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1、第五节第五节 广义积分广义积分 一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分前面所讲的定积分称为常义积分前面所讲的定积分称为常义积分 积分区间为无穷区间积分区间为无穷区间 被积函数无界被积函数无界积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广广义积分广义积分1引例引例 曲线曲线和直线和直线及及 x 轴所围成的开口轴所围成的开口曲边梯形的面积曲边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分 2定义定义1若若存在存在,则称此则称此 极限极限 为为 f (x) 在在 a , + ) 的的
2、广义积分广义积分, 记作记作这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛;如果上述极限如果上述极限 不存在不存在, 就称广义积分就称广义积分发散发散 。类似地类似地 , 若若则定义则定义3则定义则定义只要有一个发散只要有一个发散, 就称就称发散。发散。说明说明:4引入记号引入记号则有类似于牛顿则有类似于牛顿莱布尼兹公式的计算表达式莱布尼兹公式的计算表达式:无穷区间上的广义积分的计算无穷区间上的广义积分的计算5例例1. 6例例2. 思考思考: 分析分析:原积分发散原积分发散 !注意注意: 对广义积分对广义积分, 只有在只有在 收敛的条件下收敛的条件下 才有才有“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质。的性质。7 例
3、例3. 证明广义证明广义 积分积分证明证明: 当当 p =1 时时当当 p 1 时时当当 p 1 时收敛时收敛; P 1 时发散时发散.因此因此, 当当 p 1 时时, 广义积分广义积分 收敛收敛, 其值为其值为当当 p 1 时时, 广义积分广义积分 发散发散. 8二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分( (瑕积分瑕积分) ) 引例引例所围成的所围成的与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积 可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 如果函数如果函数 f (x) 在点在点 a 的任一邻域内都的任一邻域内都 无界无界，则点则点 a 称为函数称为函数 f (
4、x) 的的 瑕点瑕点。9定义定义2 设设点点 a 为为 f (x) 的的 瑕点瑕点,存在存在,这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛; 如果上述极限如果上述极限 不存在不存在,就称广义积分就称广义积分发散发散 。类似地类似地 , 若若点点 b 为为 f (x) 的的 瑕点瑕点,若极限若极限则称此则称此 极限极限 为函数为函数 f (x) 在在 (a , b 上的上的 广义积分广义积分, 记作记作则定义则定义取取10点点 c 为为 f (x) 瑕点瑕点,则定义则定义瑕积分的计算瑕积分的计算若若a 为瑕点为瑕点, 则则若若b 为瑕点为瑕点, 则则11O ayx例例4. 计算计算解：解：x = a 为瑕点为瑕点 12解：解： 说明：如果有人这样做：说明：如果有人这样做： 结果虽然对，但方法不对。结果虽然对，但方法不对。x = 1 为瑕点。为瑕点。例如：例如：例例5.13例例6. 证明广义积分证明广义积分当当 q 1 时收敛时收敛; q 1 时发散时发散.证明证明:当当 q1 时时当当 q 1 时收敛时收敛, q 1 时发散时发散. x = a为瑕点为瑕点当当q = 1时，时，14 当同时含两类广义积分时当同时含两类广义积分时,需需 划分积分区间划分积分区间,分别讨论相应的广义积分的敛散性。分别讨论相应的广义积分的敛散性。例例7. 讨论讨论的敛散性的敛散性15
