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1、专题18等差数列和等比数列等差数列和等比数列等差数列和等比数列主干知识梳理热点分类突破真题与押题1.等等差差、等等比比数数列列基基本本量量和和性性质质的的考考查查是是高高考考热热点，经常以小题形式出现点，经常以小题形式出现.2.数数列列求求和和及及数数列列与与函函数数、不不等等式式的的综综合合问问题题是是高高考考考考查查的的重重点点，考考查查分分析析问问题题、解解决决问问题题的的综合能力综合能力考情解读3主干知识梳理1an与与Sn的关系的关系Sna1a2an，an2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列等差数列等差数列等比数列等比数列定定义义anan-1常数常数(n2) 常数常数(n2)通通项
2、项公公式式ana1(n1)d ana1qn1(q0)判判定定方方法法(1)(1)定义法定义法(2)中中项项公公式式法法：2an1anan2(n1)an为为等等差差数数列列(3)通通项项公公式式法法：anpnq(p、q为为常常数数)an为为等等差差数列数列(4)前前n项项和和公公式式法法：SnAn2Bn(A、B为为常常数数)an为等差数列为等差数列(1)定义法定义法(2)中中项项公公式式法法：anan2(n1)(an0)an为为等等比比数数列列(3)通项公式法：通项公式法：ancqn(c、q均均是是不不为为0的的常常数数，nN*)an为为等等比比数数列列判定判定方法方法(2)(5)an为为 等等
3、 比比 数数 列列 ，an0logaan为等差数列为等差数列(4)an为为等等差差数数列列为为等等比比数列数列(a0且且a1)性质性质(1)若若m、n、p、qN*，且且mnpq，则，则amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列，仍成等差数列(1)若若m、n、p、qN*，且且mnpq，则，则amanapaq(2)anamqnm(3)等比数列依次每等比数列依次每n项和项和(Sn0)仍成等比数列仍成等比数列前前n项项和和(2)q1，Snna1热点一等差数列热点二等比数列热点三等差数列、等比数列的综合应用热点分类突破例1(1)等等差差数数列列an的的前前
4、n项项和和为为Sn，若若a2a4a612，则，则S7的值是的值是()A.21 B.24 C.28 D.7热点一等差数列思维启迪 利利用用a1a72a4建建立立S7和已知条件的联系；和已知条件的联系；解析由题意可知，由题意可知，a2a62a4，则则3a412，a44，C(2)设设 等等 差差 数数 列列 an的的 前前 n项项 和和 为为 Sn， 若若 1a31,0a63，则，则S9的取值范围是的取值范围是_思维启迪将将a3，a6的范围整体代入的范围整体代入解析S99a136d3(a12d)6(a15d)又又1a31,0a63，33(a12d)3,06(a15d)18，故故3S921.(3,21
5、)(1)等等差差数数列列问问题题的的基基本本思思想想是是求求解解a1和和d，可可利利用方程思想；用方程思想；(2)等差数列的性质等差数列的性质若若m，n，p，qN*，且且mnpq，则则amanapaq；Sm，S2mSm,S3mS2m，仍成等差数列；，仍成等差数列；思维升华aman(mn)dd (m，nN*)； (A2n1，B2n1分分别别为为an，bn的的前前2n1项的和项的和)(3)等等差差数数列列前前n项项和和的的问问题题可可以以利利用用函函数数的的性性质质或者转化为等差数列的项，利用性质解决或者转化为等差数列的项，利用性质解决思维升华变式训练1(1)已已知知等等差差数数列列an中中，a7
6、a916，S11 ，则则a12的值是的值是()A15 B30C31 D64解析因为因为a8是是a7，a9的等差中项，的等差中项，所以所以2a8a7a916a88，再由等差数列前再由等差数列前n项和的计算公式可得项和的计算公式可得所以所以a12a84d15，故选，故选A.答案A(2)在在等等差差数数列列an中中，a50且且a6|a5|，Sn是是数列的前数列的前n项的和，则下列说法正确的是项的和，则下列说法正确的是()AS1，S2，S3均小于均小于0，S4，S5，S6均大于均大于0BS1，S2，S5均小于均小于0，S6，S7，均大于均大于0CS1，S2，S9均小于均小于0，S10，S11均大于均大
7、于0DS1，S2，S11均小于均小于0，S12，S13均大于均大于0解析由题意可知由题意可知a6a50，答案C例2(1)(2014安安徽徽)数数列列an是是等等差差数数列列，若若a11，a33，a55构成公比为构成公比为q的等比数列，则的等比数列，则q_.热点二等比数列思维启迪 列列方方程程求求 出出 d，代代 入入 q即即可；可；解析设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,则则a3a12d,a5a14d,(a12d3)2(a11)(a14d5),解得解得d1，1思维启迪 求求出出a1，q，代入化简代入化简答案D(1)an为等比数列，其性质如下：为等比数列，其性质如下：若若m、n、r、sN*，
8、且且mnrs，则则amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列成等比数列(q1)思维升华(2)等比数列前等比数列前n项和公式项和公式Sn能能“知知三三求求二二”；注注意意讨讨论论公公比比q是是否否为为1；a10.思维升华变式训练2 (1)已已知知各各项项不不为为0的的等等差差数数列列an满满足足a42a3a80，数列，数列bn是等比数列，且是等比数列，且b7a7，则，则b2b8b11等于等于()A1 B2 C4 D8D(2)在在等等比比数数列列an中中，a1an34，a2an164，且前且前n项和项和Sn62，则项数，则项数n等于等于()A4 B5 C6 D7解析
9、设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q，由由a2an1a1an64，又又a1an34，解得，解得a12，an32或或a132，an2.又又ana1qn1，所以，所以22n12n32，解得，解得n5.综上，项数综上，项数n等于等于5，故选，故选B.答案B例3已已知知等等差差数数列列an的的公公差差为为1，且且a2a7a126.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式an与前与前n项和项和Sn；热点三等差数列、等比数列的综合应用思维启迪 利用方程思想求出利用方程思想求出a1，代入公式求出，代入公式求出an和和Sn；解由由a2a7a126得得a72，a14，(2)将将数数列列an的的前前4项项
10、抽抽去去其其中中一一项项后后，剩剩下下三三项项按按原原来来顺顺序序恰恰为为等等比比数数列列bn的的前前3项项，记记bn的的前前n项项和和为为Tn，若若存存在在mN*，使使对对任任意意nN*，总总有有SnTm恒成立，求实数恒成立，求实数的取值范围的取值范围思维启迪 将恒成立问题通过分离法转化为最值将恒成立问题通过分离法转化为最值解由题意知由题意知b14，b22，b31，设等比数列设等比数列bn的公比为的公比为q，Tm为递增数列，得为递增数列，得4Tm8.故故(Sn)maxS4S510，若存在若存在mN*，使对任意，使对任意nN*总有总有SnTm，则则106.即实数即实数的取值范围为的取值范围为(
11、6，)等差等差(比比)数列的综合问题的常见类型及解法数列的综合问题的常见类型及解法(1)等等差差数数列列与与等等比比数数列列交交汇汇的的问问题题，常常用用“基基本本量量法法”求求解解，但但有有时时灵灵活活地地运运用用性性质质，可可使使运算简便运算简便(2)等等差差数数列列、等等比比数数列列与与函函数数、方方程程、不不等等式式等等的的交交汇汇问问题题，求求解解时时用用等等差差(比比)数数列列的的相相关关知知识识，将将问问题题转转化化为为相相应应的的函函数数、方方程程、不不等等式式等问题求解即可等问题求解即可思维升华变式训练3已已知知数数列列an前前n项项和和为为Sn，首首项项为为a1，且且 ，a
12、n，Sn成等差数列成等差数列(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；证明bn(log2a2n1)(log2a2n3)log222n12log222n32(2n1)(2n1)，1.在在等等差差(比比)数数列列中中，a1，d(q)，n，an，Sn五五个个量量中中知知道道其其中中任任意意三三个个，就就可可以以求求出出其其他他两两个个解解这这类类问问题题时时，一一般般是是转化为首项转化为首项a1和公差和公差d(公比公比q)这两个基本量的有关运算这两个基本量的有关运算2.等等差差、等等比比数数列列的的性性质质是是两两种种数数列列基基本本规规律律的的深深刻刻体体现现，是是解解决决等等差差、等等比比数
13、数列列问问题题既既快快捷捷又又方方便便的的工工具具，应应有有意意识识地地去去应应用用但但在在应应用用性性质质时时要要注注意意性性质质的的前前提提条条件件，有有时时需需要进行适当变形要进行适当变形本讲规律总结3等差、等比数列的单调性等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性等差数列的单调性d0an为递增数列，为递增数列，Sn有最小值有最小值d0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，则，则a2 0130，则，则a2 0140，则，则a2 0130 D.若若a40，则，则a2 0140解析因因为为a3a1q2，a2 013a1q2 012，而而q2与与q2 012均均为正数，为
14、正数，若若a30，则，则a10，所以，所以a2 0130，故选，故选C.C押题精练1232.已已知知数数列列an是是首首项项为为a，公公差差为为1的的等等差差数数列列，bn .若若对对任任意意的的nN*，都都有有bnb8成成立立，则则实数实数a的取值范围为的取值范围为_.解析ana(n1)1na1，押题精练123因为对任意的因为对任意的nN*，都有，都有bnb8成立，成立，答案(8，7)押题精练1233.设各项均为正数的数列设各项均为正数的数列an的前的前n项和为项和为Sn，满足，满足4Sn4n1，nN*，且且a2，a5，a14恰恰好好是是等等比数列比数列bn的前三项的前三项.(1)求数列求数
15、列an，bn的通项公式；的通项公式；押题精练123an0，an1an2.当当n2时，时，an是公差是公差d2的等差数列的等差数列.a2，a5，a14构成等比数列，构成等比数列，a2a1312，an是首项是首项a11，公差，公差d2的等差数列的等差数列.押题精练123等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为an2n1.等比数列等比数列bn的通项公式为的通项公式为bn3n.押题精练123(2)记记数数列列bn的的前前n项项和和为为Tn，若若对对任任意意的的nN*，(Tn )k3n6恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围.押题精练123当当n3时，时，cncn1；当当n4时，时，cncn1.
