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1、内容提要内容提要:6.1 多项式环多项式环6.2 一元多项式环一元多项式环6.3 未定元的存在性未定元的存在性6.4 多元多项式环多元多项式环6 多项式环多项式环 我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。 本节假定 是一个有单位的交换环， 是 的子环，并且包含 的单位元。比如, 为复数环(域), 为整数环.6.1 多项式环多项式环 的多项式的多项式 在 里取出一个元 来，那么 有意义，是 的一个元。 定义定义1 一个可以写成形式 的元叫做R上 的一个多项式多项式。 叫做多项式的系数系数。注1：多项式常用 表示.注2： 的多项式的表示形式不唯一(
2、举例),因此不 定义次数. 原因在什么地方?多项式环多项式环记 =所有R上的 的多项式. 我们要注意，对于 ， 所以当我们只考虑 的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一样的。因此， 的两个元相加相乘适合以下公式：这两个式子告诉我们， 对于加法和乘法来说都是闭的。进一步,所以 是一个(子)环。定义定义2 叫做R上 的多项式环多项式环.注3： 是包括R和 的最小子环。注4：上面的 的计算法正是初等代数里的多项式的计算法。6.2 一元多项式环一元多项式环 的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数 不都等于零的时候，很可能 的多项式比方说，当 的时候，取， ，那么多
3、项式 未定元 定义定义3 的一个元 叫做R的一个未定元未定元，假如在R里找不到不都等于零的元 来，使得 在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 的多项式 （简称一元多项式一元多项式）,只能用一种方法写成的形式（不计系数是零的项）。 定义定义4 令是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数次数,表示为表示为 。注6：多项式0不定义次数。注7： , 例例1 R是整数环， 是复数域, 在 上发现一些R的未定元. 例例2 ( 上可能没有R的未定元) R是整数环， 是包含所有 的整环，这时对 的每一个元 来说，都有 6.3 未定元的存在性未定元的存
4、在性 定理定理 1 给了一个有单位元的交换环R，存在一个包含R的环P, 使得在P上一定有R上的未定元 存在. 证明证明(省略省略) 我们非三步来证明这个定理。1.首先我们利用R来作一个环 。我们让 刚好包含 所有无穷序列 ，这里 ，但只有有限个 我们限定：只在 时， 我们规定一个加法：显然这是一个 的代数运算，而且 对于这个加法来说作成一个加群。这个加群的零元是 。 我们再规定一种乘法：这里 显然这也是一个 的代数运算，并且这个乘法适合交换律。 这个乘法也适合结合律：叫那么，照乘法的定义，把 计算一下，可以得到同样的结果。 这两个代数运算也适合分配律：叫 那么，由加法和乘法的定义，把 算出来，
5、显然会得到同样的结果。 这样 作成一个交换环。 在 里我们有等式（1） 由这个式子我们可以得到 这就是说 有单位元 。2. 第二步我们利用 来得到一个包含R的环P。 由等式（1），我们可以得到（2）由加法的定义，我们有（3） （2）和（3）告诉我们，全体 形式的 的元作成一个子环 ，并且是 与R间的一个同构映射。因为R同 根本没有同元，由 ，5，定理4，我们可以用R来代替 ，而得到一个包含R的环P；P也是有单位元的交换环，并且P的单位就是R的1。3. 最后我们证明P包含R上的未定元。 令 我们说，（4） 当 时，这个式子显然是对的。假定对于 ，式子是对的。那么， 但这里只有 和 等于1，其余
6、都等于零，所以除了在 这个和里有一项 以为，其余到处都是零，因此现在假定在P里。 那么在 里这样，由（4）和（1），因而 这正是说， 是R上的未定元。证完。6.4 多元多项式环多元多项式环多项式概念的推广多项式概念的推广方法1. 递推法. 我们从 里的任意取出 个元 来，那么我们可以作R上的 的多项式环 ，然后作 上的 的多项式环 。这样下去，可以得到 。这个环包括所有可以写成 (*) 方法2. 直接法 定义定义5 一个有（*）的形式的元叫做R上的 的一个多项式。 叫做多项式的系数。 表示R上的所有 的多项式, 它构成环. 我们容易看出，在 里，两个多项式相加相乘适合以下计算法：这里 同上面类
7、似，我们有无关未定元及多元多项式环无关未定元及多元多项式环 定义定义5 的 个元 叫做R上的无关未定无关未定元元，假如任何一个R上的 的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。 定理定理2 给了一个有单位元的交换环R同一个正整数 ，一定有R上的无关未定元 存在，因此也就有R上的多项式环 存在。同态与代入法同态与代入法 定理定理3 假定 和 都是有单位元的交换R上的多项式环， 是R上的无关未定元， 是R上的任意元。那么 与同态。 证明证明 我们用 来表示 的元 用 来表示 的元那么 (1) 是 到 的一个满射。因为：给了一个 的元y由于 是无关未定元，只有一种方法可以把y写成多项式 。这样，依照我们的规定，y只有一个象，就是 。另一方面，显然这个映射是一个满射。 (2) 保持运算. 由于在 或 里两个多项式的相加或相乘是适合同一规律的，以上映射是同态映射。证完。 定理3告诉我们一个重要的事实，若 的若干个元 ， 之间有一个由加法和乘法计算得来的关系存在，那么用任意n个元 去代替 这个关系仍然成立。这正是说代入的可能正是普通多项式的一个重要性质。作业作业:1,24 (i) 设设 和和 都是都是R的未定元的未定元. 那么那么,
