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1、13.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性一、多元函数的概念一、多元函数的概念点集点集 E -定义域，定义域，x、y -自变量自变量，u -因变因变量量.- 值域值域.定义定义:113.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.(x,y)213.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性例例1与一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .函数函数z=f(x,y)的定义域可以表示为的定义域可以表示
2、为:或或313.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性例例2:2: 求求 的定义域的定义域解解:所求定义域为所求定义域为要使函数有定义要使函数有定义,必须必须24413.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性一元函数的极限一元函数的极限. .设设当当 x 不论是从不论是从 x0的左边的左边还还是是从从x0的的右右边边无无限限接接近近于于x0时时, 对对应应的的函函数数值无限接近于数值无限接近于数 A.表示表示如图如图xyA0y = f (x)x0x x0就是就是 0, 0.当当0|x x0| 时时, 有有|f (x) A | .二、二元函数的极限二、二元函数的极限513
3、.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性定义：定义：(点点函函数数)(等等价价叙叙述述)613.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性说明：说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似713.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性例例3 3 求极限求极限 解解其中其中813.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性证明证明例例4 4 证明证明 不存在不存在 取取其值随其值随k的不同而变化，而非确定的常数的不同而变化，而非确定的常数,故极限不存在故极
4、限不存在913.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：1013.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性即即f（M）在）在 极限值等于函极限值等于函数值。数值。1113.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性解解取取当当 时时故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性1213.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，
5、的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续1313.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性注注: :例例1413.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性（1）有界性定理）有界性定理（2）一致连续性定理）一致连续性定理四、有界闭区域上连续函数的性质四、有界闭区域上连续函数的性质1513.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性（3）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理1613.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性（4）零点存在定理）零点存在定理 1713.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性多元初等
6、函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函由多元多项式及基本初等函数经过数经过 有限次的四则运算和复合步骤所构有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域1813.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性例例解解1913.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性五、二重极限和二次极限五、二重极限和二次极限定义定义: :二次极限有两个二次极限
7、有两个: :二重极限二重极限: :2013.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。例例8解解二重极限和二次极限的关系二重极限和二次极限的关系2113.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性(2)两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。例例9因为因为两个两个二次极限二次极限都存在但不相等。都存在但不相等。解解所以，所以，二重极限二重极限必不存在必不存在。2213.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性(3)两个二次极限
8、存在且相等两个二次极限存在且相等,但二重极限但二重极限 仍可能不存在。仍可能不存在。例例10注：注： 二次极限存在与否和二重极限存在与二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的联系否，二者之间没有一定的联系.解解2313.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性定理定理2413.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性定理说明定理说明:(1)若二重极限和某一个二次极限都存在若二重极限和某一个二次极限都存在, 则二者一定相等则二者一定相等.(2)因此因此,若两个二次极限存在但不相等若两个二次极限存在但不相等, 则二重极限一定则二重极限一定不存在不存在.(3)若两个二次存在并相等若两个二次存在并相等,即即则二次极限可以则二次极限可以交换求极限的顺序交换求极限的顺序.2513.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性证明证明:2613.2. 多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性(请同学自己写出这个定理并证明请同学自己写出这个定理并证明).作业作业: P152 1(2).(3) 2(2).(4) 5(1) 6(2)27
