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1、1.3 极限概念极限概念(limit(limit) 极限概念是微积分的基本概极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算念。极限是一种非初等运算, ,也也是微积分学研究的基本工具是微积分学研究的基本工具. .后后面将要介绍的函数的连续性、面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。以极限为基础的。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。2021/6/161 极限是以发展的眼光分析事物极限是以发展的眼光分析事物(变量变量)的变化规律的变化规律,通过极限我通过极限我们可以深入到函数的局部去了解们可以深入到函数
2、的局部去了解函数函数,并且体会如何在运动的过并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物程中把握变化的事物,从而深化从而深化对客观世界的认识。对客观世界的认识。1.3.1 数列的极限数列的极限(limit of sequence)数列的定义：数列的定义：2021/6/162 按照一定规律有次序排列的无按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为穷多个数称为数列数列。记作记作称为称为通项通项( (一般项一般项) .) .2021/6/163 数列的极限数列的极限 数列极限的定义，请同学们回忆一下。数列极限的定义，请同学们回忆一下。 中国古代的极限思想：中国古代的极限思想：“一尺之椎，日取其半，万世不竭。一
3、尺之椎，日取其半，万世不竭。”考察当考察当n+时，通项时，通项xn的变化趋势。的变化趋势。数列极限的实质：数列极限的实质：2021/6/164例例如如,趋势不定趋势不定2021/6/165数列数列数列当项数数列当项数n无限变大时无限变大时的极限定义：的极限定义：数列的各项数列的各项数值向一个数值向一个常数常数无限靠近，无限靠近，则称常数则称常数为该数列的极限。为该数列的极限。记作记作或或2021/6/166 如果一个数列的极限存在如果一个数列的极限存在, ,则称该则称该数列是数列是收敛收敛(converge)(converge)； 如果一个数列的极限不存在如果一个数列的极限不存在, ,则称该则
4、称该数列是数列是发散发散(diverge)(diverge)。2021/6/167常数常数 0 称为此数列的极限称为此数列的极限记作：记作：2021/6/1682021/6/169例如例如,收收 敛敛2021/6/1610趋势不定趋势不定发发 散散2021/6/1611记作：记作：2021/6/1612例例1.1. 已知已知证明证明证证: :2021/6/1613时，时，可以无限变小可以无限变小故故2021/6/16142021/6/1615函数函数随着自变量的变化而变化随着自变量的变化而变化,研究研究函数的极限函数的极限,就是研究当自变量就是研究当自变量按照某种按照某种方式变化时所对应的方式
5、变化时所对应的1.3.21.3.2函数的极限函数的极限(limit of function)函数值的变化趋势。函数值的变化趋势。2021/6/1616二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种自变量变化过程的六种形式形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 : :2021/6/16171. 时时,函数函数f(x)的极限的极限2021/6/16182021/6/16192021/6/16202021/6/1621定定义义：设设函函数数y=f(x)在在 x大大于于某某个个正正数数a时时有有定定义义,A是是某某确
6、确定定常常数数,如如果果当当自自变变量量x 趋趋于于 时时，f(x)与与A的的距距离离任任意意小小,则则称称函函数数f(x)在在 时以时以A为极限，为极限，1. 时时,函数函数f(x)的极限的极限记为记为2021/6/1622指数函数指数函数2021/6/1623如如2021/6/1624例如例如. 同理同理: :2021/6/1625正弦函数正弦函数2021/6/1626余弦函数余弦函数2021/6/1627对数函数对数函数2021/6/16282021/6/16292021/6/16302021/6/16312.时时,函数函数f(x)的极的极限限2021/6/16322021/6/1633
7、2021/6/16342021/6/16352021/6/16362021/6/16372021/6/1638定定义义：设设函函数数y=f(x)在在点点x0的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，A是是某某确确定定常常数数，如如果果当当自自变变量量x趋趋近近于于x0时时，f(x)与与A的的距距离离任任意意小小,则则称称函函数数f(x)在在x趋趋于于x0时时以以A为极限，为极限，2.时时,函数函数f(x)的极限的极限记为记为2021/6/16392021/6/1640正弦函数正弦函数2021/6/1641余弦函数余弦函数2021/6/1642 可以证明：可以证明：以下的极限均成立以下的极限均成
8、立2021/6/16433.3.单侧极限单侧极限- - 左极限与右极限左极限与右极限2021/6/1644左极限左极限 :如果当如果当 从从的的左侧无限趋近左侧无限趋近时时,记着记着函数函数f(x)无限趋近于一个确定的常无限趋近于一个确定的常数数A, 则称则称A为函数为函数f(x)当当时的左极限。记作时的左极限。记作2021/6/1645类似可定义类似可定义右极限右极限 :函数的左极限和右极限函数的左极限和右极限统称为单侧极限。统称为单侧极限。2021/6/16462021/6/1647对数函数对数函数2021/6/16482021/6/1649例如：例如：2021/6/1650定理定理1.1
9、1.1：当当 时时, ,函数函数 极限存在的极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，充要条件是左、右极限存在且相等，即即2021/6/1651例例6. 设函数设函数讨论讨论 时时的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因为因为2021/6/1652显然显然所以所以不存在不存在 .2021/6/16532021/6/1654例例7 7 问问a a为何值时为何值时, ,所给函数所给函数x x=2=2处极限处极限存在。存在。解解：左极限左极限右极限右极限2021/6/1655欲函数在欲函数在x x=2=2处极限存在，必须左极限处极限存在，必须左极限等于右极限，等于右极限，即即a
10、=a=8 82021/6/1656思考：思考：1)1)研研究究函函数数极极限限时时, ,是是否否要要考考虑虑f f( (x x) )在在x x= =x x0 0时的性态？为什么？时的性态？为什么？2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都都存存在在, ,当当x x趋趋于于x x0 0时时, ,f f( (x x) )的极限存在吗？的极限存在吗？3)3)如如何何利利用用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)来来判判断断当当x x趋于趋于x x0 0 时时, ,f f( (x x) )的极限不存在？的极限
11、不存在？2021/6/16574)4)若极限若极限是否一定有是否一定有？2021/6/1658常用的极限结果：常用的极限结果：2021/6/1659极限不存在的有：极限不存在的有：2021/6/1660练习：练习：设设求：求：2021/6/16612021/6/1662作业作业NO.13:(3) 分析分析 的复合结构的复合结构.解解:由由复合而成的复合而成的.2021/6/1663作业作业NO.13:(4) 分析分析 的复合结构的复合结构.解解:由由复合而成的复合而成的.2021/6/1664NO14. 解：解：左极限左极限右极限右极限2021/6/1665NO18. 设函数设函数解解: 2021/6/1666 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
