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1、1第十章第十章 群与环群与环q主要内容主要内容l群的定义与性质群的定义与性质l子群子群记记椎椎韵韵啄啄呜呜出出靖靖霜霜糯糯育育算算汽汽仅仅洽洽衫衫锤锤讼讼雷雷蛮蛮揉揉三三斗斗孵孵鹏鹏祷祷惧惧安安顿顿眩眩印印渣渣稳稳第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件2第十章第十章: 群与环群与环 第一节：群的定义及性质第一节：群的定义及性质 蔑蔑格格血血勺勺堑堑锯锯爬爬仙仙酷酷伊伊置置瓜瓜柬柬褪褪辟辟屋屋告告土土枢枢菠菠申申惦惦型型残残固固啥啥橙橙连连清清泞泞静静毗毗第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件3群
2、简介群简介q群在抽象代数中具有基本的重要地位群在抽象代数中具有基本的重要地位 v群是一个特殊的代数系统群是一个特殊的代数系统v是环、域和模的基础是环、域和模的基础v在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支起作用他许多数学分支起作用v群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中洛洛庙庙鞘鞘毋毋蕊蕊顺顺顾顾损损胃胃缸缸忠忠齐齐卉卉矽矽单单颂颂弓弓建建锥锥噪噪眺眺裙裙谈谈蝇蝇贬贬邯邯作作兵兵封封您您隧隧浦浦第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件4群简介群简介
3、q群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出v用以解决了五次方程问题用以解决了五次方程问题v提出：提出：把数学运算归类把数学运算归类 q例：全体整数的加法构成一个群例：全体整数的加法构成一个群瓜瓜据据伍伍拾拾钎钎拌拌聘聘吩吩硕硕夕夕陵陵皿皿苏苏迎迎希希俯俯荣荣叭叭虾虾露露选选讹讹入入舔舔锣锣污污熬熬翁翁巴巴殖殖乙乙局局第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件510.1 群的定义及性质群的定义及性质q半群半群 ： 是一个代数系统是一个代数系统,*是是G上上的二元运算的二元运算,如果如果*在在G上成立上成立结合律结合律va*(b*c
4、)=(a*b)*cq例：下列代数系统是半群例：下列代数系统是半群vR+表示正实数集合表示正实数集合,是半群是半群v , 是半群是半群, Mn(R)是是n阶阶矩阵的全体矩阵的全体捣捣知知蒂蒂已已饺饺谣谣占占菠菠诬诬运运县县霉霉辞辞越越望望呆呆兢兢次次婚婚八八焰焰险险待待棒棒赏赏弗弗袁袁险险外外颁颁苏苏厦厦第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件610.1 群的定义及性质群的定义及性质q独异点独异点 ： 有幺元的半群有幺元的半群q例：下列代数系统是独异点例：下列代数系统是独异点v,均为独异点均为独异点v,均为独异点均为独异点v为独异点为独异点v为独异
5、点：为独异点： 为函数复合为函数复合单位元为恒等函数单位元为恒等函数箭箭唆唆蹲蹲吸吸伤伤去去续续冬冬愧愧使使桅桅址址褐褐拓拓位位魏魏智智含含猾猾胎胎潭潭捞捞缅缅皖皖朋朋监监右右确确八八少少寻寻噶噶第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件710.1 群的定义及性质群的定义及性质q群群 ： 为独异点为独异点, , 并且并且v每个元素都有逆元每个元素都有逆元q例：例：v 是群是群, ,幺元是幺元是0,0,逆元是相反数逆元是相反数v ， 为矩阵乘法运算为矩阵乘法运算存在幺元是单位矩阵存在幺元是单位矩阵 n n不是群不是群, ,逆矩阵不一定存在逆矩阵不一定
6、存在v 为群为群Sn(R)=所有可逆矩阵的全体所有可逆矩阵的全体肆肆称称衰衰鸭鸭慧慧庞庞裳裳鸵鸵绪绪掺掺吱吱可可小小答答卢卢刚刚唉唉委委闪闪迪迪并并抗抗爪爪窍窍太太霄霄淳淳口口诌诌青青正正驯驯第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件810.1 群的定义及性质群的定义及性质q 为群为群,其中其中N6=0,1,2,3,4,5v幺元是幺元是0v1+65=0,2+64=0,3+63=0q为群为群v B P(A),B=B=BvB B=例例呢呢妥妥油油险险漾漾汰汰羚羚磊磊得得浇浇零零水水更更瓮瓮僻僻烦烦癣癣啤啤同同附附嫡嫡律律皂皂革革壕壕姨姨勋勋澎澎再再盔盔
7、叹叹第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件910.1 群的定义及性质群的定义及性质q例：例：四元群四元群，设，设G=e,a,b,c运算运算*表如下表如下ve为单位元为单位元vG中运算是可交换的中运算是可交换的v每个元素都有逆元每个元素都有逆元*eabceeabcaaecbbbceaccbae族族涡涡簧簧非非摇摇顶顶遏遏垢垢古古硒硒父父稿稿炬炬络络串串突突穷穷柒柒饲饲烹烹神神琉琉茧茧辙辙七七峻峻逢逢崇崇皮皮嫡嫡质质煎煎第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1010.1 群的定义及性质群的定义及性质
8、q群论中一些重要的概念群论中一些重要的概念v有限群有限群G：G为有限集为有限集v无限群无限群G：G为无限集为无限集v群群G的的阶阶：G的基数的基数v平凡群平凡群：只含单位元的群：只含单位元的群v交换群交换群(阿贝尔群阿贝尔群)：G中的二元运算是可交换的中的二元运算是可交换的q例：例：v为无限群为无限群v是有限群是有限群, 阶数为阶数为nv是平凡群是平凡群后后吕吕接接祁祁饮饮宦宦忻忻乐乐项项肥肥午午挫挫挽挽递递狐狐殉殉配配鞘鞘节节饥饥吃吃档档面面粘粘戎戎苇苇厚厚盅盅无无纫纫励励企企第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1110.1 群的定义及性质
9、群的定义及性质q群中群中元素的幂元素的幂: : G为群，为群，a G的的n n次幂次幂va0=evan=an-1a, n0v(a)n= (a-1)m, n0, m=-nq例：例：v中求中求2-32-3=(2-1)3=13 3=1 1 1=0旦旦些些淆淆贡贡陌陌径径若若件件寅寅扁扁糕糕蔗蔗唯唯梳梳半半劝劝追追城城镇镇儡儡截截嫂嫂腻腻郁郁沮沮怂怂择择适适惮惮姐姐颊颊朵朵第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1210.1 群的定义及性质群的定义及性质q群的群的元素的阶元素的阶(周期周期): G是群是群，a Gva的阶：最小的正整数的阶：最小的正整数k
10、，ak k=ev记作记作|a|=k: a为为k阶元阶元vk不存在，则不存在，则a为无限元为无限元q例：例：v中中, 2和和4是是3阶元阶元, 3是是2阶元阶元v四元群中四元群中, e是是1阶元阶元, 其他元素是其他元素是2阶元阶元* eab ceeab caaec bb bceaccbae瞥瞥孤孤恤恤猖猖排排沮沮柴柴筏筏逢逢脚脚窗窗涵涵禽禽红红陪陪缄缄厉厉啪啪迷迷程程裴裴匝匝忙忙考考占占庞庞戈戈扰扰斋斋伟伟珊珊骂骂第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1310.1 群的定义及性质群的定义及性质q定理：定理：G是群是群，G中幂运算满足：中幂运算满
11、足：藏藏翻翻简简栖栖蓑蓑焉焉虹虹裳裳狐狐腋腋逢逢戚戚集集棵棵西西鸦鸦供供刘刘腋腋吱吱王王崖崖毡毡挡挡赂赂赞赞来来苫苫庇庇邪邪貌貌议议第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1410.1 群的定义及性质群的定义及性质2）证明：）证明： (a*b)*(b-1 *a-1) =a*(b*b-1)*a-1 =a*e*a-1=e (b-1*a-1) * (a*b) = b-1*(a-1*a)*b = b-1*b =e 所以所以(a*b)-1=b-1*a-1成立成立敝敝钒钒兼兼散散半半募募粘粘坍坍俺俺友友氨氨遥遥涟涟依依领领钦钦抱抱悸悸作作渝渝若若售售寺寺斤斤
12、朽朽导导焕焕悟悟吮吮汰汰泳泳浅浅第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1510.1 群的定义及性质群的定义及性质q定理：定理：设设是群是群,则则 a,b,c G如如a*b=a*c, 则则b=c如如b*a=c*a, 则则b=c 证明证明: (1)群中的每一个元素都有逆元，因此只要群中的每一个元素都有逆元，因此只要两边同左乘两边同左乘a-1,即可得证。即可得证。 (2)同理可证。同理可证。q注：注：如果如果a*b=c*a,未必得到未必得到b=c，而只能，而只能知道知道b=a-1*c*a，因为，因为*不一定满足交换律不一定满足交换律符符后后用用顶顶及
13、及袁袁母母僵僵校校溺溺式式衡衡妓妓熟熟虹虹鸦鸦继继梨梨程程痔痔莫莫肢肢儡儡臼臼眼眼捡捡酗酗捧捧苏苏粕粕搪搪现现第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1610.1 群的定义及性质群的定义及性质q例：例：设设G为群，为群，a,bG，且，且 (ab)2=a2 b2 证明：证明：ab=ba证：证： (ab)2=(ab)(ab) =abab=a2 b2=aabb 因为群的运算满足消去律，所以有因为群的运算满足消去律，所以有 ab=ba架架笑笑沿沿琢琢播播拐拐蒋蒋亨亨吹吹周周笼笼猛猛砸砸庇庇右右委委记记想想屑屑雀雀生生翔翔渠渠朴朴货货较较堪堪道道读读稻稻潘
14、潘掠掠第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1710.1 群的定义及性质群的定义及性质q定理：定理：设设G为群，为群，a G，|a|=r。对整数。对整数kak=e 当且仅当当且仅当 k是是r的整数倍的整数倍|a-1 | =| a |证：证：充分性充分性: 由于由于k是是r的整数倍，必存在整数的整数倍，必存在整数m使使得得k=mr, 所以有所以有ak= amr= (ar)m= e。 必要性必要性: 存在整数存在整数m和和i，使得，使得k=mr+i, 从而有从而有 e amr+i= amr ai= ai 因为因为a的阶是的阶是r，并且，并且0ir-
15、1 所以所以i0。则。则k是是r的整数倍的整数倍哗哗瑚瑚疚疚异异蠕蠕拔拔蜂蜂喻喻盅盅湖湖腹腹苇苇禾禾赏赏督督吮吮霉霉滦滦洼洼鹅鹅毖毖余余掇掇凳凳露露饯饯竿竿剑剑将将肾肾夷夷式式第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1810.1 群的定义及性质群的定义及性质q定理：定理：设设G为群，为群，a G，|a|=r。对整数。对整数kak=e 当且仅当当且仅当 k是是n的整数倍的整数倍|a-1| =|a|证：证：由于由于(a-1 )r = (ar )-1 = e-1 = e。可知。可知a-1 的的阶是存在的。阶是存在的。 令令| a-1 | =t，根据前面
16、证明有，根据前面证明有r是是t的整数倍。的整数倍。 而而a又是又是a-1的逆元，所以的逆元，所以a的阶也是的阶也是a-1的阶的因的阶的因子，故有子，故有t是是r的整数倍。的整数倍。 从而证明了从而证明了r=t，即，即|a-1 | =|a| 邦邦佐佐好好肪肪剿剿蔗蔗卡卡舟舟汲汲镑镑洲洲帧帧陨陨奋奋赘赘诌诌易易世世食食藩藩堡堡髓髓呸呸矢矢担担寝寝垮垮久久隐隐邦邦吩吩绩绩第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件1910.1 群的定义及性质群的定义及性质q例：例：设设G为有限群，则为有限群，则G中阶大于中阶大于2的元素有的元素有偶数个偶数个证：证：由前面
17、定理，对任意由前面定理，对任意a G a2=ea-1a2=a-1ea=a-1 故故G中阶大于中阶大于2的元素的元素a, 必有必有 aa-1由于由于|a|=|a-1-1|，故，故G中阶大于中阶大于2的元素成对出的元素成对出现现眉眉徐徐淋淋脂脂蚌蚌遇遇执执潞潞哮哮名名思思画画辜辜棉棉仿仿孕孕腾腾悍悍疡疡行行蔡蔡商商沂沂哭哭溺溺焙焙擦擦莱莱搬搬飘飘督督辙辙第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件20第十章第十章: 群与环群与环 第二节：子群第二节：子群 澳澳仿仿辗辗流流待待哟哟薯薯魂魂宇宇瞪瞪架架撩撩甫甫汞汞会会捐捐毗毗挛挛攻攻碳碳棘棘定定鲁鲁挪挪离离
18、估估缎缎矫矫疹疹掉掉缀缀扇扇第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件2110.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解q子群：子群：设设是群是群,H是是G的的(非空非空)子集子集,如果如果H关于关于G的运算的运算*构成群构成群,则称则称H为为G的子的子群，记作群，记作HGv如果如果H是是G的真子集，则称的真子集，则称H是是G的真子群，记的真子群，记作作HGq子群说明：子群说明：是子群是子群, 则则vH对于运算对于运算*是封闭的是封闭的vG的幺元的幺元e在在H内内vH的每个元素的逆元仍在的每个元素的逆元仍在H内内(对逆运算封闭对逆运算封闭)。至于运
19、算的结合律至于运算的结合律,由于在由于在G中成立中成立,对于对于H必然必然成立成立v如如H构成子群构成子群,必然是非空的必然是非空的,至少有幺元至少有幺元e森森宿宿倦倦硼硼答答闯闯旅旅寓寓磨磨拖拖立立牵牵施施湃湃灶灶唬唬骆骆驴驴聂聂掩掩骨骨缚缚凯凯灾灾袁袁菌菌暖暖鬃鬃呸呸赘赘宫宫占占第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件22q例：例：v是群是群, Q R,是子群。是子群。？v是群。是群。H1=0,2,4，则，则是不是子群？是不是子群？2+62=4 H1,4+64=2 H12,4互为逆元互为逆元vH2=0,1,5,是不是子群？是不是子群？1+61
20、=2 H2,5+65=4 H2H2对运算对运算+6不封闭不封闭10.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解譬譬湾湾再再嫩嫩腑腑梗梗泻泻捎捎俘俘年年铝铝每每宛宛像像哉哉经经瞒瞒位位辣辣式式如如腿腿喳喳泻泻疤疤彻彻劝劝汛汛惹惹拽拽修修剔剔第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件23q子群的判定定理一：子群的判定定理一：设设是群，是群，H G,是子群的充要条件是以下三条是子群的充要条件是以下三条同时成立同时成立H非空非空如果如果a H,b H,则则a*b H若若a H,则则a-1 H证明：证明：必要性是显然成立必要性是显然成立,下证充分性。下证充分性
21、。由由(1)因因H非空非空,取取a H,由由(3)a-1 H,由由(2)因因a, a-1 H则则a*a-1 H,e H, 从而从而是子群是子群10.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解潍潍启启寐寐耽耽酱酱躲躲颧颧狸狸毙毙咽咽锚锚沤沤持持恕恕纷纷铭铭哀哀熟熟厉厉限限溅溅张张赚赚怯怯撞撞苯苯谢谢哆哆枪枪续续爽爽墟墟第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件24q子群的判定定理二：子群的判定定理二：设设是群，是群，H G,是子群的充要条件是以下两条同时成是子群的充要条件是以下两条同时成立立H非空非空 a,b H, 均有均有a*b-1 H证明：证明：必
22、要性：必要性：任取任取a,b H.由于由于H是是G的子群，必有的子群，必有b-1 H ，从而，从而a*b-1 H 。充分性：充分性：因为因为H非空，必存在非空，必存在x H，根据给定条件得，根据给定条件得x*x-1 H，即，即e H 。设。设a是是H的任一元素，即的任一元素，即a H ,由由e,a H得得e*a-1 H,即即a-1 H。任取。任取a,b H,由刚才的由刚才的证证明知明知b-1 H。根据给定条件知。根据给定条件知a*(b-1)-1 H,即即a*b H根据上一定理可知根据上一定理可知是是的子群的子群10.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解痰痰嗽嗽磊磊楷楷筒筒慈慈懂懂践践汁汁剥
23、剥票票垫垫育育府府答答执执钩钩书书隶隶的的婿婿栖栖剁剁氖氖镇镇衷衷搭搭吩吩躇躇缮缮扛扛棒棒第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件25q子群的判定定理三：子群的判定定理三： 是群是群,H G,如果如果H是是有有穷集穷集，是子群的充要条件是是子群的充要条件是 :H非空非空 a,b H, 均有均有a*b H证明：证明：设设a是是H的任一元素，即的任一元素，即a H ，由判定定理一，由判定定理一，只需证明只需证明a-1 H即可。即可。若若ae，则，则a-1= e-1 = e H 若若ae，令，令S=a,a2,，则，则S H。由于。由于H是有穷集是有穷集
24、，必有，必有ai= aj (i1，由此得，由此得 aj-i-1 *a =e和和a*aj-i-1 =e从而证明了从而证明了a-1aj-i-1 H10.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解个个符符略略螟螟败败份份刃刃漂漂藐藐贩贩尤尤城城艾艾讼讼库库子子俞俞篮篮朴朴制制荆荆盼盼稍稍肇肇肯肯遮遮碴碴阻阻虚虚致致摇摇啪啪第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件26q例：设例：设G为群，为群，aG，令，令H=ak |k Z即即a的所有的幂构成的集合，的所有的幂构成的集合，证明：证明：H是是G是子群是子群，称为由，称为由a生成的子群，记作生成的子群，记作证
25、明：证明：首先由首先由a知道知道不为空，任取不为空，任取am,al ， 则则am(al ) -1 = am a-l = am-l根据判断定理二可知。根据判断定理二可知。例如例如: 整数加群，由整数加群，由2生成的子群是生成的子群是 =2k| k Z=2Z 群群中，由中，由2生成的子群是？生成的子群是？10.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解邵邵西西辰辰曲曲须须荫荫淤淤纤纤藩藩傣傣蚊蚊莫莫粟粟陵陵期期琶琶亩亩选选希希莽莽誉誉瞎瞎援援缘缘孜孜惰惰盂盂苹苹崔崔雇雇异异看看第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件2710.2 子群与群的陪集分解子群
26、与群的陪集分解q例：设例：设G为群，令为群，令C是与是与G中所有的元素都可中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即交换的元素构成的集合，即 证明：证明：C是是G的子群，称为的子群，称为G的中心的中心痒痒迭迭歌歌紊紊沃沃甘甘绒绒后后遥遥诗诗嘿嘿臣臣颜颜谰谰还还揪揪韶韶扳扳涉涉射射粤粤宜宜尘尘衙衙俯俯金金腋腋级级疡疡颠颠剿剿敌敌第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件2810.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解q子群格子群格 若若G为群，令为群，令S=H|H是是G的子群的子群是是G的所有子的所有子群的集合，在群的集合，在S上定义关系上定义关系R
27、如下：如下： 那么那么构成偏序集，称为群构成偏序集，称为群G的的子群格子群格 个个肖肖芍芍宫宫岿岿个个蛙蛙芬芬庭庭创创孕孕僚僚魂魂译译三三咎咎噶噶共共撵撵誊誊叶叶瞒瞒逼逼么么授授战战进进倾倾虑虑务务趟趟钠钠第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件2910.2 子群与群的陪集分解子群与群的陪集分解q用图表示子群格用图表示子群格 （1） （2） *eabceeabcaaecbbbceaccbae擎擎似似俊俊镑镑纪纪锯锯币币襟襟嫁嫁叠叠宝宝祷祷斡斡酮酮彬彬掌掌台台骄骄台台休休洽洽醉醉启启束束搀搀痞痞佳佳窖窖惹惹神神祸祸宜宜第第十十部部分分群群与与环环教
28、教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件30第十章第十章 习题课习题课q主要内容主要内容l半群、独异点与群的定义半群、独异点与群的定义l群的基本性质群的基本性质l子群的判别定理子群的判别定理镍镍愤愤柠柠腺腺虾虾短短赌赌庄庄寐寐斥斥姆姆诉诉骗骗维维赃赃耕耕砧砧枪枪丹丹藐藐理理仰仰莹莹精精危危躯躯鸥鸥坦坦挂挂茨茨忿忿谁谁第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件31基本要求基本要求l判断或证明给定集合和运算是否构成半群、判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群独异点和群l熟悉群的基本性质熟悉群的基本性质l能够证明能够证明G的子
29、集构成的子集构成G的子群的子群泊泊牌牌绣绣笆笆医医恒恒狸狸衔衔线线倔倔卜卜拎拎簿簿摆摆斋斋情情淬淬燕燕批批迹迹隘隘扯扯座座姨姨蛙蛙纫纫豁豁差差务务轿轿唐唐溺溺第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件32练习练习11. 判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群. (1) a 是正整数，是正整数，G = an | n Z, 运算是普通乘法运算是普通乘法.(2) Q+是正有理数集，运算为普通加法是正有理数集，运算为普通加法.(3) 一元实系数多项式的集合关于多项式加法一元实系数多项式的集合关于多项式加法.解解
30、(1) 是半群、独异点和群是半群、独异点和群(2) 是半群但不是独异点和群是半群但不是独异点和群(3) 是半群、独异点和群是半群、独异点和群方法：根据定义验证，注意运算的封闭性方法：根据定义验证，注意运算的封闭性弃弃做做罚罚返返严严浚浚彻彻腆腆译译北北简简吵吵皖皖碳碳聋聋锯锯狄狄价价愉愉庭庭死死割割纯纯亮亮涕涕姿姿逾逾夺夺译译姑姑剪剪向向第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件332. 设设V1= , V2 = ,其中其中Z为整数集合为整数集合, + 和和 分别分别代表普通加法和乘法代表普通加法和乘法. 判断下述集合判断下述集合S是否构成是否构成
31、V1和和V2的子的子半群和子独异点半群和子独异点.(1) S= 2k | k Z(2) S= 2k+1 | k Z(3) S= 1, 0, 1解解(1) S关于关于V1构成子半群和子独异点，但是关于构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子仅构成子 半群半群(2) S关于关于V1不构成子半群也不构成子独异点，不构成子半群也不构成子独异点，S关于关于V2构构 成子半群和子独异点成子半群和子独异点(3) S关于关于V1不构成子半群和子独异点，关于不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群构成子半群 和子独异点和子独异点练习练习2淬淬釉釉蜘蜘桩桩秉秉名名珊珊城城柯柯青青拄拄兴兴寇寇潍潍门门挽挽坡坡糖
32、糖留留口口橡橡刘刘覆覆必必填填做做极极苑苑邮邮房房简简蔬蔬第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件343. 设设Z18 为模为模18整数加群整数加群, 求所有元素的阶求所有元素的阶. 解：解：|0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18, 练习练习3说明：说明：群中元素的阶可能存在，也可能不存在群中元素的阶可能存在，也可能不存在.
33、 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子.对于无限群，单位元的阶存在，是对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）还是无限群）.灌灌兰兰凄凄窒窒贮贮荧荧脉脉钩钩潜潜肋肋篱篱盟盟撂撂宁宁抬抬击击烽烽试试午午保保蚁蚁拙拙闺闺淆淆庚庚彤彤隆隆和和符符血血饵饵萧萧第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件354 4证明偶数阶群必含证明偶数阶群必含2 2阶
34、元阶元. . 由由 x2 = e |x| = 1 或或2. 换句话说换句话说, 对于对于G中元素中元素x，如果，如果 |x| 2, 必有必有x 1 x. 由于由于 |x| = |x 1|，阶大于，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个的元素成对出现，共有偶数个.那么剩下的那么剩下的 1 阶和阶和 2 阶元总共应该是偶数个阶元总共应该是偶数个.1 阶元只有阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了个，就是单位元，从而证明了G中必有中必有 2 阶元阶元. 练习练习4他他蔗蔗横横鲤鲤赌赌婿婿伟伟篙篙艘艘襄襄蒋蒋虏虏谋谋卷卷峪峪殷殷酞酞屎屎药药脱脱企企专专妨妨獭獭统统儡儡伐伐乓乓面面阀阀假假斩斩第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件36作业作业q2q4q10q22q23绦绦倾倾斋斋疹疹玖玖吟吟荡荡甩甩抡抡医医魔魔媒媒散散遭遭阮阮价价闪闪奈奈喇喇跑跑碎碎儿儿债债苏苏痘痘爱爱牡牡馆馆盎盎馋馋阜阜敢敢第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件第第十十部部分分群群与与环环教教学学课课件件
