 13x+5 x2- -2x+
11、2 f(x)= f(x)=x2- -1(x1) f(x)= 10x - - 10- -x 1323f(x)=2x+ 25f(x)=x2+x+1 f(x)=- -x2- -8x- -158.已知函数已知函数 f(x)= 求求 f(x+1) . x2, x 0, +), , x(-(-, 0) ), 1xf(x+1)= (x+1)2, x - -1, +). , x(-(-, - -1) ), x+1 1 3.已知已知 f( x +1)=x+2 x , 求求 f(x). 9.已知已知 F(x)=f(x)- -g(x), 其中其中 f(x)=loga(x- -b), 当且仅当点当且仅当点 (x0,
12、y0)在在 f(x) 的图象上时的图象上时, 点点 (2x0, 2y0) 在在 y=g(x) 的图象上的图象上( (b1, a0 且且a1) ), (1)求求 y=g(x) 的解析式的解析式; (2)当当 F(x)0 时时, 求求 x 的范围的范围.解解: (1) 由已知由已知 y0=loga(x0- -b),2y0=g(2x0) g(x)=2loga( - -b). x2(2) 由由(1) 知知: F(x)=f(x)- -g(x)=loga(x- -b)- -2loga( - -b). x2故由故由 F(x)0 可得可得: loga(x- -b)2loga( - -b). x2当当 a1 时时, x- -b( - -b)2, x2- -b0, x2解得解得: 2bx2b+2+2 b+1 . 解得解得: x2b+2+2 b+1 . 当当 0a0, x2综上所述综上所述: 当当 a1 时时, 2bx2b+2+2 b+1 ; 当当 0a1 时时, x2b+2+ 2 b+1.
