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2、讲 数学归纳法 第十二单元推理与证明第十二单元推理与证明第十二单元推理与证明第十二单元推理与证明知识框架第十二单元第十二单元 知识框架知识框架考纲要求第十二单元第十二单元 考纲要求考纲要求1合情推理与演合情推理与演绎推理推理(1)了解合情推理的含了解合情推理的含义，能利用，能利用归纳和和类比等比等进行行简单的推理，了解合情推理在数学的推理，了解合情推理在数学发现中的作用中的作用(2)了解演了解演绎推理的重要性，掌握演推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，推理的基本模式，并能运用它并能运用它们进行一些行一些简单推理推理.(3)了解合情推理和演了解合情推理和演绎推理之推理之间的的联系和差异系和差异
3、2直接直接证明与明与间接接证明明(1)了解直接了解直接证明的两种基本方法明的两种基本方法分析法和分析法和综合法；合法；了解分析法和了解分析法和综合法的思考合法的思考过程、特点程、特点(2)了解了解间接接证明的一种基本方法明的一种基本方法反反证法；了解反法；了解反证法的思考法的思考过程、特点程、特点3数学数学归纳法法了解数学了解数学归纳法的原理，能用数学法的原理，能用数学归纳法法证明一些明一些简单的数学命的数学命题第十二单元第十二单元 考纲要求考纲要求命题趋势本本单元既有新元既有新课标高考独有的内容，也有大高考独有的内容，也有大纲版中的版中的传统内容，新增内容已成内容，新增内容已成为近几年新近几
4、年新课标高考的必考内容，高高考的必考内容，高考考对本本单元的考元的考查有如下特点：有如下特点：1对推理与推理与证明的考明的考查，高考，高考试题中已中已经出出现过专门考考查归纳推理和推理和类比推理的比推理的试题，也出，也出现过专门指明用反指明用反证法法证明的明的试题，随着新，随着新课标高考的深入高考的深入发展，推理与展，推理与证明的考明的考查会更加科学合理，特会更加科学合理，特别在合情推理方面一定会有新的在合情推理方面一定会有新的试题出出现在高考在高考试卷中卷中第十二单元第十二单元 命题趋势命题趋势2新新课标高考高考对于数学于数学归纳法的考法的考查不多，不多，试题从来从来没有以没有以选择题、填空
5、、填空题的形式的形式单独考独考查过，对数学数学归纳法法的考的考查有有时渗透在解答渗透在解答题特特别是数列解答是数列解答题中，一般比中，一般比较隐蔽，蔽，难度也度也较大大预计2012高考将会以合情推理高考将会以合情推理这部分内容部分内容为切入点，加切入点，加强强对学生逆向思学生逆向思维能力和能力和创新能力的考新能力的考查，试题可能会以新可能会以新定定义或信息迁移或信息迁移题的形式出的形式出现第十二单元第十二单元 命题趋势命题趋势第十二单元第十二单元 使用建议使用建议第十二单元第十二单元 使用建议使用建议第第6868讲讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理第第6868讲合情推理与演绎推理讲合情推
6、理与演绎推理知识梳理 1 1推理的概念推理的概念根据一个或几个事根据一个或几个事实(或假或假设)得出一个判断，得出一个判断，这种思种思维方式叫推理从方式叫推理从结构上构上说，推理一般由两部分，推理一般由两部分组成，一部分成，一部分是已知的事是已知的事实(或假或假设)叫做叫做_，一部分是由已知推出，一部分是由已知推出的判断，叫的判断，叫_第第6868讲讲 知识梳理知识梳理前提前提 结论结论 2 2合情推理合情推理根据已有的事根据已有的事实，经过观察、分析、比察、分析、比较、联想，再想，再进行行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理合情推理可分比，然后提出的推理叫合情推理合情推理可分为_和和_两两类
7、(1)归纳推理：由某推理：由某类事物的事物的_具有某些特征，具有某些特征，推出推出该类事物的事物的_具有具有这些特征的推理，或者由个些特征的推理，或者由个别事事实概括出一般概括出一般结论的推理，叫的推理，叫归纳推理推理简言之，言之，归纳推理是由推理是由_到到_、由、由_到到_的推理的推理(2)类比推理：由两比推理：由两类对象具有某些象具有某些类似特征和其中一似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有象也具有这些特征些特征的推理，叫的推理，叫类比推理比推理简言之，言之，类比推理是由比推理是由_到到_的推理的推理第第6868讲讲 知识梳理知识梳理归纳
8、推理归纳推理 类比推理类比推理 部分对象部分对象 全部对象全部对象 部分部分 整体整体 个别个别一般一般特殊特殊特殊特殊 3 3演绎推理演绎推理(1)定定义：从一般性的真命：从一般性的真命题(原理或原理或逻辑规则)出出发，推，推出某个特殊情况下的出某个特殊情况下的结论的推理叫演的推理叫演绎推理，推理，简言之，演言之，演绎推理是由推理是由_到到_的推理的推理(2)三段三段论：三段：三段论是演是演绎推理的一般模式，它包括：推理的一般模式，它包括：_已知的一般原理；已知的一般原理；_所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；_根据一般原理，根据一般原理，对特殊情况作出的判断特殊情况作出的判断第第6868讲
9、讲 知识梳理知识梳理一般一般 特殊特殊 大前提大前提 小前提小前提 结论结论要点探究探究点探究点1归纳整理归纳整理 第第6868讲讲 要点探究要点探究第第6868讲讲 要点探究要点探究第第6868讲讲 要点探究要点探究2010福建卷福建卷观察下列等式：察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推可以推测，mnp_.第第6868讲讲 要点探究要点探究思路思路观察察cos的最高次的
10、系数的最高次的系数2,8,32,128，可得出，可得出m1284512；进一步分析各一步分析各项系数的特点与关系或利用系数的特点与关系或利用赋值法列方程法列方程组，通，通过解方程解方程组确定确定n，p的的值962解析解析方法一：方法一：观察等式可知，察等式可知，cos的最高次的最高次的系数的系数2,8,32,128构成了公比构成了公比为4的等比数列，所以的等比数列，所以m1284512.(1)进一步一步观察，可得每一个式子右察，可得每一个式子右边所有系数之和所有系数之和为1，即有，即有m12801120np11，整理，得，整理，得mnp162.(2)再仔再仔细观察可以察可以发现，每一个式子右，
11、每一个式子右边cos2的系数分的系数分别为212，824,1836，3248，则p51050.(3)第第6868讲讲 要点探究要点探究探究点探究点2类比推理类比推理 第第6868讲讲 要点探究要点探究第第6868讲讲 要点探究要点探究探究点探究点3演绎推理演绎推理 第第6868讲讲 要点探究要点探究例例3已知梯形已知梯形ABCD中，中，ABDCAD，AC和和BD是它的是它的对角角线用三段用三段论证明：明：CA平分平分BCD，BD平分平分CBA.第第6868讲讲 要点探究要点探究例例3思路思路分清所分清所证问题的大前的大前提，正确利用平面几何的有关性提，正确利用平面几何的有关性质，严格按三段格按
12、三段论加以加以论证解答解答(1)两平行两平行线与第三条直与第三条直线相交，内相交，内错角相等角相等(大前提大前提)，BCA与与CAD是平行是平行线AD，BC被被AC所截内所截内错角角(小小前提前提)，所以，所以BCACAD(结论)(2)等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等(大前提大前提)，CAD是等腰三角形，是等腰三角形，DADC(小前提小前提)，所以所以DCACAD(结论)(3)等于同一个量的两个量相等等于同一个量的两个量相等(大前提大前提)，BCA与与DCA都等于都等于CAD(小前提小前提)，所以所以BCADCA，所以，所以CA平分平分BCD(结论)(4)同理同理BD平分平分CBA.规
13、律总结第第6868讲讲 规律总结规律总结1归纳推理推理归纳推理的推理的难点是由部分点是由部分结果得到一般果得到一般结论，破解的，破解的方法是充分考方法是充分考虑这部分部分结果提供的信息，从中果提供的信息，从中发现一般一般规律，解律，解题的一般步的一般步骤是：是：(1)对有限的有限的资料料进行行观察、分析、察、分析、归纳整理；整理；(2)提出提出带有有规律性的律性的结论，即猜想；，即猜想；(3)检验猜想猜想第第6868讲讲 规律总结规律总结2类比推理比推理(1)类比推理的比推理的难点是点是发现两两类对象的相似特征，由其象的相似特征，由其中一中一类对象的特征得出另一象的特征得出另一类对象的特征，破
14、解的方法是象的特征，破解的方法是利用已利用已经掌握的数学知掌握的数学知识，分析两，分析两类对象之象之间的关系，通的关系，通过两两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征，其象的已知的相似特征得出所需要的相似特征，其一般的步一般的步骤是：是：(1)找出两找出两类对象之象之间可以确切表达的相似性可以确切表达的相似性(或一致性或一致性)；(2)用一用一类对象的性象的性质去推断另一去推断另一类对象的性象的性质，从而得到，从而得到一个猜想；一个猜想；(3)验证猜想猜想第第6868讲讲 规律总结规律总结3合情推理与演合情推理与演绎推理的区推理的区别(1)归纳推理是由特殊到一般的推理；推理是由特殊到一般的
15、推理；(2)类比推理是由特殊到特殊的推理；比推理是由特殊到特殊的推理；(3)演演绎推理是由一般到特殊的推理推理是由一般到特殊的推理从推理的从推理的结论来看，合情推理的来看，合情推理的结论不一定正确，有不一定正确，有待待证明；演明；演绎推理得到的推理得到的结论一定正确演一定正确演绎推理是推理是证明明数学数学结论、建立数学体系的重要思、建立数学体系的重要思维过程，是程，是证明数学明数学问题的基本推理形式的基本推理形式第第6969讲讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明第第6969讲直接证明与间接证明讲直接证明与间接证明知识梳理 1 1直接证明直接证明直接从原命直接从原命题的条件逐步推得的条件逐步
16、推得结论成立，成立，这种种证明方法明方法叫直接叫直接证明直接明直接证明有两种基本方法明有两种基本方法分析法和分析法和综合法合法(1)综合法：是由原因推合法：是由原因推导到到结果的果的证明方法，它是利用明方法，它是利用已知条件和某些数学定已知条件和某些数学定义、公理、定理等，、公理、定理等，经过一系列的一系列的_，最后推，最后推导出所要出所要证明的明的结论_的的证明方法明方法用用P表示已知条件、已有的定表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，、公理、定理等，Q表示表示所要所要证明的明的结论，则综合法可用框合法可用框图表示表示为第第6969讲讲 知识梳理知识梳理推理论证推理论证 成立成立 (2)分
17、析法：是从分析法：是从_出出发，逐步，逐步寻求推求推证过程中，使每一步程中，使每一步结论成立的成立的_，直到最后把要，直到最后把要证明明的的结论归结为判定一个明判定一个明显成立的条件成立的条件(已知条件、定已知条件、定义、公、公理、定理等理、定理等)为止的止的证明方法明方法用用Q表示要表示要证明的明的结论，则分析法可用框分析法可用框图表示表示为第第6969讲讲 知识梳理知识梳理(3)综合法与分析法的合法与分析法的辩证关系：在解决关系：在解决问题时，常常用，常常用分析法分析法寻找解找解题思想方法，而用思想方法，而用综合法展合法展现解决解决问题的的过程，程，即即综合分析法合分析法要证明的结论要证明
18、的结论 充分条件充分条件 2间接证明间接证明间接接证明是不同于直接明是不同于直接证明的又一明的又一类证明方法，反明方法，反证法法是一种常用的是一种常用的间接接证明方法明方法(1)反反证法的定法的定义：一般地，假：一般地，假设原命原命题的的结论_，经过正确的推理，最后得出正确的推理，最后得出_，由此，由此说明假明假设错误，从，从而而证明了原命明了原命题成立，成立，这样的方法叫反的方法叫反证法法(2)用反用反证法法证明的一般步明的一般步骤：反反设假假设命命题的的结论不成立；不成立；归谬根据假根据假设进行推理，直到推理中行推理，直到推理中导出矛出矛盾盾为止；止；结论断言假断言假设不成立，从而肯定原命
19、不成立，从而肯定原命题的的结论成立成立第第6969讲讲 知识梳理知识梳理不成立不成立 矛盾矛盾 说明：反明：反证法的法的证明明过程可以概括程可以概括为“否定否定推理推理否定否定”，即从否定，即从否定结论开始，开始，经过正确的推理，正确的推理，导致致逻辑矛盾，从而达到新的否定矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命即肯定原命题)的的过程用程用反反证法法证明命明命题“若若p则q”的的过程可以用下程可以用下图所示的框所示的框图表示表示第第6969讲讲 知识梳理知识梳理要点探究探究点探究点1输入、输出和赋值语句输入、输出和赋值语句 第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第69
20、69讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究 点评点评 综合法的实质是揭示出条件与结论之间的因综合法的实质是揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、果关系，为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，并合理应用已知条件进不等式左右两端的差异和联系，并合理应用已知条件进行有效的变换，这是用综合法证题的关键综合法是一行有效的变换，这是用综合法证题的关键综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法推理方法第第7070讲讲
21、要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究探究点探究点2分析法分析法 第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究 点评点评 当要证明的不等式较复杂，两端的差异难以当要证明的不等式较复杂，两端的差异难以消除或者已知条件信息太小不知如何下手时，适时运用消除或者已知条件信息太小不知如何下手时，适时运用分析法会使问题容易获得解决在用分析法证题时，要分析法会使问题容易获得解决在用分析法证题时，要正确使用连接有关步骤的关键词，如正确使用连接有关步骤的关键词，如“为了证明为了证明”、“只需证明只需证明”等分析法是步步寻求结论成立的充分条等分
22、析法是步步寻求结论成立的充分条件，有时与综合法混合使用，也叫分析综合法件，有时与综合法混合使用，也叫分析综合法第第7070讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究例例3设数列数列an是公比是公比为q的等比数列，的等比数列，Sn是它的前是它的前n项和，和，证明：数列明：数列Sn不是等比数列不是等比数列探究点探究点3反证法反证法 点评点评 否定性命题从正面突破往往比较困难，故用否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较好反证法比较好第第7070讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究探究点探究点4综合运用综合运用 第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969
23、讲讲 要点探究要点探究 点评点评 有些数学证明题，单独运用一种证明方法很有些数学证明题，单独运用一种证明方法很难或无法完成，此时要善于将多种证明方法混合使用，难或无法完成，此时要善于将多种证明方法混合使用， 常常用分析法寻找解题思路，用综合法加以证明本题常常用分析法寻找解题思路，用综合法加以证明本题通过对原不等式进行等价变形，找到了便于证明的不等通过对原不等式进行等价变形，找到了便于证明的不等式，式， 然后构造函数证明不等式，然后构造函数证明不等式， 综合运用了分析法、综合运用了分析法、综合法和构造法综合法和构造法规律总结第第6969讲讲 规律总结规律总结1综合法合法证题的一般的一般规律律用用
24、综合法合法证明命明命题时，必，必须首先找到正确的出首先找到正确的出发点，点，也就是能想到从哪里起步，我也就是能想到从哪里起步，我们一般的一般的处理方法是广泛地理方法是广泛地联想已知条件所具想已知条件所具备的各种性的各种性质，逐，逐层推推进，从而由已知，从而由已知逐逐渐引出引出结论2分析法分析法证题的一般的一般规律律分析法的思路是逆向思分析法的思路是逆向思维，用分析法，用分析法证题必必须从从结论出出发，倒着分析，倒着分析，寻找找结论成立的充分条件成立的充分条件应用分析法用分析法证明明问题时要要严格按分析法的格按分析法的语言表达，下一步是上一步言表达，下一步是上一步的充分条件的充分条件第第6969
25、讲讲 规律总结规律总结3反反证法法证题的一般的一般规律律反反证法法证题的的实质是是证明它的逆否命明它的逆否命题成立反成立反证法的主要依据是法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：中的排中律，排中律的一般形式是：或者是或者是A，或者是非，或者是非A，即在同一，即在同一讨论过程中，程中，A和非和非A有有且且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出有一个是正确的，不能有第三种情况出现第第7070讲讲 数学归纳法数学归纳法第第7070讲数学归纳法讲数学归纳法知识梳理1数学数学归纳法的概念法的概念设命命题p(n)是与正整数是与正整数n有关的命有关的命题，如果，如果满足：足：(1)n0N*，命，命题
26、p(n0)成立；成立；(2)当假当假设命命题p(k)(kN*kn0)成立成立时，可以推出命，可以推出命题p(k1)也成立也成立那么，可以断定命那么，可以断定命题p(n)对一切正整数一切正整数nn0成立成立2数学数学归纳法的适用法的适用对象象数学数学归纳法是用来法是用来证明关于与明关于与_有关命有关命题的一种的一种方法，若方法，若n0是起始是起始值，则n0是使命是使命题成立的成立的_整数整数第第7070讲讲 知识梳理知识梳理正整数正整数n 最小正最小正 3数学数学归纳法法证明的步明的步骤(1)归纳奠基：奠基：证明当明当n取第一个取第一个值_时，命，命题成立；成立；(2)归纳递推：假推：假设_时，
27、命，命题成立，成立，证明当明当nk1时命命题也成立也成立(3)归纳总结：根据：根据(1)(2)可知，当可知，当_时，命命题成立成立第第7070讲讲 知识梳理知识梳理nn0nk(kn0，kN N*)(nn0，且，且nN N*)要点探究探究点探究点1利用数学归纳法证明等式利用数学归纳法证明等式 第第7070讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究点点评用数学用数学归纳法法证明与正整数有关的一些等式明与正整数有关的一些等式时，关，关键在于在于“先看先看项”，弄清等式两，弄清等式两边的构成的构成规律，等律，等式的两式的
28、两边各有多少各有多少项，项的多少与的多少与n的取的取值是否有关，由是否有关，由nk到到nk1时等式的两等式的两边变化的化的项，然后正确写出，然后正确写出归纳证明的步明的步骤，使，使问题得以得以证明数学明数学归纳法的法的证明明过程中，要把握好两个关程中，要把握好两个关键之之处：一是：一是f(n)与与n的关系；的关系；二是二是f(k)与与f(k1)的关系的关系第第7070讲讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究探究点探究点2用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲
29、讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究探究点探究点3用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第6969讲讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究第第7070讲讲 要点探究要点探究规律总结第第7070讲讲 规律总结规律总结用数学用数学归纳法法证明数学命明数学命题时，首先要明确首取，首先要明确首取值n0并并验证真假真假(必不可少必不可少)，然后，然后“假假设nk时命命题正确正确”并写出命并写出命题形式，再分析形式，再分析“nk1时”命命题是什么，并找出与是什么，并找出与“nk”时命命题形式的差形式的差别，找准，找准变形目形目标掌握掌握变形的常用方法：形的常用方法：因式分解、添拆因式分解、添拆项、配方、放、配方、放缩等用数学等用数学归纳法法证题可明可明确确为“两个步两个步骤、一个、一个结论”，即，即递推基推基础不可少，不可少，归纳假假设要用到，要用到，结论写明莫忘掉写明莫忘掉全品高考网全品高考网/ /全品图书（页面右上角）全品图书（页面右上角） http:/
