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1、第八章第八章 实验设计和方差分析实验设计和方差分析学习目标学习目标1.描述方差分析 (ANOVA)2.解释ANOVA基本原理3.比较实验设计4.2 个或更多均值相等的检验完全随机设计析因设计实验实验实验实验调查者控制一个或更多独立变量被叫做处理变量或因素因素包含两个或更多水平水平 (子类)观察对应变量的影响独立（自）变量对不同水平的反应实验设计: 用于检验假设的计划实验例子实验例子1.抽取三十个商店随机设定商店成列为4级级当中的一个级别（独立变量独立变量），观察对销售的影响（应变量应变量）.2.抽取两百个客户随机设定果汁品牌3级中的一个级别（独立变量独立变量）， 研究客户对品牌果汁的反应，（应
2、变量应变量）. 实验设计实验设计 因子 单因素ANOVA 实验设计完全随机 两因素ANOVA完全随机设计完全随机设计实验设计实验设计 因子 单因素ANOVA 实验设计完全随机 两因素ANOVA完全随机设计完全随机设计实验单元（科目）被随机分配的处理这些单元被假设为同质一个因素或独立变量One factor or independent variable两个或更多的处理水平或分类Two or more treatment levels or classifications用单因素方差分析因子因子 (训练方法训练方法)因子水平因子水平(处理处理)水平水平 1水平水平 2水平水平 3实验单元实验单元
3、因变量因变量t21 hrs.17 hrs.31 hrs.27 hrs.25 hrs.28 hrs.(响应响应)29 hrs.20 hrs.22 hrs.随机设计例子随机设计例子Randomized Design Example 单因素单因素 ANOVA 的的F-检验检验实验设计实验设计 析因 单因素ANOVA 实验设计完全随机 两因素ANOVA单因素单因素 ANOVA F-检验检验检验两个或更多（k)个总体均值相等变量一个名义分类的独立变量两个或更多 (k) 处理水平或分类一个间隔或比例衡量因变量用于分析完全随机实验设计有效有效ANOVA F-检验所需的条件检验所需的条件:完全随机设计完全随机
4、设计1.误差随机且独立抽取的独立随机样本2.正态各总体是近似正态分布3.同方差各总体有等方差单因素单因素 ANOVA F-检验检验 假设假设H0: 1 = 2 = 3 = . = k所有总体均值相等所有总体均值相等 没有处理效果没有处理效果Ha: 不是所有的不是所有的 i 都相都相等等 至少至少 2个总体均值是不个总体均值是不同的同的 处理有效处理有效 1 2 . k 是错的是错的Xf(X) 1 = 2 = 3123Xf(X) = 1.比较两类方差以检验均值是否相等2.比较基础是方差比例3.如果处理方差显著的比随机方差大，则均值是不等的4.方差的测量是通过将总的方差进行分割得到的单因素单因素A
5、NOVA 基本思想基本思想单因素单因素 ANOVA 分割总方差分割总方差总方差总方差归于处理的方差归于处理的方差归于随机抽样的方归于随机抽样的方差差相互间平方和Sum of Squares Among两两间平方和Sum of Squares Between处理平方和Sum of Squares Treatment组间方差Among Groups Variation组内平方和Sum of Squares Within误差平方和Sum of Squares Error组内方差Within Groups Variation总方差总方差X组组 1组组 2组组 3Response, X处理方差处理方差X
6、X3X2X1组组 1组组 2组组 3Response, X随机随机 (误差误差) 方差方差X2X1X3组组 1组组 2组组 3Response, X单因素单因素 ANOVA的的 F-Test 检验统计量检验统计量1.检验统计量 F = MST / MSE MST 是处理均方 MSE 是误差均方2.自由度 1 = k - 1 2 = n - k k = 组数 n = 总样本数单因素单因素 ANOVA 概况表概况表方差源方差源自由度自由度平方和平方和均方均方 (方差方差)F处理处理k - 1SSTMST =SST/(k - 1)MSTMSE误差误差n - kSSEMSE =SSE/(n - k)合
7、计合计n - 1SS(Total) = SST+SSE单因素单因素ANOVA的的 F-Test 关键值关键值 如果均值是相等的，如果均值是相等的，则则 F = MST / MSE 1. Only reject large F!始终是单尾始终是单尾!F(; k 1, n k)0 拒绝拒绝 H0不拒绝不拒绝 H0F 1984-1994 T/Maker Co.单因素单因素ANOVA的的 F-Test 例子例子作为生产管理者，你想看看如果三台填充机器油不同的平均填充时间，你认命15个受过近似训练和有经验的工人，每台机器5个工人，在.05的显著水平, 这三台填充机的平均平均填充时间是否不同?Mach1M
8、ach1 Mach2Mach2 Mach3Mach325.4025.4023.4023.4020.0020.0026.3126.3121.8021.8022.2022.2024.1024.1023.5023.5019.7519.7523.7423.7422.7522.7520.6020.6025.1025.1021.6021.6020.4020.40单因素单因素 ANOVA F-Test 解决解决H0:Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F03.89 = .05 1 = 2 = 3不全等不全等.052 12 单因素概况表解决单因素概况表解决来自
9、计算机软件来自计算机软件处理处理 (Machines)3 - 1 = 247.164023.582025.60误差误差15 - 3 = 1211.0532.9211总计总计15 - 1 = 1458.2172方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方 (方差方差)FF03.89单因素单因素 ANOVA F-Test 解决解决H0: 1 = 2 = 3Ha: 不是所有都相等不是所有都相等 = .05 1 = 2 2 = 12 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:在在 = .05拒绝原假设拒绝原假设有证据表明总体均值不同有证据表明总体均值不同 = .05FMSTMSE
10、23 5820921125.6.单因素单因素 ANOVA F-Test 思考思考你是微软公司的培训师，使用4种不同的培训方法培训12个人，平均平均培训时间有不同吗 ( =.05)?M1M2 M3M41011131891682359925使用下表. 1984-1994 T/Maker Co.概括表概括表(已完成的部分已完成的部分)处理处理(Methods)348误差误差80总计总计方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方 (方差方差)FOne-Way ANOVA F-Test Solution*H0: Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:
11、F04.07 = .05 1 = 2 = 3 = 4不全等不全等.053 8Summary Table Solution*处理处理(Methods)4 - 1 = 334811611.6误差误差12 - 4 = 88010总计总计12 - 1 = 11428方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方 (方差方差)FF04.07单因素单因素 ANOVA F-检验检验 解决解决*H0: 1 = 2 = 3 = 4Ha: 不是所有均值相等不是所有均值相等 = .05 1 = 3 2 = 8 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:在在 = .05拒绝原假设拒绝原假设有证据表明
12、总体均值是不同有证据表明总体均值是不同的的 = .05FMSTMSE 1161011 6 .Tukey 过程过程Xf(X) 1 = 2 32 Groupings陈述哪个总体均值显著不同 例如: 1 = 2 3 Post hoc 过程过程在ANOVA中拒绝均值相等后进行过程结果可以从很多统计程序获得随机区组设计随机区组设计减少样本的变异 (MSE)对实验单元的集合进行匹配 (区组区组)每个区组中的一个实验单元被随机的分配给有个处理随机区组设计随机区组设计总方差分割总方差分割归于随机抽样的方归于随机抽样的方差差SS(Total)SSB总方差总方差归于区组的方归于区组的方差差归于处理的方归于处理的方
13、差差SSESST有效有效 ANOVA F-检验所需条件检验所需条件:随机区组设计随机区组设计1.区组被随机选择，且所有的处理都以随机顺序被应用到每个The blocks are randomly selected, and all treatments are applied (in random order) to each block2.与所有区组-处理组合一致的观察值分布是近似正态的3.所有区组-处理分布有等方差随机区组设计随机区组设计 F-检验检验 检验统计量检验统计量1.检验统计量 F = MST / MSE MST 是处理均方 MSE is 误差均方 2.自由度 1 = k 12
14、= n k b + 1k = 组数（水平数）n = 总样本数b = 区组数随机区组设计例子随机区组设计例子一个生产管理者想知道如果三种装配方法有不同的平均装配时间（以分钟计算）。15个工人被随机选择并分配使用一种装配方法。在.05 显著水平，平均平均装配时间有不同吗？EmployeeEmployee Method 1Method 1 Method 2Method 2 Method 3Method 31 15.45.43.63.64.04.02 24.14.13.83.82.92.93 36.16.15.65.64.34.34 43.63.62.32.32.62.65 55.35.34.74.7
15、3.43.4随机区组设计随机区组设计F- Solution*H0:Ha: = 1 = 2 =关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F04.46 = .05 1 = 2 = 3不是全等不是全等.052 8概况表概况表解决解决*Treatment(Methods)3 - 1 = 25.432.7112.9Error15 - 3 - 5 + 1 = 81.68.21Total15 - 1 = 1417.8FBlock(Employee)5 - 1 = 410.692.6712.7方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方 (方差方差)F04.46随机区组设计随机区组设计F-
16、 检验检验解决解决*H0: 1 = 2 = 3 Ha: Not all equal = .05 1 = 2 2 = 8 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:在在 = .05拒绝原假设拒绝原假设有证据表明总体均值是不同有证据表明总体均值是不同的的 = .05FMSTMSE 2.71.2112.9析因实验析因实验实验设计实验设计 析因 单因素ANOVA 实验设计完全随机 两因素ANOVA析因设计析因设计实验单元（科目）被随机分配给处理这些单元假定是同质的两个或更多因素因素(或独立变量) 每个因素都有两个或更多的处理 (水平水平)用两因素的ANOVA分析两因素两因素 ANOVA
17、 数据表数据表Xijk水平水平 i 因素因素 A水平水平 j 因素因素 B观察观察 k因素因素因素因素 BA12.b1X111X121.X1b1X112X122.X1b22X211X221.X2b1X212X222.X2b2:aXa11Xa21.Xab1Xa12Xa22.Xab2TreatmentFactorial Design Example因素因素 2 (训练方法训练方法)因素水平因素水平水平水平 1水平水平 2水平水平 3水平水平 115 hr.10 hr.22 hr.因素因素 1(积极性）积极性）(高高)11 hr.12 hr.17 hr.水平水平 227 hr.15 hr.31 hr
18、.(低低)29 hr.17 hr.49 hr.Treatment析因设计的优势析因设计的优势省时省力Saves time and efforte.g.,对应每个变量能够完全独立的使用随机设计通过引入其他变量进入模型，控制混合的效果能探索变量间的交叉影响两因素两因素ANOVA实验设计实验设计 析因 单因素ANOVA 实验设计完全随机 两因素ANOVA 两因素两因素ANOVA当使用几个独立变量时候，检验两个或更多总体均值，对于每一个样本的ANOVA与独立的单因素ANOVA相同的结果 无交叉作用可以被检验用于分析析因设计交叉作用交叉作用单一个因素的观察根据其他因素的不同水平变化时，表发生了交叉作用当
19、交叉作用存在时，主要效应(A and B)的解释是复杂的能被检测到在数据表中，在一行中组平均值的模式不同于另一行在组均值的图中，线有交叉交叉作用的图交叉作用的图积极性积极性 (高或低高或低)和训练方法和训练方法 (A, B, C)在平均学习在平均学习时间的效果时间的效果交叉作用交叉作用无交叉作用无交叉作用平均平均响应响应ABC高高低低平均平均响应响应ABC高高低低两因素两因素 ANOVA 总方差分割总方差分割归于随机抽样的方归于随机抽样的方差差归于交叉作用的归于交叉作用的方差方差SS(AB)SS(Total)总方差总方差归于处理归于处理A的方的方差差归于处理归于处理B的方的方差差SSASSBS
20、SE在析因实验中有效在析因实验中有效 F-检验检验 所需所需条件条件1.正态总体近似正态分布2.同方差总体有相同方差3.误差独立抽取独立的随机样本两因素两因素 ANOVA 检验检验处理均值检验处理均值检验H0: ab 处理均值是相等的Ha: 至少两个处理均值不同检验统计量F = MST / MSE自由度1 = ab 12 = n ab两因素两因素 ANOVA 检验检验对于因素交叉作用的检验对于因素交叉作用的检验H0: 因素没有交叉作用Ha: 因素有交叉作用检验统计量F = MS(AB) / MSE自由度1 = (a 1)(b 1) 2 = n ab两因素两因素 ANOVA 检验检验因素因素A的
21、主要影响检验的主要影响检验H0: 因素A各平均水平影响没有不同Ha:因素A 至少有两个水平是不同的检验统计量F = MS(A) / MSE自由度1 = (a 1) 2 = n ab两因素两因素 ANOVA 假设假设因素因素B的主要影响检验的主要影响检验H0: 因素B各平均水平影响没有不同Ha:因素B 至少有两个水平是不同的检验统计量F = MS(B) / MSE自由度1 = (b 1) 2 = n ab方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方和均方和FA(行行)a - 1SS(A)MS(A)MS(A)MSEB(列列)b - 1SS(B)MS(B)MS(B)MSEAB(交叉交叉)(a - 1
22、)(b - 1)SS(AB)MS(AB)MS(AB)MSE误差误差n - abSSEMSE合计合计n - 1SS(Total)两因素两因素 ANOVA 概况表概况表和其他的设计和其他的设计一样一样析因设计例子析因设计例子人力资源部想确定对于不同积极性水平和训练方法培训时间是否不同。实施适当的ANOVA 检验. 对于每个检验使用 = .05.训练方法训练方法因素水平因素水平自学自学课堂教学课堂教学 计算机教学计算机教学15 hr.10 hr.22 hr.积极性积极性高高11 hr.12 hr.17 hr.27 hr.15 hr.31 hr.低低29 hr.17 hr.49 hr.处理方法处理方法
23、F-检验解决检验解决H0: Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F04.39 = .05 这这 6 处理方法是相处理方法是相等的等的至少至少 2不等不等.055 6方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方F模型模型5546.75240.35误差误差6188.531.42校正和校正和两因素两因素 ANOVA 概括表概括表7.6511735.25Treatment Means F-Test SolutionH0:这这 6 处理方法是相处理方法是相等的等的Ha:至少至少 2不等不等 = .05 1 = 5 2 = 6 关键值关键值:检验统计量
24、检验统计量: 判定判定:结论结论:F04.39 = .05在在 = .05拒绝原假设拒绝原假设有证据表明均值是不同的有证据表明均值是不同的交叉作用交叉作用 F-检验解决检验解决H0:Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F05.14 = .05因素没有交叉作用因素没有交叉作用因素有交叉作用因素有交叉作用 .052 6方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方FA(行行)1546.75546.75B(列列)2531.5265.75AB(交叉交叉)2123.561.76误差误差6188.531.42合计合计11SS(Total)两因素两因素 A
25、NOVA 概括表概括表和其他设计一和其他设计一样样17.408.461.97交叉作用交叉作用 F-检验解决检验解决nH0: 因素没有交叉作用因素没有交叉作用Ha: 因素有交叉作用因素有交叉作用 = .05 1 = 2 2 = 6 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F05.14 = .05在在 = .05，不拒绝原假设，不拒绝原假设没有证据表明各因素有交没有证据表明各因素有交叉作用叉作用因素因素A主要作用主要作用 F-检验解决检验解决H0:Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F05.99 = .05积极性水平间影响没有积极
26、性水平间影响没有不同不同积极性水平影响不同积极性水平影响不同.051 6方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方FA(行行)1546.75546.75B(列列)2531.5265.75AB(交叉交叉)2123.561.76误差误差6188.531.42合计合计11SS(Total)两因素两因素 ANOVA 概括表概括表和其他设计一和其他设计一样样17.408.461.97因素因素A主要作用主要作用 F-检验解决检验解决H0:Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:在在 = .05，拒绝原假设，拒绝原假设结论结论:F05.99 = .05积极性水平间影
27、响没有积极性水平间影响没有不同不同积极性水平影响不同积极性水平影响不同.051 6有证据表明积极性的影响有证据表明积极性的影响是不同的是不同的 因素因素B主要作用主要作用 F-检验解决检验解决H0:Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:结论结论:F05.14 = .05训练方法间影响没有不训练方法间影响没有不同同训练方法影响不同训练方法影响不同.052 6方差资料方差资料自由度自由度平方和平方和均方均方FA(行行)1546.75546.75B(列列)2531.5265.75AB(交叉交叉)2123.561.76误差误差6188.531.42合计合计11SS(Total)两因素两因素 ANOVA 概括表概括表和其他设计一和其他设计一样样17.408.461.97因素因素B主要作用主要作用 F-检验解决检验解决H0:Ha: = 1 = 2 = 关键值关键值:检验统计量检验统计量: 判定判定:在在 = .05，拒绝原假设，拒绝原假设结论结论:有证据表明训练方法的有证据表明训练方法的影响是不同影响是不同F05.14 = .05训练方法间影响没有不训练方法间影响没有不同同训练方法影响不同训练方法影响不同.052 6总结总结1.描述方差分析 (ANOVA)2.解释 ANOVA基本原理3.比较实验设计4.检验 2个或更多均值相等 完全随机设计析因设计
