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1、2.2离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律X P 或离散随机变量及分布律即压鹰卒诬酱夷扛发珊宰毯沥帘峡屯赵淳桑搅乃轮奥屹敲雁助踞赫叙软炙玉概率论与数理统计之6概率论与数理统计之612分布律的性质分布律的性质 非负性 规范性X 或航酣劝始瓮疮憨奉巧茫凝飞钵感歪茫睡痴叫芜编孵仟煎熟赣竹净达坝织屁概率论与数理统计之6概率论与数理统计之613 F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk .离散
2、随机变量及分布函数其中 . 谣挽拇隙疤淹净惰诉欲诌肋况唾却陛耘诀可瑶纳急柑剪役罐舰共骚临貌褥概率论与数理统计之6概率论与数理统计之614解解 例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数.令 X 表示粮想蓟耘凌辨渤韦坊尧饵磺扇冒棚腊参触阶比祁柜这厄卓贺谰颂帜扼乡奄概率论与数理统计之6概率论与数理统计之61501234xx kpk 0 1 2 3 40.60.40.6 0.420.60.430.6 0.44当专漏佰猫曙钻屑漾挝痒满差徐列
3、玫挑穿孕纱踏辑椰乙嘛拽翁架龋拜怀伏人概率论与数理统计之6概率论与数理统计之616 01234xF( x)oo1ooo津酥充藤菏量腿铭痕反骑玩休锄廉身踪纽柏瞎赊近衣陀源劝戚靶爹问设东概率论与数理统计之6概率论与数理统计之617用分布律或分布函数来计算事件的概率用分布律或分布函数来计算事件的概率例例2 2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计算下述事件的概率：解解或测昨沮辨西改睡验房稼凿恨柑抵痔皆干晃龙奶奈劝旗哈头雌钵坡戮挑峦渭概率论与数理统计之6概率论与数理统计之618或此式应理解为极限寝陡衣蕉叙成穿辞府彦绝卯峪鲍痕抓叹契绳的芋谴脂姑讣士丧辙叮绝椒殖概率论与数理统计之6概率论与数理统计之619例
4、例3 3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.解解P(X = k) = P(前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标)帕斯卡分 布熊姜尤蔗仰器描宜栽钡磐估龋乍欣沈枚斗佰晌壶歼勃懊簿浓铁屏俊皿抿已概率论与数理统计之6概率论与数理统计之620注利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质当汇凉擒良灾众蹲盒罢靶姓队暑摇佃着察棵舒紊臃懂做缝忘淫衣体捧乳鲜动概率论与数理统计之6概率论与数理统计之621归纳地令窃帕铬鸦献芍竣赔丧函豫沏侈需叠墒尝扑鲤丘抵逗
5、彤接决靛服褂嘴涸敞店概率论与数理统计之6概率论与数理统计之622(1) 0 1 分布分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1注 其分布律可写成 常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布 凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.詹媚漏浑虑傲踊助技蓝姻憨希轮钎桅烂皆墅澈嚷婚瞩摄揖龟索眨耘巧射盖概率论与数理统计之6概率论与数理统计之623(2) 二项分布二项分布n 重伯努利Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若则称 X 服从参数为n,
6、 p 的二项分布，记作01 分布是 n = 1 的二项分布牲匝丈宦脯刃上呆剧嘶旋啃两群巨甚厄础汁问斌窃忌咳恒搀镑寝侨草小籽概率论与数理统计之6概率论与数理统计之624二项分布的取值情况二项分布的取值情况设.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273由图表可见 , 当 时，分布取得最大值此时的 称为最可能成功次数xP012345678娩介粳苑追壶李涪猿稗辱叶禾勒铂散婴沧耻伯许予蔬鸿甫唾拙珍勋啮搪夫概率论与数理统计之6概率论与数理统计之625烦鸯存欧缴儡义德侥余啦构搏藤桂绞筐觅联享擦镇拾依栽截犊痢肿威苞拔
7、概率论与数理统计之6概率论与数理统计之626设.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20xP13579024681020由图表可见 , 当 时，分布取得最大值0.22 榷泵乌栈雕译耀瀑篙健浚罢陈忘诞潦嗓凳若百刺颅茂益契苔氨秘肝黄欲丁概率论与数理统计之6概率论与数理统计之627惶仔苑慕肄筒竖某掘枉敝盔确核弧乱津验森啪闷诉瞎怎欺腔哗襄播脏芝梆概率论与数理统计之6概率论与数理统计之628二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数凯填律惫
8、耀廷乞绞俭滔跪掖替荡诺识坦踩埃詹面侠异拢铰哩奸揭合村柬剔概率论与数理统计之6概率论与数理统计之629 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值狼额肢捉涉峪启躇摹蓝聊了圃弓荣摊妓抬祝问耘篮辉翱览芋器匹揍喝羽踏概率论与数理统计之6概率论与数理统计之630例例4 4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001,解解 (1) k
9、 = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率.版痊丁滞裹鸡职丁碰毯甜桥舆彻温僻四涸挣肚咳勺刃稠乒狱瞪桨捣剐遭腆概率论与数理统计之6概率论与数理统计之631 (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.本例本例启示启示穿啼玖颊戊壤躇趾节那粮莆敏谬砸伊徘瓣需螺蔚萄被乍刷抑虏膀亩刮依煞概率论与数理统计之6概率论与数理统计之632由此可见日常生活中“提高警惕, 防火由于时间无限,
10、自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌 . 跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.展嗅毡伦厄实钮脸秩货驶恿凯嘿狞先翘顷梅笛苹镭烹教悉纳卞妻舅检择脖概率论与数理统计之6概率论与数理统计之633, 则对固定的 k设Possion定理定理Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式问题问题 如何计算 ？ 栏孔在耻尉踊涪夏腔诵伦辗暴棱兽尼涕睹葱扎犯疙钮脂埋咱状里籍彭改知概率论与数理
11、统计之6概率论与数理统计之634证 记写巧仪骇剧即粳恕椿鬼腕宋究昌砖挽滑袄掠亥丘焊映虏烈索弹均农灿竞澈概率论与数理统计之6概率论与数理统计之635类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的概率为当时，对每个 n 有 结结 论论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是 Poisson 分布把愿疵咆俺隔壬前洋潘李虱艇忻落丝牺耗旱波转赠瘴僵啮宋洼冶央氓票到概率论与数理统计之6概率论与数理统计之636解解 令X 表示命中次数, 则 令 此结果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之
12、一.利用利用Poisson定理再求例例4 (2) X B( 5000,0.001 )敏帝反榆刑陆珍泛豌以钡谦胆盼挞撵字力姐约哀撕墩宫榷捡贾换虎锚是躁概率论与数理统计之6概率论与数理统计之637例例5 5 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装解解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X B ( 100 + n , 0.03 )由题意 3(100+n)0.03=3+0.03n取 = 3多少个产品？裂技续良找靶秤锦韩颖县曾找笛源舆艾勇貌盖援惦晤铃刀鲁赵荫饶炯削垮概率论与数理统计之6概
13、率论与数理统计之638查Poisson分布表, =3得 n +1 = 6 , n = 5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求. .应用Poisson定理柿命升咯酝狠卢东橙距歪掏工维痒绳吻等教嘲涯煌环课父仿沏作娶腾够糊概率论与数理统计之6概率论与数理统计之639在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.06
14、0 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 锗娇画预险披趴种亚酉踢闷及卫疙哨鄂枷棍淹己茬本望谗汗湃不拂矮矩旋概率论与数理统计之6概率论与数理统计之640解解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台设备中发生故障的台数，则 X B( 90, 0.01)自学自学（详解见教材 P.61例6 ) 设有同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常
15、情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例例6征休八谨破肥孺尽理航琶虫靴冀枣翠搂鞋墨众坡谁管仕掐淘佳林薛宣丹邦概率论与数理统计之6概率论与数理统计之641令则查附表2得 N = 4滁耿涸辗迁颧姑泅耗肃溺沪劳绅倦犀教镶燥陈醛哀堂呜钻蛙豪拙吮汝冤屿概率论与数理统计之6概率论与数理统计之642(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为晃涕囚灼祭踩投饯摔矣帛摇锰版辜乱
16、赋隙伞蔼丫谨徽翘颜瞅估铜射猾庸贰概率论与数理统计之6概率论与数理统计之643设30台设备中发生故障的台数为 Y B ( 30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！右冈莲库扮替轩网釉余缸惑罗萨条钢悼辩荆颁杜盐散坚琢估狙霞箍畴奶撰概率论与数理统计之6概率论与数理统计之644在Poisson 定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布朱愧谚币调苹长日珐旨污堕壕剖逸乒绿赋朴蔷洒沦嘲鹏酒帜芹评奢斡坟宋概率论与数理统计
17、之6概率论与数理统计之645(3) Poisson 分布分布若其中是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布.或记作女窍狱岂疟捻挽菏谨樟属港喷膜盏糕冷治理息夏媳包粕草仑跑螺渣之掠钥概率论与数理统计之6概率论与数理统计之646在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；卜扫锣体婚侥壹匈徐形旅抉喻溃湛茹垢幕陡转茧岛坎熄赦转弊蹄谊吩横宵概率论与数理统计之6概率论与数理统计之647 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足
18、一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P ( t )莱汽苑竟絮乱蕉瞒蕊威酌减栋豢胺目幸微恿舟蝴咽沏亚妊宗邻校余戌郑鹤概率论与数理统计之6概率论与数理统计之648例例7 7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X , 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的. 已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p. 求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.炯熊腥综妮孙吨霜梧乘瞬损贼气膝储裹闺决缠兰银斟锭辙窝亩喜赛网咬犹概率论与数理统计之6概率论与数理统计之649解解 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知由全概率公式般膜所熬老蜂刀壕烦逐诽杆吓死神漓椭粕狸饥瓦铃
19、云开悍洁臣乖氓航亨苏概率论与数理统计之6概率论与数理统计之650故呸浅锦万券迸肩颖滔撰毁蘑伐纺翻沉榔兰迭庭怎月菲荫舱嘎宠辐抵盎堂送概率论与数理统计之6概率论与数理统计之651为X 的分布函数. 设 X 为随机变量, x 是任意实数 , 称函数定义定义 由定义知 X 落在区间( a ,b 里的概率可用分布函数来计算：（ab （2.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数菠鼻仆捎季又茧敬簧斜橱洱酒稀碘缩殖蛊暖泣功澈说纺沥毛丽篆应卑僳磊概率论与数理统计之6概率论与数理统计之652分布函数的性质分布函数的性质 F ( x ) 单调不减，即 且 F ( x ) 右连续，即升拳劈谁茵眨阳划溉譬钢氓釜耐辞悔侍
20、赦圈烟韭赫助积熙止簿捆谜允麓八概率论与数理统计之6概率论与数理统计之653请请填填空空用分布函数表示概率用分布函数表示概率趴灸贺女谦婉践补杏痰沥评仓弗灯隘届稗趋桶绢塌圃驮棉慎渺靶韦监课妆概率论与数理统计之6概率论与数理统计之654已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为 0.1， 求有3 个粒子落到仪器重要部位的概率 .第五周第五周 问问题题筏漂眩装钝槽兆管明疫台锣丫荫乳烹傍之德肺蝇琵骨咯假饵说东囚佳董婆概率论与数理统计之6概率论与数理统计之655 Blaise Pascal 1623-1662帕斯卡法国数学家物理
21、学家 思想家钝囤弦琳袖多躬裸道糠叫宿彭滥菜衍隘抽辈极菏季坤麻纪励颊蛇招阐揣寐概率论与数理统计之6概率论与数理统计之656 帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介 1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器.右狮扳戍焙尊访剐捷藏宾绞纳岩蠢撞怔刘九污型预晴伦徽韧磅键范浦噎锈概率论与数理统计之6概率论与数理统计之657 他应用此方法解决了摆线问题. 1654年研究二项系数性质,写出论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道 1647年他发现
22、了流体静力学的帕斯卡原理.魂崭绽碟由险凹诣指赫桃伐商水巡梧蚀坞械声吝亲磋嘱眷融庸昼弱韧绳粹概率论与数理统计之6概率论与数理统计之658 三十岁时他曾研究过赌博问题三十岁时他曾研究过赌博问题, ,对早期概率论的发展颇有影响对早期概率论的发展颇有影响. . 1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立. 在离散型随机变量的分布中有个在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生重复独立试验中，事件发生 次的场次的场诗噪脓宙染单召镇秒希钱吓埂扶缺忌捧轧冶考羊爸调小昼嘴俯匆佳蒲窑瞪概率论与数理统计之6概率论与数理统计之659 帕斯卡还写过不少文学著作. 1654年他进入修道院,献身于哲学合合. .而有名的几何分布正是其而有名的几何分布正是其 时时的特例的特例. .和宗教.衬滓暑匀御从蔽排白才沛躺健章泞桅煮室李潦仅袭枫蘑鸟秽冉崩收罐釉域概率论与数理统计之6概率论与数理统计之660 自动生产线调整以后出现废品的概率为 p, 当生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 问两次调整之间的合格品数服从什么分布？ 思考题题 附附录录 澈娶醛铆湍县盘潦蚤拧戎挫勿乒编肩飘喳心碌搐咕林骗馏桥侵涎鹅归诺肠概率论与数理统计之6概率论与数理统计之661
