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1、第1章集合与函数1.2函数的概念和性质1.2.8二次函数的图象和性质对称性学习目标1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值.1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功知识链接函数yx的图象关于 对称，yx2的图象关于_对称.原点y轴预习导引1.函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x， 也有定义，并且 成立，则称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x， 也有定义，并且 成立，则称F(x)为奇函数.F(x)F(x)F(x)F(x)F(x)F
2、(x)2.二次函数图象的对称性(2)如果函数f(x)对任意的h都有 ，那么f(x)的图象关于直线xs对称.f(sh)f(sh)要点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；解函数定义域为R，且f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以该函数是奇函数；(2)f(x)|x2|x2|；解函数定义域为R，且f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以该函数是偶函数；解函数定义域是x|x0，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；解函数定义域是x|x1，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；解得x2，即函数的定义域是2，2，这时f(x)0.所以f(x)f(x)，f(x
3、)f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数.规律方法1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数
4、；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2.判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果.跟踪演练1判断下列函数的奇偶性：解函数定义域为R，故该函数是奇函数；解函数定义域为x|x1，关于原点对称，故f(x)是偶函数.解函数定义域是x|x1，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数.要点二函数奇偶性的简单应用例2(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A.3 B.1 C.1 D.3解析因为当x0时，f(x)2x2x，所以f(1)2(1)2(1)3.又f
5、(x)是奇函数，所以f(1)f(1)3，选A.A(2)若函数f(x)x33xa是奇函数，则实数a_.解析方法一因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)对任意xR都成立，即x33xax33xa对任意xR都成立.所以a0.方法二因为f(x)是奇函数且在x0处有定义.必有f(0)0，即0330a0，解得a0.0规律方法1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化.2.已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的
6、方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x0处有定义的奇函数，还可根据f(0)0求解.跟踪演练2(1)已知f(x)是偶函数，且f(4)5，那么f(4)f(4)的值为()A.5 B.10 C.8 D.不确定解析f(x)是偶函数，f(4)f(4)f(4)f(4)2f(4)2510.B(2)若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a等于()A.2 B.1 C.1 D.2解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)对任意xR都成立，即(x1)(xa)(x1)(xa).整理得2(a1)x0，xR，必有a10，即a1.C要点三二次函数的区间最值问题例3已知函数f(x)x22ax2，x5,5.用a表示出函数f(x)在区间
7、5,5上的最值.解函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上递增，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即0a5时，函数图象如图(1)所示.由图象可得f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a；当0a5，即5a0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上递减，所以f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.规律方法1.对于定义域为R的二次函数，其最值
8、和值域可通过配方法求解.2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.跟踪演练3求函数f(x)x2mx6(m0)在区间0,2上的最大值.12341.下列函数为奇函数的是()A.y|x|B.y3xC.y D.yx24解析A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C.C512342.对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断：(1)若f(2)f(2)，则函数f
9、(x)是偶函数；(2)若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数；(3)若f(2)f(2)，则函数f(x)不是奇函数.其中正确的判断的个数是()A.0B.1 C.2D.351234解析(1)仅有f(2)f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误；(2)当f(2)f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确；(3)若f(2)f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数.如若f(x)0，xR，则f(2)f(2)，但函数f(x)0，xR既是奇函数又是偶函数，故(3)错误.答案B51234A.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数C.是偶函数 D.是非奇非偶函数
10、解析函数定义域是x|x1，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.D5123451234故选C.答案C5123545.如果定义在区间3a,5上的函数f(x)为偶函数，那么a_.解析f(x)为区间3a,5上的偶函数，区间3a,5关于坐标原点对称，3a5，即a8.8课堂小结1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件.2.解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性作出判断.3.奇函数f(x)若在x0处有意义，则必有f(0)0.4.奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性.5.抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x ，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式b24ac确定.
