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1、第第1 1节导数的概念与数的概念与导数的数的计算算知识梳理(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_.相应地，切线方程为_.2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.(x0，f(x0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)3.基本初等函数的导数公式0 0x1cosxsinxexaxlnaf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(
2、x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积.y对uu对x常用结论与易错提醒1.f(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同.2.f(x0)不一定为0，但f(x0)一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基础自测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公
3、共点.()(3)(2x)x2x1.()(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()解析(1)f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0)是常数f(x0)的导数即(f(x0)0；(3)(2x)2xln2；(4)(e2x)2e2x.答案(1)(2)(3)(4) 2.函数yxcosxsinx的导数为()A.xsinxB.xsinxC.xcosxD.xcosx解析y(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.答案B3.(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.答案y2x4.(2019南通一调)若曲线yxlnx在x1与xt处的切线互相垂直，则正数
4、t的值为_.解析因为ylnx1，所以(ln11)(lnt1)1，lnt2，te2.答案e2f(x)f(1)e2x22x2f(0)，f(1)f(1)22f(0)，f(0)1，f(x)e2xx22x.答案1e2xx22x6.已知曲线yex，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为_；该曲线在点(0，1)处的切线方程为_.解析由题意得yex，则由指数函数的性质易得yex(，0)，即曲线yex的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(，0).当x0时，ye01，则曲线yex在(0，1)处的切线的斜率为1，则切线的方程为y11(x0)，即xy10.答案(，0)xy10解(1)y(x2)sinxx2(sinx)
5、2xsinxx2cosx.(4)令u2x5，ylnu.规律方法求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.解析(1)因为f(x)ex2sinx，所以f(x)ex2cosx.所以f(0)3，f(0)1.由导数的几何意义可知，函数f(x)
6、在点(0，f(0)处的切线方程为y13x，即为3xy10，故选C.解得x01，此时切线的斜率为1；若x02，则切线的斜率为4.即3x3y20或12x3y160.答案(1)C(2)3x3y20或12x3y160角度2求参数的值【例22】(1)(2019嘉兴检测)函数yx3x的图象与直线yax2相切，则实数a()A.1B.1C.2D.4(2)(2019杭州质检)若直线yx与曲线yexm(mR R，e为自然对数的底数)相切，则m()A.1B.2C.1D.2(2)设切点坐标为(x0，ex0m).由yexm，得yexm，则切线的方程为yex0mex0m(xx0)，又因为切线yx过点(0，0)，代入得x0
7、1，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入yexm中，解得m1，故选C.答案(1)C(2)C角度3公切线问题【例23】 (一题多解)已知曲线yxlnx在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析法一yxlnx，曲线yxlnx在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行).由a28a0，解得a8.法二同法一得切线方程为y2x1.y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).答案8规律方法(1)求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.当x00时，切线方程为y0，
