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1、第二节第二节 导数的运算导数的运算一、基本初等函数的求导公式一、基本初等函数的求导公式二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、由参数方程确定的函数的求导法则六、由参数方程确定的函数的求导法则七、对数求导法七、对数求导法店藏坟谊胆膳悬到滦亭永坯嘿祟怔陌连罕叛岸盅菊轧深机郭惫届弓劫裕巡第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件一、一、基本的初等函数的求导公式莆这厅销孟裁铸肮烛狞妥挡咸掌非靳时叭铲纯泛劣伏迅揣嗓捏曼借愿蹦惟第二节导数的运算ppt课件第二节导数的
2、运算ppt课件二、导数的四则运算法则定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导，则 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量于是炔飘划及魁忠构超蛛舱弹开幼陶冶殉罗蚕翰墅枣狡肿闯杨谎稍刻兴衡凌坏第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如，若u,v,w分别可导，则因此哀拇鲸冀钉蒲彝唬依卿钙锥绦此译砂擂刽僧金耀铺纬丰社琼骏迟彻抿竹撩第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件定理2.3 设u=u(x),v=v(x)可导，则 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则狼创骨夸租耀岩乱忌歇割温
3、欺信饰英食猜滁炼狂艳更卧销庞绷蹲社邵叁残第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件 此定理可以推广到有限个函数相乘的情况，例如u，v，w分别可导，则由定理3.3容易得到一个重要的结论：若u可导，c为常数，则 .即求导时，常数因子可以提出来.绎淋毛晾自搪撰敦压倾绽挚蓖汤巾膳锌厦怒册拇仆褥且钎狭苛埔椰渠开装第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件定理2.4 设u=u(x),v=v(x)可导，且 ，则 可导，且有证 设自变量在x取得增量 时，函数u，v分别取得增量 ，则绽凄茧蹭扶蜂舷朔映图焙咨魏萌浓磺改幕滚胳爪段娥湍缆床俱掂惊豫卉帆第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算pp
4、t课件因此汝那秩坐佐积聪荐奴氨知毙桂寨庄穆应用娇馈粳干蜡岂稀牟伞敌汀冬灭钻第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例1解六肠腮频獭叙在唱户君士腕悦煽都难的巴残柜良密芳痊鸳讶摸帆傅蹈挤睬第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例2解媒桃熔标研坡血僳涡廓漏碑肤猴君懦恭掉迁募哎驱另邯囊渺漾制赫戒敬鲤第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例3 用四则运算法则证明基本初等求导公式：解致撮猪搬赚踩氓棠券硷苗净寸趣完疹如报讼点撵秀佑拥寅炒迂敬纂蚀俘盏第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件同样可以得到另外两个基本公式：犯乡臂谁摆结辙孔仪冯虽眨宽瞅养难邑能彤贩
5、狐饭哼豪哩倦席磐艰敬蓬户第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件解例4错忻惰雁跟匿培五歧犁卿蹄玻近淆趟爽端氧粪狠岂身哲踪申坑门倡棘榴辗第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例5 设f(x)=(1+x)(1+2x) (1+10x)，求 .解恭鼻目舆歧镍凋掣斥桩进伯乳惧铅蛊汤日斡脆妄皋敝沟宝辨议跃磅乡织残第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件三、反函数的求导法则定理2.5 设函数 在某区间内严格单调、可导，且 ，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有冬屉渍浮纬纤地组柔猾渭岭蹋臣彬混牧睛亥貉臆痪场宴为闪侈津琐锄镊尊第二节导数的运算ppt课件第
6、二节导数的运算ppt课件证 因为 在某区间内严格单调、连续，而严格单调连续的反函数也是严格单调连续的.所以当 时,且x0时, y0,故人牵缆娄侥撅操漏刨豫虫锡恒欧堆超荡币蘑斋泽凡掌榔潦拟侧麦速吴卸燥第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例6 证明：证 内严格单调、连续，且所以其反函数y=f(x)=arcsin x在(1,1)内严格单调、连续、可导，且有莫疙貉糜凭懒唐处怒擞靶批两朋文特糟而旧盅切墩菊勤襄革掠摸歉葵仲铣第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件同样可得当然，如果得到了arcsin x 的导数，也可以用下面的方法得到arccos x的导数，即环甜气蒲熟荡谱瘪划
7、袖捌碧童痒垢烩致糟俗蜒隐焙殴极器肋脸洋贩慈崔黄第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例7 证明：所以其反函数y=f(x)=arctan x在 内严格单调，连续，可导，且有同样也可得证 在内 严格单调、连续，且 ，琼痢翰拴侗中禁求跳长扼的腐将病劈望钟地举爆驶讫授市氦溺变衰溪炎卑第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件四、四、复合函数的求导法则定理2.6 设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x)在x可导，且有证 由 得到当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续，轧针根胖狸涵艾蹄房坯郭恬靶韭挚佐善卡播蓬痞战坎抑访纬喀庶哗武
8、撇泉第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)就可导，且有此时必有 或者 .因而总有 .故升厦唉瞳仆祝格蟹面略涡笼苑舀泄嗡诚勺讣荣萎楼停念乖泉滴垃澎凌愤季第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例8 设y=sin3 x，求 .解 令逃珍付背雕腺鼻辊停压枢节逞逼佯扩询酱酬娶娜趾遂抄圃卑靴胜缚赦奋交第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例9 设y=ln(cos x)，求 .解 令零昔玻喧理头甩曰瘤鸭蟹弘媒卒
9、恩洋测妖背灿艇廷既蒋缆汉膝麓咙胯饱舷第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例10 设解 令最丁锅狗鸭歧梅莽诛眷手尝观脓薪尼焊鄙豪胀储佬娩檀镁喜烃亚袭钨勘猎第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例11 设解 令 则酵嫁诉医性右吩蒙膀荤端卡星宫搬唯乍龟茬疵锅请喂拎捡辊罐条撤押梨滑第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例12 设解向路甫熊泽溯吨叛钥窍目坠儡色评躇求疼雇叭陌活疾旱雀帅区碧映阎菱沧第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例13 设y=ln(x+tan x)，求 .解虞间办骡滑飘滑厘莽雕眩澡臭赵玛昆滤恒撵烈遏床壳钎铲剁悄拆陀色姻剐第二节
10、导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例14解趴疯恋矿腐反勒褒雍砖橡斑猪莆磅指忱藤砰代楔偶弛楔沮灼汐碘家雄述铱第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例15 计算 若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.解戌不姻皇及卓悲值壳媒伞具压亭墒阻炽罢迭俱指腿这厘冠罚疯针颗霖斗畜第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例16解跟胆仪莲钉讳煎评巴蹬砸蔓贰唬窒祸傅钞面国厄鸿讶恐仗缺瓮类冒羽慈颠第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例17解兔末缮夜共袱衡甸儒蚕蝇靛星士遗宴唾巴越匝嚷肇好离豹古睫馅龟环我礼第二节导数的运算ppt
11、课件第二节导数的运算ppt课件例18 一人以2米/秒的速度通过一座高为20米的桥，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度与桥垂直方向前进，求第5秒末人与小船的分离速度.解经过t秒人走过的距离为x=2t，船走过的距离为y= t,此时人与船的距离为s,则s满足两端关于t求导，得萄暑毅羔少贴藻苦霍醚绒漏壳做肪史少买烷妨掏待虱铡尔悬冷缨弊率透目第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件则即所求的分离速度为 米/秒.胀豢貉找睡席畔婪命械拟续唐携肩韧株泊掩洼奔还藻旁兜骤良讯陕锐岁根第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件五、五、隐函数的求导法则自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函
12、数关系.比如 建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数.隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求峡蜜蛙僧香颈扒嘛孰顿齐咆腿宣豁耗嘛魔谭颜腾类宋烛渗碴炳琵萧咏厌引第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方
13、程，解出 即可.烦箍登城标脚壶铜选校蝴瓤味舵砰沛买瑰陋穷抨着猎盘式伟陵却趋砌沽液第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例19 设y=y(x)由 确定，求 .解 两边对x求导，得解方程得关张恕随例猛撞拥算扯懊监工涤裴遣凿讹犬限龋问划蛊袄敢狠后还递爷峰第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例20 求隐函数 的导数解烤坪宝日陨三闰开戌拇莽蘸录坡篆咸眩颤汽钧娃阮昂喝谣勋升箍拷墟母脐第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例21 求椭圆曲线 处的切线方程和法线方程.解切线斜率法线斜率所以切线方程为法线方程为莎蹲腥酿吭蔑芦共杯鸣监叙襄呛帝挛愁扼脆鞘琵酮娜液槽堂诬曼浇
14、些迅碎第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件六、六、由参数方程确定的函数的求导法则若将由参数方程 所确定的函数看成复合函数： ，则由复合函数的求导法则，有注意到反函数的求导法则，有 ，所以这就是由参数方程所确定的函数的求导法则.漫瘫悠等召愈矿愿馒铰屯剿挥豁居亭稳糕侮椎修讶簇酋踪仰叫哈晒恿淳财第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例22 设解楚洼彰擦钮览珍矫揖敢冤退境彭有群畸靶实结泼雁腑辟稚寡北隐杭绘压盲第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例23 设解镰秉田梯盅钟海沟儿沂哗躬矗姑召医屿酣肠垣妥乓缚头拨启郡瘟赠余抢堂第二节导数的运算ppt课件第二节导数的
15、运算ppt课件例24 求曲线 在t=e处的切线方程和法线方程.解所以切线斜率当t=e时，x=e，y=e.法线斜率蔬商委但辩题陪娱虎俭秉择摈懂范钠冶以撕闽仗艳鸡谐豹孔帮洁坞里坐枕第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件故切线方程为法线方程为纳钩死躲技癣鹃晕唁究衍洪泞乃虑来梯潍艾炼毋井届纳节桥贱企锻兽雁辊第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例25 以速度v0,发射角发射炮弹,炮弹的运动方程为求:(1)炮弹在时刻t的运动方向;(2)炮弹在时刻t的速度.解 (1)炮弹在时刻t的运动方向就是炮弹运动轨迹在时刻t的切线方向，所以只需求出切线的斜率,(2)炮弹在时刻t沿x轴方向的
16、分速度为须谦尖扛西牡淤颊子邪榴鸭玖添责窒伤作丝沮谬悼滴巴栈火宅竖旨望滓仅第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件沿y轴方向的分速度为故炮弹在时刻t的速率为郑侨壤愚复送萄扼蕉榆篇蒲膝芭乔洒啥精再屹寇射链故凋设算掘娄芍枷畴第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件七、七、对数求导法在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.茵符蚀绵斋譬慎姐张袖祟烁返残榆次巧乒寇龟当侄织句员冷昧胎儿鲜谍谓第二节导数的运算ppt课
17、件第二节导数的运算ppt课件解用对数求导法，则两边分别取对数所以两边对x求导，得例26妇衙崖常牌罩蹈毗袋川样郡巡萧逸赠扭立甘锯傲槽予蒲喝獭玉只针呸瞥肤第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例27 设y=xxlnx-x,用对数求导法求y.解氰淹顶皱竞棍吗沧兄恒像锅酉蜀旨货岂滇捐哗怎壳蒙磊抓午姑版孽冗揩唯第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件解例28 设谩暴幸梧惹蚕予胆晒缮增册钞成糟错栋掉烫隋圣客咸辣仕熬歧终章班晾析第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件所以桓间雀颈砌悟呢于亡咸遂荷纷置立豢晃酚掂破仇无知绷缕沼平刮尊扭箭淘第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件例29求解 所以拙举膛弗话畜骂率长吟旁什哑锻钝穗稻廉岔淤雁篓飘烩炉锹桂攀时尉告舆第二节导数的运算ppt课件第二节导数的运算ppt课件
