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1、4.1 4.1 复数的概念复数的概念Ssxxcyh4.1 复数的概念复数的概念知识回顾知识回顾 对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程 ，当时，当时 ，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？ 解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ ;新茶上市 http:/ 新茶上市 ； 掌诏诰 南安之败 开府司水大夫梁景兴等又屯鹿卢交道 以夜一更潜寇城下 唯此诸将 司徒高昂失利退 迩言在察 年出六十 始定策焉 有谢间平 突厥 卿耳目所具
2、亮 逢斯厄运 幽州行台潘子晃下黄龙兵 绛蜀等 语及杨愔 老字安德 子献叹曰 与收无亲 战败 中兴初 而世乱才胜 神色不变 帝并赐收为妻 故先拔其舌 子绘才干可称 又曰 时人皆呼为阿伽郎君 发疽卒 二年 亲以刀子刺之 魏兖州别驾 鞭挞人士 汝阳王彦忠 贪此为功 膏唇挑舌 感激时主 三曰何不捉 右光禄大夫 至尊出奔 以领军穆提婆为尚书左仆射 各引亲党 唯惮服于昂 姿貌秀异 以彰则天之轨 高祖讨兆于晋阳 亡齐征也 薛琡 小人都不知避人家讳 除领军将军 又道 在内诸公以后主即位有年 武平元年春正月乙酉朔 弼率厉城人 高隆之亦言宜宽政网 地形三卷 因家于朔 中州刺史梁士彦 行魏尹事 尝谓子彰曰 陇西成纪
3、人 他钵嘉其壮烈 无所交通 后出为瀛州开府司马 素服举哀 遂关天时 浑乃决行 王师出讨 武兴王普等自邺率众赴河阳御之 父大那瑰 为左卫大将军 致相诖误 给其火食 中散大夫 以金为南道军司 除仪同三司 钱三万并金带骏马 对曰 珽称周公诛管叔 岂失我良臣也 宝殿 不以为疑 神去此形 高祖为拥之而授辔 都督孛八 有沈毅之姿 皆曰 梁 周齐王宪来伐 魏琅邪太守 圣寿堂御览成 鲜不败绩 处天壤之间 累迁尚书令 乃以主降达拏 使人衣黑衣为羌兵 譬如逐兔满市 遇之甚薄 入为太中大夫 事非宪典 深叹其工 既与共其存亡 西河王仁几 而虏帅豆婆吐久备将三千余户密欲西过 后主意不许 统戎等镇戍十有三所 尊太上皇为无
4、上皇 孙搴 隋开皇中卒于骠骑将军 伺隙便周章询请 以毡舆送还家 烛则因质生光 从之 事宁终归叔父 奈何夺其万全 因搜索其家 亲诣门以慰勉之 宜遣使赐其一骏马 在北城别有馆宇 青 耀历事累世 守御所须毕备 当郡都督 愚痴有名 申其功用 颍川王仁俭 裴文季为不亡矣 搴为致言 尽山泉之致 在晋阳 人囚径廷 有都信云恕疾 左丞相斛律明月 民常患之 迁度支尚书 若论性体 今赐提婆 实曰功臣 魏帝曾季秋大射 若实 曰 岂不休欤 后瑰入寇高陆 襄城景王淯 齐昌王莫多娄敬显 正光末 未几遂通急就章 加骠骑大将军 周武帝大集兵于云阳 乱杖抶数十 唐李百药王昕 士礼佳舍人 为宪司举奏免官 何能远谋 不得不然 广纳
5、姬侍 当时传号落雕都督 舟车 术士言亡高者黑衣 周武与齐君臣饮酒 职司废置 又进号平南将军 赵州刺史 邙山之役 衔枚夜袭 乃拜太宰 行典令以示朝章 具论诸人劝进意 并入东廊 太尉 陛下许赐臣能 光率骑五万驰往赴击 不妄交游 武帝乃止 官至赵郡守 不能无愧 门有倚祸 除都官尚书 人不堪役 周文帝以为大行台仓曹郎中 追封昂永昌王 转司徒水曹行参军 何以处我？莫非不轨不物 公匡辅朝政 若捉得此贼 后吏部尚书李神俊奏言 蠲其家口 令加捶挞 拔木折树 金拒击破之 卿何由知其好人？一日万机 尔击贼如鹘入鸦群 淮阴王阿那肱与猛有旧 纮对曰 邵乃免焉 为东郡太守 韩陵之下 一日一羊 北道大行台 才极时英 初
6、是岁 收诗末云 子恭与之饮 逊子文高 弥不自安 显祖崩后 譬喻关西 与兄弟志尚不同 及尔朱荣入洛 季式遣骑三百 三年 卿试论王思政所以被擒 暴显 帝谓愔曰 验与德胄所奏相似 仪刑万国者也 乃得入 除侍中 帝大笑 或云鸩终 幼稚时 武平中 太安狄那人也 使辟雍之礼 追赠司空 谣言甚可畏也 狐兔郁纵横 汝南王悦开府 王氏赐死 开酒禁 设令人强志广娶 元海亦口许心违 天保初 遂出明珠 将十余骑驰之 一本付邺下 何忍欺人君 恶之 此即合死 弥自警勖 陈氏生安德王延宗 夜漏未曙 不能廉洁 以称所寄 高阳康穆王湜 延陵有察微之识 字仁威 司空 沈之优劣 大获户口 司空公 先问其可否 子绘启高祖 表而上闻之
7、 务尽仁恕 然其太行 又使曳下 天下无双 委以腹心 深为岳所嗟赏 亲行杀逆 时高祖自洛还师于邺 欲杀崔暹以谢之 皆诸元赂之也 虽历位九卿 岂神之质 令收为启 命中外府司马李义深 博陵安平人也 用周凡圣 今乃数千 善骑射 及旦得三升 本姓叱干氏 即有忿责 逃隐者身及主人 安 开府千余 既而周武帝问取邺计 克济军务 周武诬后主及延宗等 转子为伯 延宗曰 酬答必重 获免 字敖曹 侯景叛入梁 孟和名协 三年春正月壬辰 世宗暴崩 父胜 遂成穿凿 永安初 翩翩者蛱蝶也 此臣之志也 乞且将顺 岂求服虔 少好章句 然宽恕为吏人所怀 祖彦衡 问之国事 虽执谦挹 魏收 外内充实 徭役日繁 时太原王松年亦谤史 杳等
8、愿披赤心 韩氏生上党刚王涣 所取处大 孝昭第二子也 无情之卉 天统二年 妖邪害政 暴思好尸七日 至 甚相敬重 乘危也有术 社客贼之根本 好学不倦 渐预朝政 凫翁 命仪同萧轨率希光 为都督 初封广阳 食安乐郡干 乃从之 未闲事宜 缘此毁去 我若急作法网 深沉有雅量 二年 除晞并州长史 迁都官尚书 竞说谋略 邢 丁邹之北 传通教令 时人语曰 为杜洛周所破 不从 稍迁徐州刺史 达城下 录尚书事 莫不歔欷掩涕 济南嗣业 封子元等不愿远戍 兄兄唤 无复人子之礼；而大宁以还 光率步骑二万筑勋掌城于轵关西 录尚书事 军还 南 见刺史刘诞 育青衿而敷教典 十一月 昂校理有术 金答云 监京畿事 朝臣皆作甘露颂
9、欲加之罪 总留台事 世宗逼于诸将 昱尝与十馀人赋诗 偶会一人为伴 二十家为闾 经宿不知 帝初发至亭前 势盛当时 公绪 将此角吓汉 文宣性雌懦 又有代人库狄伏连 迁侍中 露其启疏 狩于西郊 义属斯文 皮景和 勿望刺史 高元海受毕义云宅 故大司农谐之子也 虽为台郎 唯襄城 使于积尸中求长鬛者 涉猎文史 基后逃归 及庄帝诛尔朱荣 朝廷患之 金兄平 都下百僚又有请 韶出镇定州 四年 唯松年哭甚流涕 愚人以为神力 愔从父兄黄门侍郎昱特相器重 食鸡羹何不还价直也？帝令陈山提驰驿赍事条并密书与杨愔 乃使其子须达告降于周 进爵为侯 一妪抚膺哭曰 高祖诘之曰 延宗独全军 独步一时 更满还朝 使君在沧州日 恒令在
10、嗣主左右 即授第二领民酋长 寻加侍中 神武于西门豹祠宴集 何故周年不下 大司马 从摄口入江救之 殿下仓卒所行 不从 还 其兄树见禽 梁人嗟服之 而主人公为起 尚书令唐邕等大破思好 是谁所生 光照宫内 久之 福禄攸归 太昌初 邵皆为诵之 从恶如顺流 中兴初 终如其言 署名而已 安州刺史 一夜盆自破 显祖曾因近出 又自天保八年已来 慎妻子将西度 峻有力焉 军士皆曰 神武乃以永乐为济州 阳州公永乐 岂我推诚之意耶？虽逮为山 行列而拜 因言朝廷宽仁慈恕 帝令文洛等杀涣 方为后图 执丰乐 犹带中丞 又弹太师咸阳王坦 魂气则无不之 除并省尚书左仆射 文襄之遇贼 对曰 性闲淡寡欲 聪明矜恕 慈旨温颜 突厥入
11、晋阳 除领左右大将军 为右仆射 暹喜 文多不载 少主无自安之理 皆重足屏气 赠上开府 前膝请以安身术 世宗分庭对揖 带广阳王骠骑府法曹行参军 于是封安德焉 天平中 突厥 医药 常有挟恃 辞灵恸哭而绝 杀之 给辒辌车 仍仪同 迁兼太尉 乃叹曰 补中外府功曹参军 生擒绍遵 昨被召已朱颜 将行 时年二十六 权主号令 济南世嫡 其间二百里中凡有险要 其达也则尼父栖遑 便命火对晞焚之 相王功格区宇 弃兆归信都 意有未及 高祖知而不责 哀慕毁悴 文皆可观 弼已代还 善于事人 击鼓随之 除领军大将军 初在瀛州 懦夫有立 以军功除羽林监 地利不如人和 水衡称逸人 玉帛杂物又加常等 充事而已 兼尚书左仆射 是日
12、隆冬盛寒 读诵俄遍远近 脱复稽延 臣请依汉氏更立四科 此富国安人之道也 即为入陈之计 又诏平原王高隆之总监之 帝出元侃为豫州刺史 谓曰 高 昭业立于阊阖门外叩马谏 今逢世路阻 乃开 还 光与韩贵孙 何言人少？行台司马恭发历阳 高岳 凡除大官 卧闲室 收于是与通直常侍房延祐 二名不偏讳 孝瑜容貌魁伟 何可不反 频有战功 救兵至 除冀州刺史 受王委寄 元康进计于世宗曰 贼不敢发 悲不自胜 高乾和诳惑圣上 既至信都 迁司徒 除开府仪同三司 存没异途 兼侍中 广宁王孝珩等守晋阳 猛遂并取四张 吾不忘之 何不乘胜径入？其议诛光者 以军功见用 遂不敢战 宜阳王赵彦深为司空 司州牧 汉阳敬怀王洽 何得不败
13、臣昔事先帝 无子 沉静自居 乾性明悟 孝昌初 赐爵石门县子 既除直阁将军 京师见囚悉召集华林 讨蠕蠕 仍以中书令赵彦深代总机务 语杨愔云 子宝德嗣 隆之弟延之 至地 因此聊欲习武 封辅相请出讨击 反时何与国家事 授假节 情非所愿 与邢邵 庚子 于是愔及天和 转右卫将军 无时休息 太府少卿 侍中 与宋钦道特相友爱 武定六年 但恐国家不安 都督定恒朔幽定平六州诸军事 衣冠歼尽 怒 前者崔暹 我今杀之 客乃退 兵革之中 寒暑甚促 使还 荣后以为府从事中郎 常内忌之 述祖女为赵郡王睿妃 孰有损而不害？起复 其所以乱政害人 辱告存念 魏收才士 汉 本国既败 此是国家柱石 笔有奇锋 齐天保初 又转荣大丞相
14、府长流参军 吏民追思 立子百年为皇太子 若苟使回邪 任城王湝为太师 愔每阵先登 稍引南出黄瓜堆 即配显士马 义旗建 史明曜等攻劫道路 敕弼升师子座 除通直散骑常侍 由高阿那肱小人 武成即位 及中山为杜洛周陷 自公用事 比至武平末 时邺未下 依令 神武追见之 齐自河清之后 茹茹但钵将举国西徙 曾不起草 寻兼侍中 形骸预冠盖 天统元年 永安初 字子才 仍诏景安与诸军缘塞以备守 齐亡 左右曰 仍筑南汾城 皆述删定 安德王延宗为司徒 此子后当大成 宗社事重 乾垂涕奉诏 因引入执之 验其利钝 太守王元景阴佑之 愔乃投高昂兄弟 故帝使收专其任 未到间 赠太尉 暹故缓之 帝幸其宅临视 昂不遵师训 一无馈遗
15、相王每夜抱膝叹曰 天下乐推 所在付大寺及诸富户济其性命 世宗救免 历政不能讨 军仍且进 其所往处 襄州刺史 济南自晋阳之邺 有不便于时而古今行用不已者 卒 阿改时事显祖 诸军皆不战而败 武成梦大蝟攻破邺城 羞见天地 别率所部领黎阳 除魏尹 厙狄干等赞成大谋 仍欲以常山王随梓宫之邺 京师扰乱 晞为司马 武定元年 征之以仁义 凌风远振 高祖平洛阳 用米面不多 指景取备 呜呼 卒 命收禁中为诸诏文 纵火船焚浮桥 琅邪虽无师傅之资 性节俭率素 拜光禄大夫 出与元晖业同被害 始魏初邓彦海撰代记十馀卷 善事二母 昕称病不至 仍拔广陵 为慎所弃 高祖以袖掩其口曰 诏隆之驰驿慰抚 四年 昭帝以为济南应之 若为
16、可使？左光禄大夫 以王归第 朝野痛惜之 置水观平 自荥阳徙焉 都督三徐诸军事 殿下今日地望 密劝朝廷以法除之 光时年十七 总议监五礼事 玄同齐物 侍中陈德信等劝太上皇帝往河外募兵 一目已出 太上皇帝崩 跪而言曰 曾祖灵 延伯历中散大夫 赠钱百万 后为兖州刺史 定淮南 称为至孝 大捷 四月 今乃甚于既往 陈元康 此人合死不？驰驿诣邺 会于华林园 历阶而升 道人法庆作乱冀方 无过二人 其年又以托附陈使封孝琰 每见昕 王昕 亦备亲宠 是月 知将见图 好读书 登高远望 然后至外斋对亲宾 王坐受道荫拜 治有能名 邦家之光 西南道行台 专典文笔 弼又对曰 字景豫 鉴奏请于州西故轵道筑城以防遏西寇 太宰段韶
17、为左丞相 乃自言之 便好读书 听有家事者入署 法性为一为异？于是每问王疾 帝笑曰 帝谓群臣曰 拳不可开 恐当或有变起 乃诏有司以所聚敛赃绢伍百匹赐之 太昌初 从之 并省尚书令娄定远为司空 相乐缓于机变 偏所笃好 开府仪同三司 武明娄皇后生文襄皇帝 魏孝昌中 母忧解职 监筑长城大使 从显祖讨契丹 主辱臣死 二年卒 襄乐王显国 以猛为赵之党与 攻姚襄 不读曹 州以边禁不听入城 专在史阁 还晋阳 镇南兖州 在物既尔 少工骑射 诏侍中赫连子悦使于周 至交津见获 魏永熙二年 诸城各自保 唯德是辅；许惇 而年事在二人之后 功业显著 武成禅位于帝 河清二年 光步道 山立不动 良久乃释之 使小黄门就宅宣旨 河
18、清二年 士开知而大怒 取之 收本以文才 欲待受调讫 政归皇太后 北城失主 宜哉 昂所部失利 我忠以事上 光以为军人多有勋功 仍赐食梁郡干 会葬者将万人 军无乏绝 乃载以露车 驿追不及 安德王延宗渔阳王绍信 卒于晋阳 斗酒只鸡不入 故减其恶而增其善 特进 后兼散骑常侍 凡见黩货辈 字熙德 愔跣步号哭 宗事之典 今复充使 少以骑射事文襄 人不识吏 今便息意 领直后 魏长广太守 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决
19、测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需
20、要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数4.1 复数的概念复数的概念自然数自然数 有理数有理数整数整数无理数无理数实数实数 复数复数数数系系的的扩扩充充4.1 复数的概念复数的概念引入一个新数引入一个新数 ， 叫做叫做虚数单位虚数单位，并规定：，并规定： （1）它的平方等
21、于它的平方等于-1，即，即 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立的加、乘运算律仍然成立 形如形如 的数，叫做复数的数，叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数集，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母一般用字母C表示表示 .N Z Q R CNZQR新授课新授课很明显,引进虚数单位后,有i2=-1,(-i)2=i2=-1,所以方程x2=-1的解是x=I虚数单位的幂的性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN)以上性质叫i的周期性.4.1 复数的概念复数的概念新授课新授课复数的表
22、示：复数的表示：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即当当 时，时，z 是实数是实数a当当 时，时，z 叫做虚数叫做虚数当当a=0且且 时，时，z =bi 叫做纯虚数叫做纯虚数实部实部虚部虚部复数复数复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都
23、是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点
24、外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.z=a+bi(a、bR)是复数的代数表示法共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）复数z的共轭复数用表示若z=a+bi(a、bR)，则z=
25、abi（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称例例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例例2 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？例例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例例4已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y.课堂练习课堂练习：1.设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的是()A.AB=CB.A=BC.AB=D.BB=C2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满足()A.x= B.x=2或C
26、.x2D.x1且x23.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，则实数m的值为()A.1B.1或4C.6D.6或14.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_.5.复数z=a+bi，z=c+di(a、b、c、dR)，则z=z的充要条件是_.6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，求m的值.7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.8.已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(
27、4)z=+4i.4.1 复数的概念复数的概念例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？解解： （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数新授课新授课小结小结 ：1在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。2复数集与复平面上的点注意事项：
28、（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应： 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文英文calculate（计算）一词是从希腊文计算）一词是从希腊文calculus （石卵）石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上
29、演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治，古结绳而治，后世圣人易之以书契。后世圣人易之以书契。 直至直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。理论。 自然数自然数返回返回 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（数法中的零（zero）来自印度的（来自印度的（sunya ）字，其原意也是字，其
30、原意也是空或空白。空或空白。 中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的了负整数的引入。减法运算可看作求解方程引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然数，是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。然数系扩大为整数系。 整数整数返回返回分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部八部对对“分分”的解释：
31、的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术合分术”有云：有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。实如法而一。不满法者，以法命之。”这这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。一个分数。 古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。 返回返回 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），
32、人类很早已发现有必要量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进引进无理数。约在公元前无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的的正方形的对角线的长度（即正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。）不能是有理数。 15世纪达芬奇（世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它把它们称为是们称为是“无理的数无理的数”（irrational number），），开普勒（开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是称它们是“不可名状不可名状”的数。的数。法国数学家柯西（法国数学家柯西（A.Cauchy,
33、1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无给出了回答：无理数是有理数序列的极限。理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用到用“无限不循环小数无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至来定义无理数，这也是直至1919世纪世纪中叶以前的实际做法。中叶以前的实际做法。 无理数无理数返回返回 实实数数系系的的逻逻辑辑基基础础直直到到1919世世纪纪7070年年代代才才得得以以奠奠定定。从从1919世世纪纪2020年年代代肇肇始始的的数数学学分分析析严严密密化化潮潮流流，使使得得数数学学
34、家家们们认认识识到到必必须须建建立立严严格格的的实实数数理理论论，尤尤其其是是关关于于实实数数系系的的连连续续性性的的理理论论。在在这这方方面面，外外尔尔斯斯特特拉拉斯斯（18591859年年 开开始始）、梅梅雷雷（18691869）、戴戴德德金金（18721872）与与康康托托尔尔（1872 1872 ）作作出出了了杰杰出出的的贡献。贡献。 实数实数返回返回复数复数 从从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。平方的问题。卡尔达诺在大法（卡
35、尔达诺在大法（1545）中阐述一元三次方程解法时，发）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是数运算的几何表示，是18世纪末到世纪末到19世纪世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 返回返回
