一、可积的必要条件

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1、一、可积的必要条件一、可积的必要条件二、可积的充要条件二、可积的充要条件三三 可积条件可积条件三、可积函数类三、可积函数类2021/6/161一、一、 可积的必要条件可积的必要条件定理定理9.2 若函数若函数 在在上可积，则上可积，则在在上必定有界。上必定有界。证：（用反证法）。证：（用反证法）。在上无界，则对于的任一分割T，必存在属于T的某个小区间在上无界， 在的各个小区间上任意取定并记若2021/6/162，使得：现对任意大的正数M，由于在上无界，故存在于是有：这与在上可积相矛盾，从而定理得证。注：任何可积函数一定是有界的，但有界函数却不一定可积。2021/6/163例1 证明狄理克雷函数

2、在上有界但不可积。证证显然显然对于对于的任一分割的任一分割，由有理数和无理数在实数中，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于的稠密性，在属于的任一小区间的任一小区间当取当取全为有理数时，全为有理数时，当取当取全为无理数时，全为无理数时，2021/6/164所以无论所以无论多么小，多么小， 只要点集只要点集取法不同，取法不同，全取有理数或全取无理数，全取有理数或全取无理数，积分和有不同极限，积分和有不同极限，即即在不可积不可积二二 可积的的充要条件可积的的充要条件2021/6/1652021/6/1662021/6/167任给任给显然有显然有2021/6/168Riemann可积的第一充要条件

3、 f(x)在a,b上Riemann可积其中：xi-1 xixi-1 xi2021/6/169Riemann可积的第二充要条件f(x)在a,b上Riemann可积其中：xi-1 xi2021/6/1610Riemann可积的第三充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积注：连续函数、只注：连续函数、只有有限个间断点的有有限个间断点的有界函数和闭区间有界函数和闭区间上的单调函数上的单调函数Riemann可积可积xi-1 xi2021/6/1611三、可积函数类2021/6/16122021/6/16132021/6/16142021/6/16152021/6/16162021/6/1617 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！