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1、3.33.3向量组的秩向量组的秩一一 两个向量组的问题两个向量组的问题 设向量组设向量组 如如果果（1 1）中中的的每每个个向向量量都都可可以以被被（2 2）中中的的向向量量线线性性表表出出，则则称称向向量量组组（1 1）可可以以被被向向量量组组（2 2）线性标出；）线性标出； 若若向向量量组组（1 1）、（2 2）可可以以互互相相线线性性表表出出，则则称这两个向量组等价。称这两个向量组等价。 向量组的等价特点：向量组的等价特点：（1）自反性；（2）对称性；（3）传递性；定理定理1 1如果向量组（2）可以由向量组（1）线性表出，且ts,则向量组（2）线性相关。证明（不要求掌握，参考课本P278
2、）推论：如果向量组（推论：如果向量组（2 2）线性无关，且它可）线性无关，且它可以由向量组（以由向量组（1 1）线性表出，则）线性表出，则t=st=s定定义义 设设 是是m m个个n n元元向向量量。若若其其中中存存在在r r个个向向量量线线性性无无关关，但但任任意意r+1r+1个个向向量量都都线线性性相相关关，则则称称向向量量组组 的的秩秩为为r r, ,记记为为秩秩 。例例求此向量组的秩！求此向量组的秩！定定理理 向向量量组组 线线性性相相关关的的充充分分必必要要条条件是：秩件是：秩 m m 定义定义 设向量组设向量组 的秩为的秩为r,r,则则 中任意中任意r r个线性无关的向量都称为个线
3、性无关的向量都称为 的的极极大大线线性性无无关关部部分分组组，简简称称为为极极大大无关组无关组。 例例研研究究下下列列向向量量组组的的极极大大无无关关组组解解整整理理得得到到性质性质 向量组与其任一极大无关组都等价。向量组与其任一极大无关组都等价。性质性质定理定理 一个向量组的秩是唯一的。一个向量组的秩是唯一的。定理定理 一个向量组的极大无关组并不唯一。一个向量组的极大无关组并不唯一。定定理理 若若向向量量组组（1 1）可可以以由由向向量量组组（2 2）线线性性表表出出，则向量组（则向量组（1 1）的秩小于等于向量组（）的秩小于等于向量组（2 2）的秩。）的秩。推推论论 若若向向量量组组（1
4、1）、（2 2）等等价价，则则这这两两个个向向量量组的秩相等。组的秩相等。推推论论 一一个个向向量量组组的的两两个个最最大大线线性性无无关关组组等等价价；向向量组和它的最大线性无关组等价。量组和它的最大线性无关组等价。向量组的秩和最大线性无关组的求法向量组的秩和最大线性无关组的求法向量组的秩和最大线性无关组的求法向量组的秩和最大线性无关组的求法定理：对矩阵A作初等行变换化为矩阵B，则矩阵A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。求法：只要把求法：只要把矩阵矩阵A A作初等行变换化为阶梯作初等行变换化为阶梯型矩阵型矩阵B B，就很容易确定矩阵，就很容易确定矩阵B B中的列向量中的列向量的最
5、大线性无关组，从而可以确定矩阵矩的最大线性无关组，从而可以确定矩阵矩阵阵A A的最大线性无关组。的最大线性无关组。例题：设向量组例题：设向量组求此向量组的秩和一个最大线性无关组，并把其求此向量组的秩和一个最大线性无关组，并把其余的向量用这个极大线性无关组表示出来。余的向量用这个极大线性无关组表示出来。最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性2 2 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：3 3 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结四、小结作业：作业：P303P30315.18.（3）、（4）
