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1、数值分析第八章常微分方程数值解法Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望第八章常微分方程数值解法 8.1 8.1 引言引言8.2 8.2 欧拉欧拉(Euler)(Euler)法法8.3 8.3 改进欧拉改进欧拉(Euler)(Euler)方法方法8.4 8.4 单步法的稳定性单步法的稳定性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.1引言问题提出问题提出 倒葫芦形状容器壁上的刻度问题
2、倒葫芦形状容器壁上的刻度问题. .对于圆柱形状容对于圆柱形状容器壁上的容积刻度器壁上的容积刻度, ,可以利用圆柱体体积公式可以利用圆柱体体积公式其中直径D为常数.由于体积V与相对于容器底部的任意高度H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,而对于几何形状不是规则的容器,比如倒葫芦形状容器壁上如何标出刻度呢?ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.1引言下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系下表是经过测量得到部分容器高度与直径的关系. .H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
3、D 0 0.11 0.26 0.56 1.04 1.17根据上表的数据根据上表的数据, ,可以拟合出倒可以拟合出倒葫芦形状容器的图葫芦形状容器的图, ,建立如图所建立如图所示的坐标轴后示的坐标轴后, ,问题即为如何根问题即为如何根据任意高度据任意高度x x标出容器体积标出容器体积V V的的刻度刻度, ,由由微元思想分析微元思想分析可知可知ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.1引言其中其中x x表示高度表示高度, ,直径直径D D是高度是高度x x的函数的函数, ,记为记为D(x),D(x),因
4、此得到如下微分方程初值问题因此得到如下微分方程初值问题只要求解上述方程只要求解上述方程, ,就可求出体积就可求出体积V V与高度与高度x x之间的之间的函数关系函数关系, ,从而可标出容器壁上容积的刻度从而可标出容器壁上容积的刻度, ,但问题但问题是函数是函数D(x)D(x)无解析表达式无解析表达式, ,我们无法求出其解析解我们无法求出其解析解. .ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.1引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为分的方程称
5、为微分方程微分方程。在微分方程中。在微分方程中, , 自变量的自变量的个数只有一个个数只有一个, , 称为称为常微分方程常微分方程。自变量的个数为。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程偏微分方程。微分方。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的程的阶阶数。如果未知函数数。如果未知函数y y及其各阶导数及其各阶导数都是一次的都是一次的, ,则称它是则称它是线性线性的的, ,否则称为否则称为非线性非线性的。的。 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课
6、程数值分析NumericalAnalysis常微分方程常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数未知函数是一元函数) 偏微分方程偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数未知函数是多元函数) ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis同一个微分方程同一个微分方程,具有不同的初具有不同的初始条件始条件ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis当当x=0时时,y=1,可得可得c=1特特解解当当x=0时时,y=1,可得
7、可得c=-1特解特解两边积分两边积分通解通解ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.1引言 在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。有限的，大多数的常微
8、分方程是不可能给出解析解。 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.1引言 待求解的问题待求解的问题：一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题 /* Initial-Value Problem */: 解的存在唯一性解的存在唯一性（“常微分方程常微分方程”理论）：只要理论）：只要 f (x, y) 在在a, b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件条件，即存，即存在与在与 x, y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a, b 上的
9、上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，则上述都成立，则上述IVP存在唯一解存在唯一解。ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis解析解法解析解法：（常微分方程理论）：（常微分方程理论）只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。如何求解如何求解ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析Numerical
10、AnalysisISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysisISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法 欧拉（欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题单的数值方法。初值问题的解的解y=y(x)y=y(x)代表通过点代表通过点 的一条称之为的一条称之为微分方程的微分方程的积分曲线积分曲线。积分曲线上每一点。积分曲线上每一点 的切线的斜率的切线的斜
11、率 等于函数等于函数 在在这点的值。这点的值。 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysisEuler法的求解过程是法的求解过程是: :从初从初始点始点P0(即点即点(x(x0 0,y,y0 0)出发出发, ,作积分曲线作积分曲线y=y(x)y=y(x)在在P0点上点上切线切线 ( (其斜率为其斜率为 ), ),与与x=xx=x1 1直线直线相交于相交于P1点点( (即点即点(x(x1 1,y,y1 1),),得到得到y y1 1作为作为y(xy(x1 1) )的近似值的近似值, ,如上图所示。过点如上图
12、所示。过点(x(x0 0,y,y0 0),),以以f(xf(x0 0,y,y0 0) )为为斜率的切线斜率的切线方程为方程为 当当 时时, ,得得 这样就获得了这样就获得了P P1 1点的坐标。点的坐标。 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis同样同样, 过过点点P1(x x1 1,y,y1 1),),作积分曲线作积分曲线y=y(x)y=y(x)的切线的切线交直线交直线x=xx=x2 2于于P2点点, ,切线切线 的斜率的斜率 直线方程为直线方程为当当 时时, ,得得 ISCM 2007,Beiji
13、ng China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis当当 时时, ,得得由此获得了由此获得了P P2 2的坐标。重复以上过程的坐标。重复以上过程, ,就可获得一系就可获得一系列的点列的点: :P P1 1, ,P P1 1, , ,P Pn n。对已求得点对已求得点以以 为斜率作直线为斜率作直线 取取ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis 从图形上看从图形上看, ,就获得了一条近似于曲线就获得了一条近似于曲线y=y(x)y=y(x) 的折线的折线
14、。这样这样, ,从从x x0 0逐个算出逐个算出对应的数值解对应的数值解 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法通常取通常取 ( (常数常数),),则则Euler法的计算格式法的计算格式 i=0,1,n ( 8.2 ) ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法还可用以下方法推导还可用以下方法推导EulerEuler格式：格式： 数值微分数值微分 数值积分法
15、数值积分法对微分方程的离散，可对微分方程的离散，可以有多种思路，但最基以有多种思路，但最基本的想法是本的想法是“以直代曲以直代曲”ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法(1) 用差商近似用差商近似导数数差分方程初差分方程初值问题向前向前Euler方法方法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法若若用向后差商近似用向后差商近似导数数，即，即向后向后Euler
16、方法方法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法（2）用数）用数值积分方法分方法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法若若对积分用梯形公式，分用梯形公式，则得得梯形欧拉公式梯形欧拉公式ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis例例8.2.1 用欧拉法解初值问题用欧拉
17、法解初值问题 取步长取步长h=0.2 ,h=0.2 ,计算过程保留计算过程保留4 4位小数位小数 解解: h=0.2, : h=0.2, 欧拉迭代格式欧拉迭代格式 当当 k=0, x1=0.2时，已知时，已知x0=0，y0=1，有，有 y(0.2) y1=0.21(401)0.8当当 k=1, x2=0.4时，已知时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有，有 y(0.4) y2 =0.20.8(40.20.8)0.6144当当 k=2, x3 =0.6时，已知时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有，有 y(0.6) y3=0.20.6144(4-0.40.6144)=0.461
18、3 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法的解作的解作为微分方程初微分方程初值问题的数的数值解，即解，即以差分方程初以差分方程初值问题ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法x0x1x2x3y y0
19、h h h h h h 欧拉折线法欧拉折线法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis解：解：Euler公式公式为当当h=0.5时时ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis当当h=0.25时时ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis00.50.751.010.25h = 0.5h = 0.25ISCM 2007,Bei
20、jing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法欧拉方法的收敛性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法局部截断误差称为局部截断误差ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法欧拉方法的收敛性定义 若给定方法的局部截断误差满足则称该方法是 P 阶的，或称为具有 P 阶精度。IS
21、CM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法整体截断误差ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法欧拉方法的收敛性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis由此知，当 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析Numer
22、icalAnalysis8.2欧拉(Euler)法 注 整体截断误差与局部截断误差的关系： ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法向后欧拉公式隐式欧拉法或向后欧拉法隐式欧拉法或向后欧拉法 /* implicit Euler method or backward Euler method*/xn+1点向后差商近似导数点向后差商近似导数隐式或后退欧拉公式隐式或后退欧拉公式ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析Nume
23、ricalAnalysis8.2欧拉(Euler)法向后欧拉公式由于未知数由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为同时出现在等式的两边，故称为隐式隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式 /* explicit */ 欧拉公欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式显式公式得到初值，然后用得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解隐式公式迭代求解。因此隐式公。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。 隐式欧拉公式中的未知数隐式
24、欧拉公式中的未知数 yn+1 可通过以下迭代法求可通过以下迭代法求解：解：ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法向后欧拉公式迭代法求隐式欧拉格式中迭代法求隐式欧拉格式中yn+1的收敛性的收敛性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis 见上图，见上图， 显然，这种近似也有一定误差，显然，这种近似也有一定误差，如何估计这种误差如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？方法同上，基于方
25、法同上，基于Taylor展开展开估计估计局部截断误差局部截断误差。但是注意，隐式公式中右边含有但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) ,由于由于yn +1不准确，所以不能直接用不准确，所以不能直接用y (xn+1)代替代替f(xn+1 , yn +1 ) 设已知曲线上一点设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过过该点作弦线，斜率为该点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的方向场点的方向场f(x,y)。若步长。若步长h充分小，充分小，可用弦线和垂线可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似的交点近似曲线与垂线的交点。曲线与垂线的交点。几何意义xnxn+1PnP
26、n+1xyy(x)ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis 隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysisISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis 隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。阶精度。 隐式隐式欧拉
27、法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.2欧拉(Euler)法向后欧拉公式比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差显式公式隐式公式ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis 若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分的主要部分/*leading term*/而获得更高的精度而获得更高的精度,称为梯形法称为梯形法 梯形公
28、式梯形公式 /* trapezoid formula */ 显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均注：注：的确有局部截断误差的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到迭代法，公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。其迭代收敛性与欧拉公式相似。ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis例例8.2.3 对初值问题对初值问题 证明用梯形公式求得的近似解为证
29、明用梯形公式求得的近似解为 并证明当步长并证明当步长h h0 0时时,y,yn n收敛于精确解收敛于精确解证明证明: : 解初值问题的梯形公式为解初值问题的梯形公式为 整理成显式整理成显式 反复迭代反复迭代, ,得到得到 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis公式公式局部截断误差局部截断误差精精度度显显隐隐稳稳定定性性步数步数欧拉显欧拉显式公式式公式1 1阶阶显显差差单步单步欧拉隐欧拉隐式公式式公式1 1阶阶隐隐好好单步单步梯形梯形公式公式2 2阶阶隐隐好好单步单步欧拉法小结欧拉法小结ISCM 20
30、07,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法 显显式式欧欧拉拉公公式式计计算算工工作作量量小小,但但精精度度低低。梯梯形形公公式式虽虽提提高高了了精精度度,但但
31、为为隐隐式式公公式式,需需用用迭迭代代法法求求解解,计计算算工工作作量量大大。综综合合欧欧拉拉公公式式和和梯梯形形公公式式便便可可得得到到改改进进的欧拉公式。的欧拉公式。 结合已有格式的优点，以结合已有格式的优点，以得到计算方便、计算量减得到计算方便、计算量减少且精度保持的数值格式少且精度保持的数值格式ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法 先用欧拉公式先用欧拉公式(8.2)求出一个初步的近似值求出一个初步的近似值,称称为为预预测测值值, 它它的的精精度度不不高高,
32、再再用用梯梯形形公公式式对对它它校校正正一一次次,即即迭迭代代一一次次,求求得得yn+1,称称为为校校正正值值, 这这种种预预测测-校正方法称为校正方法称为改进的欧拉公式改进的欧拉公式：称称为Euler公式与梯形公式的公式与梯形公式的预测校正系校正系统。ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法实际计算算时，常改写成以下形式，常改写成以下形式几何几何解释解释xnxn+1ABPn+1=(A+B)/2欧拉法欧拉法改进欧拉法改进欧拉法梯形法梯形法ISCM 2007,Beijin
33、g China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysispredictorcorrectorISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法 可可以以证证明明, ,改改进进的的欧欧拉拉公公式式的的精精度度为为二二阶阶。这是一种一步这是一种一步显式格式显式格式, ,它可以表示为嵌套形式它可以表示为嵌套形式。ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalys
34、is例例8.3.18.3.1ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysisISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.3改进欧拉(Euler)方法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis改进欧拉法的算法ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAn
35、alysis8.4单步法的稳定性 稳稳定定性性在在微微分分方方程程的的数数值值解解法法中中是是一一个个非非常常重重要要的的问问题题。因因为为微微分分方方程程初初值值问问题题的的数数值值方方法法是是用用差差分分格格式式进进行行计计算算的的，而而在在差差分分方方程程的的求求解解过过程程中中，存存在在着着各各种种计计算算误误差差，这这些些计计算算误误差差如如舍舍入入误误差差等等引引起起的的扰扰动动，在在传传播播过过程程中中，可可能能会会大大量量积积累累，对对计计算算结结果果的的准准确确性性将将产产生生影影响响。这这就就涉涉及及到到算算法法稳定性问题。稳定性问题。 ISCM 2007,Beijing
36、China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis例：例：考察初值问题考察初值问题 在区间在区间0, 0.5上的解。上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解精确解改进欧拉法改进欧拉法 欧拉隐式欧拉隐式欧拉显式欧拉显式 节点节点 xi 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7
37、656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 78.4单步法的稳定性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis8.4单步法的稳定性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis若若某某算算法法在在计计算算过过程程中中任任一一步步产产生
38、生的的误误差差在在以以后后的的计计算算中中都都逐逐步步衰衰减减，则则称称该该算算法法是是绝绝对对稳稳定定的的 /*absolutely stable */。一般分析某算法的稳定性时，为简单起见，只考虑一般分析某算法的稳定性时，为简单起见，只考虑模型方程模型方程或或试验方程试验方程 /* test equation */8.4单步法的稳定性ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis记数值误差为：引进试验方程： ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值
39、分析NumericalAnalysis向前欧拉公式的稳定性试验方程的欧拉公式若每步计算有舍入误差，则 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis当为复数时当为实数时ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis本章小结本章小结 本本章章介介绍绍了了常常微微分分方方程程初初值值问问题题的的基基本本数数值值解解法法。包包括括单单步步法法和和多多步步法法。单单步步法法主主要要有有欧欧拉拉法法、改改进进欧欧拉拉法法和和龙龙格
40、格库库塔塔方方法法。多多步步法法是是亚亚当当姆姆斯斯法法。它它们们都都是是基基于于把把一一个个连连续续的的定定解解问问题题离离散散化化为为一一个个差差分分方方程程来来求求解解，是是一一种种步步进进式式的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。 实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性性。 ISCM 2007,Beijing China/69郑州大学研究生2010-2011学年课程数值分析NumericalAnalysis
