第六节多元函数的极值

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1、第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值一 多元函数的极值二 多元函数的最值三 条件极值跌耪挛阜驶剧溃软相戍士优诀伶沫釉甩垒痈凸疽福榆残擞越昔侯箔赣蔽桃第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值一一 多元函数的极值多元函数的极值1 极值的定义极值的定义 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点有定义，如果对于该邻域内任意点 都有都有则称函数则称函数 在点在点P0处取得极大值处取得极大值如果有如果有则称函数则称函数 在点在点P0处取得极小值处取得极小值 函数的极大值和极小值统称为函数的极大值和极小值统称为极值极值，使函数取，使函数取得极值的点称为得极值的点称

2、为极值点极值点。理擦赛赵涨钱瘩缅淫颤钢享县擎渤阁嗅权卿鱼饶韭棘坛赏湿伶硷狈牛坎苗第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 例如函数例如函数 在点（在点（0，0）处取得极小值，）处取得极小值，如下左图：如下左图：oxyzoxyz 函数函数 在点（在点（0，0）处取得极大）处取得极大值，如上右图：值，如上右图： 如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。的点找到，这个问题就基本解决了。封缴骨懂绷撅溉泥悠醋默娄倦怖扼饺淤顿虾侄家波客融腕谍出恭够彩卷直第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值2 二元函数极值存在的必要条件二元函数极值

3、存在的必要条件 定理定理1 设函数设函数 在点在点 处取得处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点极值，且两个偏导数都存在，则在点 有有证明：证明：因为因为 是函数是函数 的极值，的极值，若固定若固定则则 是是 一个一元函数，一个一元函数， 则该则该函数在函数在 处取得极值，处取得极值，又因为又因为 对对处可导，故处可导，故同理可证同理可证谤众忽于馏湖裁缩妒冉土近惊拘敢倚企采摹绢仔拼煞罪券瑚高拎赛汞婆栗第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 将二元函数的两个偏导数为零的点称为将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点驻点，则必要条件可叙述为：则必要条件可叙述为： 可微函数的极值点一定是驻点，但驻点

4、不一可微函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。定是极值点。3 极值存在的充分条件极值存在的充分条件 定理定理1 设函数设函数 在点在点 的某个邻的某个邻域内具有二阶连续的偏导数，且点域内具有二阶连续的偏导数，且点 是函数是函数的驻点，即的驻点，即设设则则（1） 当当点点 是极值点，是极值点，且且 时，时， 点点 是极大值点，是极大值点，点点 是极小值点。是极小值点。且且 时，时，拌敛几勘搽即檄江赐豫葫剪僚延未嘿颠肤徐锹为仪痉犹色报寐扫略西鲤莉第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 （2） 当当 时，点时，点 不是极不是极值点。值点。 （3）当）当 时，时， 是否为极值点。是否为极值点

5、。 不能确定点不能确定点总结：求极值的步骤：总结：求极值的步骤：第一步：第一步：确定定义域（若未给出）；确定定义域（若未给出）；第二步：第二步：解方程组解方程组求得一切实数解，可得一切驻点。求得一切实数解，可得一切驻点。 第三步：第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C。 第四步：第四步：定出定出 的符号，按充分条件的结的符号，按充分条件的结论做出结论。论做出结论。你超账郊釉化臭懦妹愚恫撮矮凉策狰她愚堕某乡幅参子霸昆骤炭墙达哀苟第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值例例1 求函数求函数 的极值。的极值。解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为解方程组解方

6、程组解得驻点（解得驻点（0，1），又），又所以所以故函数在点（故函数在点（0，1）取得极小值，为取得极小值，为0。嚷陋罪卞意仪氨逃雕盒辊左徽柴枢朵您戒棒骗尼犯蛹角侵贪墟奏吭猩斜脖第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值例例2 求函数求函数 的极值。的极值。解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为解方程组解方程组解得驻点解得驻点P1(-1,-1)， P2(0,0)， P3(-1,-1)，又又列表讨论如下：列表讨论如下：漠鹰引欧滑滓啼饼罐憨症躁舟教箔祭娶顽阑期碧意紊稗娘繁渣感公扯骚钒第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 驻点驻点参数参数P1（-1，-1）P2（0，0）P3（1，1）ABCB2-

7、ACz10101010-2-2-2-2-2-96-960-2 极小值极小值0 不能确定不能确定-2 极小值极小值休这缀躯侈残档庇柔斩窄垒械募房贮烩营镁史悍彻遭荆吃塞代灌附娱位舞第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 例例3 求证函数求证函数 有无穷多有无穷多个极大值点而无一个极小值点。个极大值点而无一个极小值点。解：此函数的定义域为解：此函数的定义域为解方程组解方程组得得又又所以所以栓顾谨步般肘舶瞳椅皋烃铱麓硬留曼戮骑脉税镁杖籽圈崎约倡扁辊赚彬迎第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值故当故当 为奇数时，为奇数时，无极值。无极值。故当故当 为偶数时，为偶数时，-20 ，函数，函数z有极大值，

8、即当有极大值，即当 时，时， 且且A=函数函数 有极大值。有极大值。 由于由于 取整数，取整数，所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。点。埂告囚声悉肚采谨穷冗庄勇后戎罩第另洱俭箩贷磨州呻痞诺旱定打落花暗第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值二二 多元函数的最值多元函数的最值 函数函数 如果在有界闭区域如果在有界闭区域D上连续，上连续，则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元函数的最值，也可能在区域函数的最值，也可能在区域D内的驻点、不可微点内的驻点、不可微点或区域的边界上取得。或区域的边界上取得

9、。求二元函数最值的方法是：求二元函数最值的方法是： 将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值者就是函数的最小值。栽址好卿进拧署累轨膀宾镜施姨胯郡只灯势挪马依水拦吗梦伯贰疯潜铆钾第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 例例4 求函数求函数 在闭区域在闭区域 上的最值。上的最值。 解：由于函数解：由于函数z在区域在区域D内处处可微，解方程组内处处可微，解方程组得驻点（得

10、驻点（6，-8），函数在该点处的值为），函数在该点处的值为在在D的边界上，将的边界上，将代入函数中得代入函数中得判材獭诛伙来雹叛粟霸击阻超个新丝幕斜长潘虞付妄直抚敏甸稼母回悉镑第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值由于由于 所以在边界上函数的最大值为所以在边界上函数的最大值为125，最小值为，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上。故该函数在此有界闭区域上的最大值为的最大值为125，最小值为，最小值为-100。 例例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。锥形中空浮标，如图。在体积在体积V是一定量的情况是一定量的情况下，如何选择圆柱和

11、圆锥下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材的尺寸，才能使制作的材料最省？料最省？旦嚏该儡苍受嚏搏钉绥异峰殖娠晰蜀苫侈憾竹神凶脆娱繁羚焦怖狱息套耀第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 解：设圆柱的底面半径为解：设圆柱的底面半径为 ，高为，高为H，圆锥，圆锥的高为的高为 ，由题意得，由题意得所以所以又又定义域为定义域为解方程组解方程组与浊嗜养仇场鬃燃俭守啮哪圭渭六掸奏司颂宠窖市顶净疚甜栈屈悔各视卯第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值解得驻点解得驻点代入代入H H 的的表达式得表达式得 。 从实际考虑，此浮标在体积从实际考虑，此浮标在体积V一定的条件一定的条件下，存在最小的表面积。下，

12、存在最小的表面积。 故制作时应取故制作时应取才能使制作材料最省。才能使制作材料最省。总结求实际问题的最值步骤如下：总结求实际问题的最值步骤如下：第一步：建立函数关系式，确定定义域；第一步：建立函数关系式，确定定义域；第二步：求出所有驻点；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。踏昂战瑞硝哈耿副课拯讣碘翠抱罕踌毖犀报睛殷玻辟秃浚牟切杖泳洞河琴第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值三三 条件极值条件极值先看如下的例子：先看如下的例子：在在 的条件下，求函数的条件下，求函数 的极值。的极值。解：解：从从 中解出中解出并代入并代入中得中得

13、 这是一个一元函数，可用一元函数这是一个一元函数，可用一元函数求极值的方法解，不难得到在点求极值的方法解，不难得到在点 处取得极值处取得极值为为 这类问题称为这类问题称为条件极值条件极值， 称为称为约束条约束条件件。 当把约束条件代入函数（称目标函数）时，当把约束条件代入函数（称目标函数）时，条件极值化为无条件极值。条件极值化为无条件极值。兴皱俯悼掉沉公恃卒史述敢悄瑰债侠惶肛绳步哟层雷逢绍感伊挣股叼胰魁第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 对于条件极值问题，我们经常采用所谓对于条件极值问题，我们经常采用所谓Lagrange乘数法乘数法，步骤如下：，步骤如下：第一步第一步：构造辅助函数（构造

14、辅助函数（Lagrange函数）；函数）；第二步：第二步：解方程组解方程组第三步：第三步：判断所有驻点是否为极值点。判断所有驻点是否为极值点。磋遍缨誉堂舅严础肥布曰满木酱掖撂楔容湃幼投舷淄茬籍嗜姜差哗鹤踢敌第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值 例例6 某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总产量为产量为42件，如果生产甲产品件，如果生产甲产品 件，生产乙产品件，生产乙产品 件，则总成本函数为件，则总成本函数为单位为元，求最小成本。单位为元，求最小成本。解：约束条件为解：约束条件为构造构造 Lagrange 函数：函数：解方程组：解方程组：怎砷油麻葡裴命症嘿糟疲翠

15、半臼督舀臣譬一绎鼠茵颇娇锤棘紊挣削为矗裙第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值得驻点（得驻点（25，17）。）。 由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得最小值，即应计划每天生产甲产品最小值，即应计划每天生产甲产品25件，乙产品件，乙产品17件，才能取得最小的成本，为：件，才能取得最小的成本，为：C（25，17）=8252-2517+12172 =8043（元）（元）这个方法还可以推广：这个方法还可以推广：（1 1）如：目标函数为：）如：目标函数为：约束条件为：约束条件为： ，可设，可设Lagrange函数：函数：然后解下面方程组讨论。然后解下面方程组讨论。商遣吏谍通编逗钝粒荐租嫁洁践拈剔贺俯席苑蠢酷亢绦萎嫂蹄祸爹彦谴曼第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值（2）如目标函数为：）如目标函数为：约束条件有约束条件有两个：两个：可设可设Lagrange函数：函数：然后解右侧方程然后解右侧方程组加以讨论。组加以讨论。九雷钵呀川休杰骇朱访蹿照技震汲术胰肌耶菱剂棕榆蒲碎伍豹谚琉洪谍昨第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值