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1、矢量分析与场论矢量分析与场论第第3讲讲 矢性函数的微分与积分矢性函数的微分与积分张元中张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院主要内容主要内容l1. 矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用l2. 导矢的几何应用导矢的几何应用l3. 导矢的物理应用导矢的物理应用l4. 矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分l5. 矢性函数的定积分矢性函数的定积分教材：第教材：第1章，第章，第2节，第节，第3节节l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用解：解：例例6：设：设求求 处的处的 。l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用解：解：在
2、在 处：处：例例6：设：设求求 处的处的 。l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用解：解：例例6：设：设求求 处的处的 。l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用证：证：例例7：矢性函数矢性函数 的模不变的充要条件是：的模不变的充要条件是：设设 ，则：，则：对上式两边求导，得到：对上式两边求导，得到：l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用证：证：反之，设：反之，设：则有：则有：即：即：例例7：矢性函数矢性函数 的模不变的充要条件是：的模不变的充要条件是：l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用l定长矢量定长矢量 与其导矢相互垂直。与其导矢相互垂直。对
3、于单位矢量对于单位矢量 ，有：，有：对于圆函数，有对于圆函数，有 ， 例例7：矢性函数矢性函数 的模不变的充要条件是：的模不变的充要条件是：l1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用l证明圆柱螺旋线证明圆柱螺旋线 的切线与的切线与 轴成轴成定角（定角（习题习题1 1第第8 8题题）。）。证：证：l2.导矢的几何应用导矢的几何应用l曲线的切线和法平面曲线的切线和法平面 表示曲线的切线方向。在表示曲线的切线方向。在 点处，点处，引入切线的动点引入切线的动点 ，对应的矢量为：，对应的矢量为：l2.导矢的几何应用导矢的几何应用须满足：须满足：式中式中 为常数，可以写出切线方程：为常数，可以写出
4、切线方程：或写为：或写为：l2.导矢的几何应用导矢的几何应用l曲线的曲线的法平面法平面是指与是指与 切切线相垂直的平面。线相垂直的平面。而：而：设设 是法平面上的任一个动点，可以得到：是法平面上的任一个动点，可以得到：法平面方程：法平面方程：l2.导矢的几何应用导矢的几何应用l曲面的法线和切平面曲面的法线和切平面设曲面的方程为：设曲面的方程为：两边取导数，得到：两边取导数，得到： 是经过是经过 的任意一条曲线，有：的任意一条曲线，有：（1 1）l2.导矢的几何应用导矢的几何应用l曲面的法线和切平面曲面的法线和切平面方程（方程（1 1）可以表示为：）可以表示为： 的方向为法线方向。的方向为法线方
5、向。l2.导矢的几何应用导矢的几何应用l曲面的法线和切平面曲面的法线和切平面切平面方程：切平面方程：对于对于 和和 ，法，法线方程是：线方程是：l3.导矢的物理应用导矢的物理应用l牛牛顿顿力力学学主主要要讨讨论论矢矢量量函数函数 ， 为运动轨迹。为运动轨迹。l 为路程，为路程， 为为 的函数。的函数。 为一切向单位矢量，指向为一切向单位矢量，指向 增大的一方。增大的一方。 为速率，则：为速率，则：l3.导矢的物理应用导矢的物理应用l运动速度为切线方向。运动速度为切线方向。切向单位矢：切向单位矢：速度矢量：速度矢量：加速度矢量：加速度矢量：法向单位矢：法向单位矢：l3.导矢的物理应用导矢的物理应
6、用证：证：例例9：一一质质点点以以常常角角速速度度在在圆圆周周 上上运运动动，证明其加速度为：证明其加速度为：其中其中 为速度为速度 的模。的模。其中其中 为角速度的模，为常数，从而加速度为角速度的模，为常数，从而加速度由于由于 ，所以：，所以：l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分若已知若已知 是是 的一个原函数，则有：的一个原函数，则有：（ 是任意常矢量）是任意常矢量）l定定义义：若若在在 的的某某个个区区间间 上上，有有 ，则则称称 为为 在在此此区区间间的的一一个个原原函函数数。 在在此此区区间间 上上， 的的原原函函数数的的全全体体，叫叫做做 在在 上上的的不定积分不定积分，记作
7、：，记作：l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分l性质：性质： 为非零常数，为非零常数， 为非零常矢。为非零常矢。l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分证：证：同理有同理有 分量，相加得：分量，相加得：l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分l若若 ，则有：，则有：一个矢性函数的不定积分，归结为三个数性函数一个矢性函数的不定积分，归结为三个数性函数的不定积分。的不定积分。l换元法换元法和和分部积分法分部积分法也适用于矢性函数。也适用于矢性函数。由于：由于：l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分例例1：计算计算解：解：利用换元积分法，令利用换元积分法，令 ，则：，则：l4.矢性函数
8、的不定积分矢性函数的不定积分例例2：计算计算解：解：利用分部积分法，有：利用分部积分法，有：l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分解：解：例例3：设：设计算计算由于由于为常矢，故为常矢，故l4.矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分解：解：例例3：设：设计算计算l5.矢性函数的定积分矢性函数的定积分l定定义义：设设矢矢性性函函数数 在在区区间间 上上连连续续，则在则在 上上 定积分是指下面形式的极限：定积分是指下面形式的极限：其中其中 ； 为区间为区间 上的一点；上的一点； l5.矢性函数的定积分矢性函数的定积分l不定积分的性质同样适用于定积分不定积分的性质同样适用于定积分 l若若 是是连连续续矢矢性性函函数数 在在区区间间 上上的的一个原函数，则有：一个原函数，则有：l5.矢性函数的定积分矢性函数的定积分例例4：已知：已知求求 解解： l5.矢性函数的定积分矢性函数的定积分例：求例：求 的圆柱螺旋线长度的圆柱螺旋线长度 。 解：解：已知圆柱螺旋线的矢径方程为：已知圆柱螺旋线的矢径方程为： 弧长的微分：弧长的微分： l5.矢性函数的定积分矢性函数的定积分解：解：例：设例：设 ，求，求 。 Homework 2作业作业P19 习题习题1：6，7，9，10
