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1、12.2 12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定( (一一) )BCAEFABCDEF 1、 什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫能够重合的两个三角形叫 全等三角形。全等三角形。 2、 已知已知ABC DEF，找出其中相等的边与角找出其中相等的边与角AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= FABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F1.满足这六个条件可以保证满足这六个条件可以保证ABC DEF吗？吗？2.如果只满足这些条件中的一部分如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证那么能保证ABC DEF吗吗?思考：思考：1.
2、只给一条边时；只给一条边时；331.只给一个条件只给一个条件452.只给一个角时；只给一个角时；45结论结论: :只有一条边或一个角对应相等只有一条边或一个角对应相等的的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等. .两边；两边；两角。两角。一边一角；一边一角； 2.如果满足如果满足两个两个条件，你能说出有条件，你能说出有哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？如果三角形的两边分别为如果三角形的两边分别为3cm3cm，4cm 4cm 时时4cm4cm3cm3cm结论结论: :两条边对应相等的两条边对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等. .三角形的一条边为三角形的一条边为4cm,一个内角
3、为一个内角为30时时:4cm4cm3030结论结论: :一条边一个角对应相等的一条边一个角对应相等的两个两个三角形不一定全等三角形不一定全等. .45304530如果三角形的两个内角分别是如果三角形的两个内角分别是3030，4545时时结论结论: :两个角对应相等的两个角对应相等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等. .根据三角形的内角和为根据三角形的内角和为180180度，则第三角一定确定，度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等两个条件两个条件两角；两角；两边；两边；一边一角一边一角。结论：只给出一个或两个结论：只
4、给出一个或两个条件时，都不能保证所画条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。的三角形一定全等。一个条件一个条件一角；一角；一边；一边；三角三角；三边；三边；两边一角；两边一角；两角一边。两角一边。 3.如果满足如果满足三个三个条件，你能说出有条件，你能说出有哪几种可能的情况？哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为已知两个三角形的三个内角分别为3030，6060 ，9090 它们一定全等吗？它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等不一定全等三个角三个角已知两个三角形的三条边都分别为已知两个三角
5、形的三条边都分别为3cm3cm、4cm4cm、6cm 6cm 。它们一定全等吗？它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三条边三条边先先任任意意画画出出一一个个ABC，再再画画出出一一个个ABC ,使使AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把把画画好好ABC的剪下，放到的剪下，放到ABC上，他们全等吗？上，他们全等吗？画法画法: 1.画线段画线段 BC =BC;2.分别以分别以 B ， C为圆心为圆心,BA,BC为半径画弧为半径画弧,两两弧交于点弧交于点A;3. 连接线段连接线段 AB ， AC .三边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全
6、等。简写为简写为“边边边边边边”或或“SSSSSS”边边边边边边公理：公理： 注：注： 这个定理说明，只要三角形的这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具和大小就完全确定了，这也是三角形具有有稳定性稳定性的原理。的原理。证明：在证明：在ABC与与DEF中中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABCDEF（SSS）判判断断两两个个三三角角形形全全等等的的推推理理过过程程，叫叫做做证证明明三三角角形形全全等等。准备条件：证全等时要用的条件要先准备条件：证全等时要用的条件要先证好；证好；三角形全等书写三步骤
7、：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：尺规作图由三边分别相等判定三角形全等的结论，利用尺规作图作一个角等于已知角课本36页练习练习: 已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=DC， 求证求证：ABC ADCABCDACAC ( ) AB=AD ( )BC=DC ( ) ABC ADC（SSS）证明：在证明：在ABC和和ADC中中=已知已知已知已知 公共边公共边B=DB=D BAC= DACAC是BAD的角平分线的角平分线AC是BAD的角平分线的角平分线ACBD
8、证明：证明：D是是BC的中点的中点BD=CD在在ABD与与ACD中中AB=AC（已知）已知）BD=CD（已证）已证）AD=AD（公共边）公共边）ABDACD（SSS）如图如图, ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC,AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架，求证：的支架，求证： ABDACD求证：求证：B=CB=C求证：ADBCADB=ADC=90 ADBC全品P23, 9题思考：根据已知条件，能够得到那两个三角形全等？ 由三角形全等，得到哪些角对应相等？ 等量替换后发现什么？全品P24，12题猜想AB与EC位置关系证明平行 转化 证明角相等证明角相等 转化 证明三角形全等证明三角形全等
9、 转化 找三条对应相等的边全品P24，13题证明角相等 转化 证明三角形全等寻找全等的三角形，构造全等的三角形 1、边边边公理、边边边公理2、转化思想、转化思想证线段位置关系证线段位置关系（垂直、平行）（垂直、平行）角平分线角平分线求角度数、数量关系求角度数、数量关系角相等角相等证三证三角形角形全等全等找三找三条对条对应相应相等的等的边边找对应相等的边：公共边、中点或中线、通找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）共边等）作业1、配套练习册p25-272、课本P43复习巩固 3题、9题注意写清步骤全等三角形的判定
10、全等三角形的判定 （SAS）1、边边边公理、边边边公理2、转化思想、转化思想证线段位置关系证线段位置关系（垂直、平行）（垂直、平行）角平分线角平分线求角度数、数量关系求角度数、数量关系角相等角相等证三证三角形角形全等全等找三找三条对条对应相应相等的等的边边找对应相等的边：公共边、中点或中线、通找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）共边等）思考：如图，有一池塘，要测池塘两端思考：如图，有一池塘，要测池塘两端A A、B B的距的距离，可先在平地上取一个可以直接到达离，可先在平地上取一个可以直接到达A A和和B B的
11、点的点C C，连接，连接ACAC并延长到并延长到D D，使，使CD=CA.CD=CA.连接连接BCBC并延长到并延长到E E，使，使CE=CB.CE=CB.连接连接DEDE，那么量出，那么量出DEDE的长就是的长就是A A、B B的的距离距离. .为什么？为什么？分析：分析：如果能证明如果能证明ABCDEC ，就可，就可以得出以得出AB=DE.在在ABC和和DEC中，中，CA=CD ， CB=CE .ACB=DCE（对顶角）（对顶角）满足以上两个条件能否使两个三角形满足以上两个条件能否使两个三角形全等呢？全等呢？画画ABC,使使AB=3cm，AC=4cm。画法：画法：2. 在射线在射线AM上截
12、取上截取AB= 3cm3. 在射线在射线AN上截取上截取AC=4cm若再加若再加一个条件，使一个条件，使A=45，画出画出ABC1. 画画MAN= 454.连接连接BC则则ABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？角形进行比较，它们能互相重合吗？探究新知探究新知1由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？用用符号语言表达为：符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中AB=DEA=DAC=DFABCDEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的夹角对应相
13、等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。简写成简写成“边角边边角边”或或“ “SASSAS” ”探究新知探究新知2边边角边边角（角不夹在两边的中间，形成两边一对角角不夹在两边的中间，形成两边一对角 ） 做一做做一做已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形角形 3cm4cm45步骤：步骤：1 1、画一线段画一线段AB,使它等于使它等于4cm ；2 2、画画 BAM= 45 ；3 3、以以B为圆心为圆心, 3cm长为半径画弧长为半径画弧,交交AM于点于点
14、C ；4 4、连结连结CB ABCABC即为所求即为所求把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？所有的三角形都全等吗？探究新知探究新知ABMCD结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两两边及其一边所对的角相等，两 个三角形个三角形不一定不一定全等全等.ABCABD1、如图，、如图，B点在点在A点的正北方向。两车从路段点的正北方向。两车从路段AB的一的一端端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地。此时两地。此时C，D到到B的距离相等吗？为什么？的距离相等吗？为什么？BDAC
15、【证明证明】在在BAD和和BAC中，中，BA=BABAD=BACAD=AC则则BADBAC (SAS).即即BD=BC寻找对应相等的边角边寻找对应相等的边角边公共边公共边-对应边对应边垂直垂直-对应角（对应角（90）中点中点-对应边对应边2、如图，点、如图，点E、F在在BC上，上，BE=CF，AB=DC， B=C，求证：，求证： A=DADBEFC【证明证明】BF=BE+EF CE=CF+FE 而而BE=CF BF=CE在在ABF和和DCE中，中，BF=CEB=CAB=DCBADBAC (SAS)即即A=D寻找对应相等的边角边寻找对应相等的边角边相等线段同加同减相等线段同加同减-对应对应边边3
16、、如图，已知、如图，已知AB=AE,AC=AD,BAD=EAC,证明：证明：B=EABCDE证明：证明： BAD=EAC BAD+DAC=EAC+DAC 即即BAC=DAE 在在ABC与与ADE中，中，AB=AEBAC=DAEAD=ACABCAED B=E寻找相等的角寻找相等的角相等的两个角同加或同减，相等的两个角同加或同减，得到相等的对应角得到相等的对应角4、如图，、如图，AB平分平分DAC，要用，要用SAS条件确定条件确定ABCADB,还需要有什么条件？还需要有什么条件？ABCDAC=AD寻找相等的对应角寻找相等的对应角角平分线角平分线寻找相等的对应边寻找相等的对应边公共边公共边全品全品P
17、25 8题、题、9题题证明线段相等证明线段相等-先证明三角形全等（先证明三角形全等（SAS)寻找相等的对应角寻找相等的对应角根据平行线的性质根据平行线的性质（内错角相等、同位角相等）（内错角相等、同位角相等）直角三角形（直角）直角三角形（直角）1、边边边公理、边角边公理、边边边公理、边角边公理夹角夹角2、转化思想、转化思想证线段位置关系证线段位置关系（垂直、平行）（垂直、平行）角平分线角平分线求角度数、数量关系求角度数、数量关系角相等角相等证三角证三角形全等形全等SSSSAS线段相等线段相等寻找对应相等的边：寻找对应相等的边：公共边、中点或公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做中线、通
18、过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）辅助线（构造公共边等）寻找对应相等的角：寻找对应相等的角：公共角、角平分公共角、角平分线平分角、直角或垂直（线平分角、直角或垂直（90）、平行）、平行线性质、通过计算（同加或同减）线性质、通过计算（同加或同减）1.什么是全等三角形？什么是全等三角形？2.判定两个三角形全等方法有哪些判定两个三角形全等方法有哪些? 复习复习 三边对应相等的两个三角形全等。边边边：边角边： 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。1.什么样的图形是全等三角形？什么样的图形是全等三角形？2.判定两个三角形全等要具备什么判定两个三角形全等要具备什么条件条件? 边边边边边边
19、：三：三边边对应相等的两个对应相等的两个 三角形全等。三角形全等。边角边边角边：有有两边两边和它们和它们夹角夹角对应对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等复习引入复习引入 一张教学用的三角形硬纸板不小心一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复三角形同样大小的新教具？能恢复三角形的原貌吗？的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？创设情景CBEAD 先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画一个，再画一个A/B/C/，使，使A/B/=AB， A/ = A， B/ = B (即使两角和它们的夹边对应即使两角和它们的夹边对应
20、相等相等)。把画好的。把画好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它们全等吗？上，它们全等吗？探究1B BA AC C画法：画法：2、在、在 A/B/的同旁画的同旁画DA/ B/ = A ， EB/A/ = B， A/ D，B/E交于点交于点C/。1、画画A/B/AB；通过实验你发现了什么规律？通过实验你发现了什么规律？ACBABCED 有有两角两角和它们和它们夹边夹边对应相等的两个三对应相等的两个三角形全等角形全等(简写成简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。探究反映的规律是：角边角判定定理角边角判定定理 A= D （已知已知 ） AB=DE（已知已知 ）B= E（已知已知 ）在
21、在ABC和和DEF中中 ABCDEF（ASA）符号语言表示符号语言表示AB CDEF在在ABC和和DEF中，中，A= D，B= E ，BC=EF，ABC与与DEF全等吗？能利用角边角全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？条件证明你的结论吗？探究探究2ABCDEF 有两角和它们中的一边对应相等的两个三有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等角形全等(简写成简写成“角角边角角边”或或“AAS”）。）。 A= D （已知已知） B= E（已知已知 ） BC=EF（已知已知 ）在在ABC和和DEF中中 ABCDEF（AAS）AB CDEF符号语言：例题讲解：例题讲解：例例1.已知：点已知：点D在
22、在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 点点O，AB=AC，B= C。 求证：求证：BD=CE 证明证明 ：在：在ADC和和AEB中中 A= A（公共角）（公共角）AC=AB（已知）（已知）C= B（已知）（已知）ADCAEB（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已知）（已知） AB-AD=AC-AE即即BD=CE（等式性质）（等式性质）B1、准备条件：证全等时要用的条件要先、准备条件：证全等时要用的条件要先证好；证好；2、三角形全等书写三步骤：、三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用
23、大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：课本P41, 1题、2题3、利用全等三角形的性质得到结论、利用全等三角形的性质得到结论寻找对应相等的边：寻找对应相等的边：公共边、中点或公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）辅助线（构造公共边等）寻找对应相等的角：寻找对应相等的角：公共角、角平分公共角、角平分线平分角、直角或垂直（线平分角、直角或垂直（90）、平行）、平行线性质、通过计算（同加或同减）线性质、通过计算（同加或同减） 同角的余角相等同角的余角相等1.你能总结出我们学过哪些判定
24、三角形你能总结出我们学过哪些判定三角形 全等的方法吗？全等的方法吗？2.要根据题意选择适当的方法。要根据题意选择适当的方法。3.证明线段或角相等，就是证明它们所证明线段或角相等，就是证明它们所 在的两个三角形全等。在的两个三角形全等。布置作业布置作业练习册练习册P P4444 4 4、 6 6 配套练习册配套练习册P P31-3331-33如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. .（1 1
25、）你能帮他想个办法吗？）你能帮他想个办法吗？方法一：方法一：测量斜边和一个对应的锐角测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或或(AAS)如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. . 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形
26、没有被工作人员测量了每个三角形没有被遮住的遮住的直角边直角边和和斜边斜边，发现它们，发现它们分别对分别对应相等应相等，于是他就肯定，于是他就肯定“两个直角三角两个直角三角形是全等的形是全等的”. .你相信他的结论吗？你相信他的结论吗？按照下面的步骤做一做：按照下面的步骤做一做： 作作MCN= =90;CMN 在射线在射线CM上截取线段上截取线段CB=3cm;CMNB 以以B为圆心为圆心,4cm为半径画弧，交为半径画弧，交射线射线CN于点于点A;CMNBA 连接连接AB.CMNBA画一个画一个Rt ABC，C=90，一直角边，一直角边BC=3cm,斜边斜边AB=4cm直角三角形全等的判定直角三角
27、形全等的判定 斜边斜边和和一条直角边一条直角边对应相等的两个直角对应相等的两个直角三角形全等三角形全等. 简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”.在使用在使用“HL”时时,同学们应同学们应注意注意！(1)“HL”是是仅仅适用于直角三角形的特殊方法适用于直角三角形的特殊方法.(2)注意注意对应对应相等相等.因为因为”HL”仅适用直角三角形仅适用直角三角形, 书写格式应为书写格式应为:(1)(1) 在在Rt ABC 和和Rt DEF中中 AB =DE AC=DF Rt ABCRt DEF (HL)ABCDEF判断直角三角判断直角三角形全等条件形全等条件三边对应相等三边对应相等 SSS
28、一锐角和它的邻边对应相等一锐角和它的邻边对应相等 ASA一锐角和它的对边对应相等一锐角和它的对边对应相等 AAS两直角边对应相等两直角边对应相等 SAS斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等 HL 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法角三角形特有的判定方法“HL”. 我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三角形全等的方法.想一想想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等你能够用几种方法说明两个直角
29、三角形全等？ (1) _, A= D ( ASA ) (2) AC=DF,_ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( ) (4) AC=DF, _ ( HL ) (5) A= D, BC=EF ( ) (6) _,AC=DF ( AAS ) BCAEFD把下列说明把下列说明Rt ABC Rt DEF的条件或根据补充完整的条件或根据补充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAAS B= E如图，ACBC,BDAD,垂足分别为C，D，AC=BD，求证BC=AD.DCAB2. 2. 如图，如图，AC=ADAC=AD，C C，D D是直角，将上述条是直角，将上述条件标注在图中，你能说明件标注
30、在图中，你能说明BCBC与与BDBD相等吗？相等吗？CDAB解：在解：在Rt ACB和和Rt ADB中中,则则 AB=AB, AC=AD. Rt ACB Rt ADB (HL). BC=BD(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等). 3. 3. 如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD 因为因为ADB= ADC=90 AB=AC AD=AD所以所以RtABDRtACD(RtABDRtACD(HLHL) )所以所以BD=CD小结： 这节课你有什么收获呢？与这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流你的同伴进行交流
