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1、文数课标版第一节数系的扩充与复数的引入教材研读教材研读1.复数的有关概念复数的有关概念(1)形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.复数通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a与b都是实数,a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,它是实数;当b0时,叫做虚数;当a=0且b0时,叫做纯虚数.(2)复数的相等如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且b=0.2.复数的几何意义复数的几何意义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚
2、数;各象限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.3.共轭复数的概念共轭复数的概念当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数用表示,即若z=a+bi(a,bR),则=a-bi.4.复数的模(1)定义:复数z=a+bi(a,bR)对应的向量的模叫做z的模,记作|z|或|a+bi|,|z|=|a+bi|=.(2)性质:|z1z2|=|z1|z2|,=,|zn|=|z|n,|=|z|.5.复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(a+bi)(c+di)=(ac)
3、+(bd)i(a,b,c,dR).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)复数的加减法的几何意义a.复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量分别为、,设=+,则复数z1+z2是向量所对应的复数.b.复数减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量分别为,则复数z1-z2是向量所对应的复数.6.复数的乘法与除法复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).(1)复数的乘法z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交换律:z1z2=
4、z2z1;结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)复数的除法(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).7.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*.判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)复数z=a+bi(a,bR)中,虚部为bi.()(2)复数可以比较大小.()(3)两个复数的积与商一定是虚数.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.()(5)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数.()1.(2016四川,1,5分)设
5、i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案答案C(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.(2016山东,2,5分)若复数z=,其中i为虚数单位,则=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案答案Bz=1+i,=1-i,故选B.3.如果复数是纯虚数,那么实数m等于()A.-1B.0C.0或1D.0或-1答案答案D=,由题意得解得m=0或-1.故选D.4.已知复数z=,则i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案Bz=,=+,i=-+i.实部为-,虚部为,在复平面内对应的点为,在第二象限,故选B.5.设复数
6、=a+bi(a,bR),则a+b=.答案答案1解析解析依题意有=-+i=a+bi,所以a=-,b=,则a+b=-+=1.考点一复数的有关概念考点一复数的有关概念典例典例1(1)(2016安徽安庆二模)设i是虚数单位,如果复数的实部与虚部相等,那么实数a的值为()A.B.-C.3D.-3(2)(2016安徽江南十校3月联考)若复数z满足z(1-i)=|1-i|+i,则z的实部为()A.B.-1C.1D.(3)(2016辽宁沈阳二中一模)设i是虚数单位,若复数a-(aR)是纯虚数,则实数a的值为()A.-4B.-1C.4D.1考点突破考点突破A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案答案(1
7、)C(2)A(3)C(4)D解析解析(1)=,由题意知=,解得a=3.(2)由z(1-i)=|1-i|+i,得z=+i,故z的实部为,故选A.(3)因为a-=a-=(a-4)-i是纯虚数,所以a-4=0,a=4,故选C.(4)=(x-xi)=1-yi,解得x=2,y=1,故选D.(4)(2016福建基地综合)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()方法技巧方法技巧解决复数有关概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应的点位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组,解之即可.(2)解题时一
8、定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.1-1若a+bi=(i是虚数单位,a,bR),则ab=()A.-2B.-1C.1D.2答案答案Aa+bi=1-2i,所以a=1,b=-2,则ab=-2.1-2设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1-z)|=()A.B.2C.D.1答案答案A解法一:z=-1-i,=-1+i,(1-z)=(2+i)(-1+i)=-3+i,|-3+i|=,|(1-z)|=.故选A.解法二:|(1-z)|=|1-z|=|2+i|z|=.故选A.考点二复数的几何意义考点二复数的几何意义典例典例2(1)(2016河北唐山模拟)复数z=+
9、3i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i(3)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则|z1+z2|=()A.2B.3C.2D.3答案答案(1)A(2)C(3)A解析解析(1)z=+3i=+3i=+3i=2-i+3i=2+2i,故z在复平面内对应的点在第一象限,故选A.(2)依题意得,复数z=i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A的坐标为(-2,1),其对应的复数为-2+i,选C.(3)由题图可知z1
10、=-2-i,z2=i,则z1+z2=-2,|z1+z2|=2.方法技巧方法技巧(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简单化.2-1如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D答案答案B设z=-a+bi(a,bR+),则z的共轭复数=-a-bi,它对应的点的坐标为(-a,-b),是第三象限的点.故选B.2-2已知复数z=1+ai(aR,i是虚数单位)在复平面上表示的点在第四象限,且z
11、=5,则a=()A.2B.-2C.D.-答案答案B易知=1-ai,则z=(1-ai)(1+ai)=1+a2=5,解得a=2,又z在复平面内表示的点在第四象限,则a=-2,故选B.2-3已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=+(,R),则+的值是.答案答案1解析解析由条件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=+得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),解得+=1.考点三复数的代数运算考点三复数的代数运算典例典例3(1)(2016安徽合肥模拟)已知z=(i为虚数单位),则复数z=()A.-1B.1C.
12、iD.-i(2)已知复数z满足z+i=(i为虚数单位),则|z|=()A.B.C.D.1(3)(2016湖南长沙模拟)已知(a+bi)(1-2i)=5(i为虚数单位,a,bR),则a+b的值为()A.-1B.1C.2D.3答案答案(1)C(2)A(3)D解析解析(1)z=i,故选C.3-1(2016课标全国,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案答案Cz=3-2i,所以=3+2i,故选C.3-2复数z=1-i,则+z=()A.+iB.-iC.+iD.-i答案答案Dz=1-i,+z=+1-i=+1-i=+1-i=-i.3-3已知复数z=,是z的共轭复数,则z=.答案答案解析解析z=-+i,z=+=.
