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1、1 1 单因素方差分析单因素方差分析一、单因素方差分析一、单因素方差分析例例1 1 对六种不同的农药在相同的条件下分别进行对六种不同的农药在相同的条件下分别进行杀虫试验，试验结果如下表。杀虫试验，试验结果如下表。问农药的品种对杀虫率是否有显著的影响。问农药的品种对杀虫率是否有显著的影响。7694.2551.55989.7584平均值平均值7572819299959155485662908887948785801 12 23 34 4农药农药试验号试验号例例2 2 一位教师想要检查三种不同的教学方法的效果，一位教师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的为此随机地选取了水平相
2、当的1515位学生，把他们分成位学生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法，一段时间三组，每组五人，每一组用一种教学方法，一段时间后，这位教师给后，这位教师给1515位学生进行考核，成绩如下：位学生进行考核，成绩如下：成成 绩绩平均成绩平均成绩方法方法175 62 71 58 7367.8方法方法281 85 68 92 9083.2方法方法373 79 60 75 8173.6问这三种教学方法的效果有无显著差异。问这三种教学方法的效果有无显著差异。一、单因素方差分析一、单因素方差分析二、单因素方差分析的数学模型二、单因素方差分析的数学模型 设有设有r个正态母体个正态母体 ， 的分布
3、为的分布为 ，假定，假定r个母体方差相等。在个母体方差相等。在r个母体上作假个母体上作假设设 。现独立地从各母体中抽。现独立地从各母体中抽出一个子样，列表为：出一个子样，列表为：用用r r个子样检验假设个子样检验假设H H0 0是否成立。是否成立。母体母体子样子样子样均值子样均值三、三、Xij的构成分析的构成分析Xijij可分解为可分解为其中其中 服从分布服从分布 。其中：其中： 称为称为总平均总平均。于是原假设于是原假设H H0 0可变为：可变为：故故 令令 且且 四、离差分解法四、离差分解法离差分解法的离差分解法的主要思路主要思路：1 1离差分解离差分解 记记 2 2比较比较 和和 的大小
4、的大小有有 。当。当H H0 0成立时，上式等号成立。成立时，上式等号成立。3 3给出给出 的分布的分布4 4构造统计量构造统计量5 5检验检验若若 ，则拒绝，则拒绝H0。四、离差分解法四、离差分解法总离差平方和总离差平方和其中令其中令 称称SE为为组内离差平方和组内离差平方和，称，称SA为为组间离差平方和组间离差平方和。四、离差分解法四、离差分解法令令那么那么SE可改写为：可改写为：因此有因此有（S SE E反映了各组内部反映了各组内部X Xijij由由 引起的抽样误差，引起的抽样误差，S SA A反映了组间各母体平均数不同而引起的误差加上抽样反映了组间各母体平均数不同而引起的误差加上抽样误
5、差误差。）四、离差分解法四、离差分解法组间离差平方和组间离差平方和S SA A可改写为：可改写为：因此有因此有联系联系显然有显然有 分别有：分别有：和和四、离差分解法四、离差分解法分解定理分解定理 设设X1,X2,Xn是是n个相互独立的标准个相互独立的标准正态变量，而正态变量，而 是自由度为是自由度为n的的 变量，若变量，若Q可表示成可表示成 其中其中Qi是是X1，X2,Xn的线性组合的平方和，自的线性组合的平方和，自由度为由度为fi，则，则 相互独立且为自由相互独立且为自由度等于度等于fi的的 变量充要条件是：变量充要条件是：四、离差分解法四、离差分解法在在H0成立时，所有的成立时，所有的
6、都等于零，这时都等于零，这时由由有有代入代入ST、SE 和和SA 的表达式，有的表达式，有四、离差分解法四、离差分解法而而因此有因此有四、离差分解法四、离差分解法母体母体 组间组间 组内组内总和总和离差平离差平方和方和 自由自由 度度 均方均方离差离差 F F值值 r-1 r-1 n-rn-r n-1 n-1 一元方差分析表一元方差分析表四、离差分解法四、离差分解法2 2 双因素方差分析双因素方差分析一、非重复试验的双因素方差分析一、非重复试验的双因素方差分析1 1、问题的描述及数学模型：、问题的描述及数学模型：设有两个因素设有两个因素A A，B B，A A有有r个水平个水平 ，B B有有s
7、s个水平个水平 , ,对对A,BA,B的每一种组合水平的每一种组合水平 作一次试验，得试验结果作一次试验，得试验结果 ， ， ，所有的，所有的 相互独立。相互独立。BA假设母体假设母体 ，令，令则则 其中：其中： 服从服从 分布。分布。且且 ，称称 为为因素因素A A的水平的水平 的效应，的效应， 为为因素因素B B 的水平的水平 的效应。的效应。用用rsrs个子样检验假设个子样检验假设 是否成立。是否成立。需检验假设需检验假设一、非重复试验的双因素方差分析一、非重复试验的双因素方差分析2 2离差分解法的主要思路离差分解法的主要思路第一步第一步: :离差分解离差分解记记总离差分解总离差分解一、
8、非重复试验的双因素方差分析一、非重复试验的双因素方差分析第二步第二步: :计算计算S SA A，S SB B，S SE E的的期望期望显然有显然有 当当H H0101，H H0202成立时，等号成立。成立时，等号成立。一、非重复试验的双因素方差分析一、非重复试验的双因素方差分析第三步第三步: :导出导出 的分布的分布由分解定理，有由分解定理，有一、非重复试验的双因素方差分析一、非重复试验的双因素方差分析第四步第四步: :构造统计量构造统计量第五步第五步: :检验检验若若 ，则拒绝，则拒绝H H0101。若若 ，则拒绝，则拒绝H H0202。一、非重复试验的双因素方差分析一、非重复试验的双因素方
9、差分析二、重复试验的二元方差分析二、重复试验的二元方差分析1 1、问题的描述及数学模型：、问题的描述及数学模型：如如右右表表所所示示：AB仍然考虑两个因素仍然考虑两个因素A A，B B，A A有个有个r r水平水平 ，B B有有s s个水平个水平 ，对，对A A，B B的每一种组合水平的每一种组合水平 作作c c次试验，得试验结果次试验，得试验结果 ，（，（ ， ， ）所有的）所有的 相互独立。相互独立。假设母体假设母体 ，令，令其中：其中： 服从服从 分布。分布。则则 且且 ，称称 为为因素因素A A的水平的水平 的效应的效应， 为为因素因素B B 的水平的水平 的效应的效应， 为为因素因素
10、A A与因素与因素B B的交互作用的效应的交互作用的效应。用用rscrsc个子样检验假设个子样检验假设 是否成立。是否成立。需检验假设需检验假设二、重复试验的二元方差分析二、重复试验的二元方差分析2 2离差分解法的主要思路离差分解法的主要思路第一步第一步: :离差分解离差分解记记总总离离差差分分解解第二步第二步: :可计算可计算当当 成立时，等号成立。成立时，等号成立。第三步第三步: :导出导出 的分布的分布 有有 , , ，二、重复试验的二元方差分析二、重复试验的二元方差分析第四步第四步: :构造统计量构造统计量若若 ，则拒绝，则拒绝H H0101。若若 ，则拒绝，则拒绝H H0202。若若
11、 ，则拒绝，则拒绝H H0303。第五步第五步: :检验检验二、重复试验的二元方差分析二、重复试验的二元方差分析例例1 1 一火箭使用了四种燃料，三种推进器做射程试一火箭使用了四种燃料，三种推进器做射程试验，每种燃料和每种推进器的组合各发射火箭两次，验，每种燃料和每种推进器的组合各发射火箭两次，得结果如下：得结果如下：推进器推进器燃料燃料58.2 56.2 65.358.2 56.2 65.352.6 41.2 60.852.6 41.2 60.849.1 54.0 51.6 49.1 54.0 51.6 42.8 50.5 48.442.8 50.5 48.460.1 70.9 39.260
12、.1 70.9 39.258.3 73.2 40.758.3 73.2 40.775.8 58.2 48.775.8 58.2 48.771.5 51.0 41.471.5 51.0 41.4三、二元方差分析举例三、二元方差分析举例解：其假设为解：其假设为问推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著问推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著影响影响?( )?( )其方差分析表为其方差分析表为：三、二元方差分析举例三、二元方差分析举例因素因素A A因素因素B B交互作用交互作用总和总和平方和平方和自由度自由度均方离差均方离差F F值值261.67261.67370.98370.981768.691768.692638.292638.293 32 26 6232387.22587.225185.49185.49294.78294.78误差误差236.95236.95121219.74619.7464.424.429.399.3914.914.9其其方方差差分分析析表表为为：由于由于故因素故因素A A、B B和因素和因素A,BA,B的交互作用对射程都有的交互作用对射程都有显著影响显著影响。三、二元方差分析举例三、二元方差分析举例
