任意角和弧度制教学课件3

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1、任意角和弧度制1.角的概念角的概念初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几何图形何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是范围是0, 360)， 这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于“狭隘狭隘”. 生活中很多实例会不在该范围。生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体体操运动员转体720，跳水运动员向内、，跳水运动员向内、向外转体向外转体1080； 经过经过1小时，时针、分针、秒

2、针各转了多小时，时针、分针、秒针各转了多少度？少度？ 这些例子不仅不在范围这些例子不仅不在范围0, 360) ，而且，而且方向不同，有方向不同，有必要必要将角的概念将角的概念推广推广到到任意角任意角， 想想用什么办法才能推广到想想用什么办法才能推广到任意角任意角？ 关键是用关键是用运动的观点运动的观点来看待角的变化。来看待角的变化。 2角的概念的推广角的概念的推广“旋转旋转”形成角形成角 一条射线由原来的位置一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点，绕着它的端点O按按逆时针方向逆时针方向旋转旋转到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角 旋转开始时的射线旋转开始时的射线OA叫做叫做角角的的始边

3、始边，旋转终止的射线，旋转终止的射线OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端点点O叫做角叫做角的的顶点顶点“正角正角”与与“负角负角”、“0角角” 我们把我们把按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（叫做零度角（0） 角的记法：角的记法：角角或可以简记

4、成或可以简记成.角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义：用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大; 实例：体操动作：旋转实例：体操动作：旋转2周周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括角的概念推广以后，它包括任意大小的正任意大小的正角、负角和零角角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有要注意，正角和负角是表示具有相反意义相反意义的的旋转量

5、旋转量，它的正负规定纯属于，它的正负规定纯属于习惯习惯，就好象，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样象数零无正负一样用旋转来描述角，需要注意三个要素（用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋旋转中心、旋转方向和旋转量转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针逆时针和顺时针和顺时针两种，这是一对两种，这是一对意义相反的量意义相反的量，根，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解量用正负数来表示，那么许多问

6、题就可以解决了；决了；（1）旋转中心：作为角的顶点）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360 .于是就会出现于是就会出现720 ， 540等角度等角度.3“象限角象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。系中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的始边重合于，角的始边重合于x轴的正半轴轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终限，我们

7、就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第是第象限角，象限角， 300 、 60 是第是第象限角，象限角， 585 、1300 是第是第象限角，象限角， 135 、 2000 是第是第象限角等象限角等4终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390 ， 330 角，它们的终边都与角，它们的终边都与30 角的终边相同角的终边相同.探究：探究：终边相同的角都可以表示成一个终边相同的角都可以表示成一个0 到到360 的角与的角与k(kZ)个周角的和个周角的和： 390 =30 +36

8、0 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 结论：结论： 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可以构在内可以构成一个成一个集合集合：| =+k360(kZ) 即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都可终边相同的角，都可以表示成以表示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和注意以下四点：注意以下四点： kZ； 是任意角；是任意角； k360与与 之间是之间是“+”号，如号，如k36030,应应看成看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等

9、，但相等的角，终终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍.例例1. 在在0到到360范围内，找出与下列各角终边范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角与的角与120的角终边相同，的角终边相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角与的角与640的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 95012

10、=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边相同，的角终边相同， 它是第二象限角它是第二象限角例例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 2

11、36021=699(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=363142已知角的顶点与坐标系原点重合，始边已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？出它们是哪个象限的角？(1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 二、弧度制二、

12、弧度制 在初中几何里，我们学习过角的度量，在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角度的角是怎样定义是怎样定义的呢？的呢？ 周角的周角的 为为1度的角。度的角。 这种用这种用1角角作作单位单位来度量角的制度叫做来度量角的制度叫做角度制角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度他学科中常用的度量角的制度弧度制弧度制。 1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的转的过程中射线上的点点必然形成一条必然形成一条圆弧圆弧， 不同的点所

13、形成的圆不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的，弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。但都对应同一个圆心角。=定值定值， 设设=n， 弧长为弧长为l，半径，半径OA为为r，则则 ，可以看出，等式右端不含可以看出，等式右端不含半径，表示半径，表示弧长与半径的弧长与半径的比值比值跟半径无关，只与跟半径无关，只与的的大小有关。大小有关。 结论：可以用圆的半径作单位去度量角。结论：可以用圆的半径作单位去度量角。2.定义：定义：长度等于半径长的圆弧长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1弧弧度的角度的角，弧度记作，弧度记作rad。这种以弧度为单位来。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做度量

14、角的制度叫做弧度制弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或或rad可以可以略去不写略去不写。 3. 弧度制与角度制相比：弧度制与角度制相比：(1) 弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为为单位单位的度量角的单的度量角的单位制，角度制是以位制，角度制是以“度度”为单位来度量角的为单位来度量角的单位制；单位制；1弧度弧度1； （2）1弧度弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而心角的大小，而1度是圆周度是圆周 的所对的圆心的所对的圆心角的大小；角的大小； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实）弧度制是十进制，

15、它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。径无关的定值。 4.公式：公式： ， 表示的是在半径为表示的是在半径为r的圆中，弧长为的圆中，弧长为l的弧的弧所对的圆心角是所对的圆心角是rad。5. 弧度制与角度制的换算弧度制与角度制的换算 用角度制和弧度制度量角，零角既是用角度制和弧度制度量角，零角既是0角，又是角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的弧度数是不同的. 平角、周角的弧度数：平角、周角的弧度数：平角平角= rad、周角、周

16、角=2 rad. 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值: （l为弧长，为弧长，r为半径）为半径） 360 =2 rad ，180 = rad 1 =1 rad6. 用弧度制表示用弧度制表示弧长弧长及及扇形面积扇形面积公式：公式： 弧长弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积. 弧长公式：弧长公式：由公式：由公式：比公式比公式 简单简单. 扇形面积公式扇形面积公式 其中其中l是扇形弧长，是扇形弧长，R是圆的半径。是圆的半径。

17、证明：设扇形所对的圆心角为证明：设扇形所对的圆心角为n(rad)，则，则又又 R=l，所以，所以证明证明2：因为圆心角为：因为圆心角为1 rad的扇形面积是的扇形面积是而弧长为而弧长为l的扇形的圆心角的大小是的扇形的圆心角的大小是 rad.所以它的面积是所以它的面积是例例3. （1) 把把1123030化成弧度化成弧度(精确到精确到0.001)； （2）把）把11230化成弧度（用化成弧度（用表示表示）。）。解：解： （1）11230=112.5， 所以所以11230112.50.01751.969rad.(2) 11230=112.5 = .例例4. 把把 化成度。化成度。解：解：1rad=

18、 例例5. 填写下表：填写下表：角度030456090120弧度角度135150180210225240弧度角度270300315330360弧度02例例6. 扇形扇形AOB中，中， 所对的圆心角是所对的圆心角是60，半径是，半径是50米，求米，求 的长的长l（精确到（精确到0.1米）。米）。解：因为解：因为60= ,所以所以l=r= 5052.5 .答：答： 的长约为的长约为52.5米米.例例7. 在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240的中心角所对的的中心角所对的弧长为弧长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根据，根据l=

19、R，得，得（2）根据）根据S= lR= R2，且，且S=2R2.所以所以 =4.例例8.与角与角1825的终边相同，且绝对值最小的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。的角的度数是，合弧度。 解：解：1825=536025， 所以与角所以与角1825的终边相同，且绝对值的终边相同，且绝对值最小的角是最小的角是25.合合例例9. 已知一半径为已知一半径为R的扇形，它的周长等于的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长解：周长=2R=2R+l，所以，所以l=2(1)R.所以扇形的中心角是所以扇形的中心角是2(1) rad.合合( ) 扇形面积是扇形面积是