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1、6.2 典型的一阶微分方程典型的一阶微分方程:6.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：如果一阶微分方程可以化为下列形式：则称原方程为变量可分离的方程。则称原方程为变量可分离的方程。 对于第对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：方程的通解：其中其中C 为积分后出现的任意常数。为积分后出现的任意常数。 对于第对于第2种形式，当种形式，当g(y) 0时，方程可化为时，方程可化为: 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。称为分离变
2、量法。两端积分得两端积分得: 例例解解对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解隐函数形式隐函数形式隐函数形式隐函数形式经初等运算可得到原方程的通解为经初等运算可得到原方程的通解为你认为做完了没有？你认为做完了没有？你认为做完了没有？你认为做完了没有？:原方程的通解为原方程的通解为但通解不包含特解但通解不包含特解 y = -1.:例例6.8解解两边积分得两边积分得即即只求通解，不必考虑只求通解，不必考虑y=0的情形。的情形。:例例6.9解解从而有从而有或或:例例6.10解解分离变量并积分得分离变量并积分得整理得整理得故故为原方程的通解。为原方程的通解。:例例6.11设降落伞从
3、塔顶下落后，所受的空气阻力设降落伞从塔顶下落后，所受的空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开塔顶时与速度成正比，并设降落伞离开塔顶时(t =0) 速度为速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。解解设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为v(t), 降落伞在空中降落时，降落伞在空中降落时，降落伞在空中降落时，同时受到重力与阻力的作用。降落伞在空中降落时，同时受到重力与阻力的作用。重力大小为重力大小为 mg （m为落体质量，为落体质量，g为重力加速度），为重力加速度），方向与方向与v(t)相反，从而降落伞所受外力为相反，从而降落伞所受外力为 根据牛顿第二定律根据
4、牛顿第二定律F=maa为加速度），得函数为加速度），得函数v(t) 应满足的方程为应满足的方程为:初始条件为初始条件为该方程为可分离变量的方程，分离变量后得该方程为可分离变量的方程，分离变量后得两边积分得两边积分得故有故有即即:代入通解得代入通解得整理得整理得:6.2.2 齐次方程齐次方程如果微分方程如果微分方程可化为如下形式：可化为如下形式：（5-26）则称则称 为齐次方程。为齐次方程。例：例：是齐次方程，因为它可化成是齐次方程，因为它可化成方程。方程。:两边积分后，再用两边积分后，再用 u=y/x 代回即可。代回即可。: 例解解于是，原方程化为于是，原方程化为两边积分，得两边积分，得即即:
5、例例6.12 解解原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得:所以通解为所以通解为:即即例例6.13 （略）（略）例例6.14 解解原方程可化为原方程可化为代入上述方程得代入上述方程得:即即分离变量并积分得分离变量并积分得:6.2.3 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程例例6.16 解解:分离变量并积分得分离变量并积分得例例6.17 解解:分离变量并积分得分离变量并积分得:例例6.15 解解原方程不是齐次方程，原因在于等式右端的原方程不是齐次方程，原因在于等式右端的分子分母具有常数项。此时，可通过坐标平移去掉分子分母具有常数项。此时，可通过坐标平移去掉常数项。常数项。令令:令令得得
6、在此变换下，原方程可化为齐次方程在此变换下，原方程可化为齐次方程: 例解解于是，原方程变为于是，原方程变为联立方程组联立方程组解之，得解之，得可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的:两边积分，得两边积分，得即即:可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程:6.2.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程形如形如的方程称为一阶线性微分方程。的方程称为一阶线性微分方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。习惯上，称习惯上，称为方程为方程所对应的齐方程。
7、所对应的齐方程。:一阶齐线性方程的解一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得运用分离变量法，得两边积分，得两边积分，得故故表示一个表示一个原函数原函数:的解存在，且唯一，其通解为的解存在，且唯一，其通解为: 例例解解故该一阶齐线性方程的通解为故该一阶齐线性方程的通解为: 例例解解先求此一阶齐线性方程的通解：先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为故该初值问题的解为:一阶非齐线性方程的解一阶非齐线性方程的解比较两个方程：比较两个方程：请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？请问，你有什么想法？它们的解的形式应该差不多。但差了一点它们的解的形式应该差不多。但差了一点 什什么东
8、西呢？么东西呢？行吗行吗行吗行吗 ?! ?!:怎么办？怎么办？故故即即:上式两边积分，求出待定函数上式两边积分，求出待定函数 以上的推导过程称为以上的推导过程称为“常数变易法常数变易法”。这种。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。由线性问题推出相应的非线性问题。: 例例解解所以，方程的通解为所以，方程的通解为:例例6.19解解所以所以:例例6.20解解原方程可以改写为原方程可以改写为这是一个以这是一个以 x 为自变量的非线性方程为自变量的非线性方程.把把 x 看着看着y的函数，该方程进一步变形为的函数，该方
9、程进一步变形为这是一个以这是一个以 x 为函数为函数y为自变量的一阶线性方程为自变量的一阶线性方程.:整理得原方程的通解整理得原方程的通解例例6.21解解原方程可以改写为原方程可以改写为:整理得原方程的通解整理得原方程的通解6.2.5 伯努利伯努利Bernoulli方程方程形如形如的方程称为伯努利方程。的方程称为伯努利方程。:代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程于是，原方程的通解为于是，原方程的通解为:例例6.22解解原方程可以化为原方程可以化为:例例6.23解解:上述方程可化为上述方程可化为: 补例补例解解原方程可变为原方程可变为:原方程化
10、为原方程化为也可按照如下思路来解：也可按照如下思路来解：:6.2.4 全微分方程全微分方程若方程若方程的左端恰好是某个函的左端恰好是某个函其通解为其通解为定理定理1：:此时，此时，或或证明见第五章有关知识，此处略。证明见第五章有关知识，此处略。例例6.24解解1原方程为全微分方程。原方程为全微分方程。:解解2分项组合凑微分法。分项组合凑微分法。:解解3那么那么所以所以故故:所以所以原方程通解为原方程通解为积分因子积分因子定义定义 设设Pdx+Qdy=0不是全微分方程，但存在函数不是全微分方程，但存在函数m(x,y),使使mPdx+mQdy=0成为全微分方程，则称成为全微分方程，则称m(x,y)
11、是方程是方程Pdx+Qdy=0的积分因子。的积分因子。例例 ydx-xdy=0 不是微分方程，令不是微分方程，令m(x,y)=1/y2, 则则由于由于故故m(x,y)=1/y2是方程是方程ydx-xdy=0的积分因子。的积分因子。: 简单方程简单方程 Pdx+Qdy=0 的积分因子可用观察法的积分因子可用观察法求出。求出。几个常见的全微分等式：几个常见的全微分等式：:两种特殊情形积分因子的计算公式：两种特殊情形积分因子的计算公式：定理定理2 假假设设假假设设: 例例6.25解解此为原方程的通解。此为原方程的通解。 例例6.26解解因为因为:所以原方程不是全微分方程。所以原方程不是全微分方程。而而:所以所以得得故故原方程通解为原方程通解为:
