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1、定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用(1)(1)问题的提出问题的提出小结小结 思考题思考题第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法第六章第六章 定积分的应用定积分的应用( (微元法微元法) )2求这两条曲线求这两条曲线及直线及直线所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应(1) 即即1. .直角坐标系中图形的面积直角坐标系中图形的面积小区间小区间9(2) 由曲线由曲线和直线和直线所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应小区间小区间10例例解解 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便解方程
2、组解方程组:交点交点面积元素面积元素法一法一选选 为积分变量为积分变量,确定积分限确定积分限,xxxd)3(2+ +- -= =xxy22- -= =)3 , 3( 0= =- - yx11法二法二 选选y为积分变量为积分变量,面积元素面积元素法三法三 将图形看成将图形看成:上方的三角形上方的三角形减去减去在在上方的曲边梯形上方的曲边梯形,再再加上加上下方的曲边梯形下方的曲边梯形:12分成若干块上面讨论过的那两种区域分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别只要分别(3)一般情况下一般情况下,由曲线围成的有界区域由曲线围成的有界区域,总可以总可以算出每块的面积再相加即可算出每块的面积再相加即可
3、.(2)(1)(1)(2)13上连续上连续, ,与直线与直线所围成的所围成的(4) 则曲线则曲线平面图形面积为平面图形面积为14例例解解 两曲线交点为两曲线交点为由于图形关于由于图形关于y轴对称轴对称,故故152. .参数方程形式下平面图形的面积参数方程形式下平面图形的面积1617解解曲线的参数方程为曲线的参数方程为由对称性由对称性,作变量代作变量代换换,例例其中其中总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积不易积分不易积分.12222的面积的面积求椭圆求椭圆= =+ +byax解解例例18面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积3. .极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图
4、形的面积由极坐标方程由极坐标方程给出的平面曲线给出的平面曲线所围成的面积所围成的面积A.和射线和射线曲曲边边扇扇形形19如何计算?20解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积例例求双纽线求双纽线所围平面图形的面积所围平面图形的面积.曲边扇形的面积：曲边扇形的面积： 21解解利用利用对称性对称性知知曲边扇形的面积：曲边扇形的面积： 22解解求交点求交点由对称性由对称性2例例所围图形与所围图形与求心形线求心形线q qcos1 - -= =rcos的公共部分的面积的公共部分的面积. .圆盘圆盘q q r23解解 利用对称性知利用对称性知所围成图形所围成图形和双纽线和双纽线求求q q2cos212= = =r.的公共部分面积的公共部分面积24思考与练习思考与练习1.2.3.解解练习练习126解解练习练习227解解练习练习328293, 5(1)(2), 8, 9, 1030结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！31
