《中值定理与导数的应用(全课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中值定理与导数的应用(全课件（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理微分中值定理4.2 洛必达法则洛必达法则4.3 函数的单调性函数的单调性4.4 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题4.5 曲线的凸凹性与拐点曲线的凸凹性与拐点4.6 曲线的渐近线和函数作图曲线的渐近线和函数作图4.1 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理本节我们将介绍导数的一些更深刻的性质本节我们将介绍导数的一些更深刻的性质函数在某区间函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。由于这些的整体性质与该区间内部某点处导数之
2、间的关系。由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为中值定理中值定理。我们知道导数和微分是讨论小增量我们知道导数和微分是讨论小增量 y = f(x+ x) - f( x)的有效的有效工具，自然进而要问：这一工具是否也有助于对宏观增量工具，自然进而要问：这一工具是否也有助于对宏观增量f (b) - f (a) 的研究？微分中值定理对此做出肯定的回答。的研究？微分中值定理对此做出肯定的回答。 一、罗尔定理一、罗尔定理（Rolle)引理（费马定理引理（费马定理）证证罗尔定理罗尔定理（Rolle):(2)最大值点必在最大值点必在 (
3、a, b) 内，设为内，设为证证(1)结论成立结论成立.注意：定理的三个条件有一个不满足，定理的结论就可能不注意：定理的三个条件有一个不满足，定理的结论就可能不成立。成立。1、由图可知，函数不满足连续的条件2、由图可知，函数 在x=0不满足可导的条件。3、定义在0，1函数y=x，不满足端点函数值相等的条件。例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数在区间在区间上的正确性上的正确性。解解且且令令得得解解例例3证证例例4、证证例例5 已知函数已知函数f(x)在闭区间在闭区间0，1上连续，在开区间（上连续，在开区间（0，1）内）内 可导，且可导，且f(1)=0。试证：在开区间（。试证：在开区间（0
4、，1）内至少存在一点）内至少存在一点证证构造函数：令构造函数：令F(x)=xf(x)， 则则F(x)在在0，1上上满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间（满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间（0，1）内至少存在一点内至少存在一点二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(Lagrange):几何意义几何意义:使得使得AB 上至少有一点上至少有一点C,弧弧使曲线在使曲线在 C 处的切线平行于弦处的切线平行于弦 AB.证明思路证明思路把曲线的两个端点把曲线的两个端点 A、B 拉平拉平证证由罗尔定理知由罗尔定理知在在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理使得使得罗尔
5、定理罗尔定理称为称为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.注注 (1)对于对于 b 1 时时，当当证明证明( ( ) ) xf= =设设证证例例2在在0, x上应用拉格朗日中值定理上应用拉格朗日中值定理例例3 证明恒等式证明恒等式证证所以所以例例4 已知函数已知函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，内可导， 且且f(a)=f(b)=0。试证：在开区间。试证：在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点证证 则则F(x)在在a，b上满足罗尔中上满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间值定理的条件，于是在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点三、柯西中
6、值定理三、柯西中值定理(Cauchy)：则在则在(a, b)内内使得使得注注：就是拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是就是拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是柯西定理的特例。柯西定理的特例。几何意义几何意义:曲线的参数方程曲线的参数方程C点处切线斜率为点处切线斜率为它等于弦它等于弦 AB 的斜率的斜率.直接验证知直接验证知,由罗尔定理知由罗尔定理知在在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点证证证证 设设故故例例5 设设在在上连续上连续，在在内可导，证明内可导，证明使得使得证证例例6 设设在在上连续上连续，在在内可导，证明内可导，证明使得使得故故例例7 证证 则则F(x)在在0，1上连
7、续，在上连续，在(0,1)例例8 证证 于是存在于是存在故存在故存在一、未定式一、未定式 二、二、xa 时时 型未定式型未定式三、未定式三、未定式四、其它未定式四、其它未定式4.2 洛必达法则洛必达法则对于这类函数的求极限问题，不能用极限的除法法则求对于这类函数的求极限问题，不能用极限的除法法则求，下面给出这类函数的求极限的一种简单而又方便的方法：下面给出这类函数的求极限的一种简单而又方便的方法：洛必达法则洛必达法则。当在相应的自变量变化趋向下当在相应的自变量变化趋向下，零或都趋于无穷大零或都趋于无穷大, 通常称极限通常称极限两个函数两个函数f(x) 与与F(x)都趋于都趋于为为未定式未定式.
8、 例如例如一、定理一、定理(3)存在存在 (或无穷大或无穷大);那么那么不妨假定不妨假定由柯西中值定理，有由柯西中值定理，有证证这种求极限的方法称为这种求极限的方法称为洛必达法则洛必达法则。设设解解例例1例例2解解并且可以依次类推进行计算并且可以依次类推进行计算。(1)不是未定式不是未定式, 不能盲目应用洛必达法则不能盲目应用洛必达法则.(2)注注1特别提醒：特别提醒： 每次用洛必达法每次用洛必达法则前必须进行检验则前必须进行检验例例3解解例例4解解如果如果二二、三、三、例例5解解例例6解解例例7解解可通过整理，化为可通过整理，化为或或型的未定式极限来计算型的未定式极限来计算。对于其它未定式，
9、如对于其它未定式，如四四、例例8解解解解例例9例例10解解解解例例11例例12解解特别提醒：特别提醒： 洛必达法则与其它方洛必达法则与其它方法结合使用，会使计算法结合使用，会使计算简化、方便简化、方便例例13 解解例例14 解解但但极限存在极限存在。若用洛必达法则，则若用洛必达法则，则例例15解解注注2然洛必达法则的条件不成立然洛必达法则的条件不成立, 但所求极限可能仍存在但所求极限可能仍存在.洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法,但它不是万但它不是万能的，即能的，即洛必达法则的条件是充分而非必要的。洛必达法则的条件是充分而非必要的。有些题目虽有些题目虽
10、不存在不存在例例16解解 若用洛必达法则，则若用洛必达法则，则事实上事实上，解解例例17若用洛必达法则求，则有若用洛必达法则求，则有极限不存在，极限不存在，但但本题还可如下做本题还可如下做:例例18解解一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法:设函数设函数 y=f(x) 在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导.4.3 函数的单调性函数的单调性证证 在在a, b上任取两点上任取两点由拉格朗日中值定理，有由拉格朗日中值定理，有同理同理，则则例例1解解1 判定函数单调性（即确定其单调区间）判定函数单调性（即确定其单调区间）一般的解题的格式为：一般的解题的格式为： （1）确定函数
11、定义域；）确定函数定义域； （2）求）求 （3）令）令 解得它的根解得它的根 （4）确定）确定f(x)的间断点、的间断点、 不存在的点不存在的点 （5）用）用 把函数的定义域划分为几个部分区间；把函数的定义域划分为几个部分区间； （6）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。解：函数的定义域为：解：函数的定义域为： ， 令令 解得解得x1=？ , x2=？ , x3= ？, 当当x=？ 时，时， 不存在，不存在， 列表得结论。列表得结论。 二、利用函数单调性所解决的几个问题二、利用函数单调性所解决的几个问题:一般步骤为：一般步骤为：例例2解解例例3解解例例4解
12、解又例又例解解例例5解解0注注 如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零，在其余各如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零，在其余各点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。2 利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式一般要证明一般要证明a）设）设（一般用大端减小端）（一般用大端减小端）的正、负；的正、负；b）讨论）讨论c）求定义区间端点的函数值；）求定义区间端点的函数值；d）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式。或或例例6证证例例7证证证证例例83 利用函数单调性讨论某些方程的根利用函数单调性讨论
13、某些方程的根得证得证。证证例例9由零点定理，知由零点定理，知一般方法为：一般方法为： 先证明方程至少有一个根；先证明方程至少有一个根； 再证明方程至多有一个根。再证明方程至多有一个根。4.4 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题一、定义一、定义二、必要条件二、必要条件三、第一充分条件三、第一充分条件四、第二充分条件四、第二充分条件设设 f(x) 在区间在区间 (a, b) 内有定义内有定义, 是是 (a, b) 内的一点内的一点. 如果对于如果对于的一个去心邻域内的任何点的一个去心邻域内的任何点 x ,都有都有则称则称是是 f(x) 的一个的一个极大值极大值 ( 极小值极小值 ).极大值与
14、极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.一、函数极值的定义一、函数极值的定义注注 极值具有局部性；极值具有局部性； 极值一定在给定的区间内部取得；极值一定在给定的区间内部取得； 极大值不一定比极小值大。极大值不一定比极小值大。证证 (极小值的情况可类似证明极小值的情况可类似证明)假定假定是极大值。是极大值。定理定理1（必要条件）（必要条件）二、函数极值的判定二、函数极值的判定驻点。驻点。注注(1)(2)(负负),(正正),(极小值极小值);定理定理 2 （充分条件一（充分条件一)证证 根据函数单调性的判定法根据函数单调性的判定法,其
15、它情况可类似证明其它情况可类似证明. .(a)(b)(c)(d)(5) 算出各个极值点处的函数值算出各个极值点处的函数值,即为极值即为极值.求函数的极值的步骤求函数的极值的步骤例例1解解(2)(1)极大极大极小极小定理定理 3 （充分条件二）（充分条件二）证证设设 f(x) 在在处具有二阶导数且处具有二阶导数且那么那么(1)因此因此由定理由定理2知知(2)可类似证明可类似证明.在例在例1中，也可如下做：中，也可如下做：注注例例2解解例例3解解f(x) 单调减少单调减少三、最大值与最小值三、最大值与最小值1.最大（小）值点最大（小）值点端点端点内部内部驻点，导数不存在的点驻点，导数不存在的点求出
16、端点、驻点和不可导点处求出端点、驻点和不可导点处的函数值，其中最大（小）的的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值就是函数的最大（小）值例例4解解例例5 解解铁路铁路公路公路2. 实际问题中的最大值最小值问题实际问题中的最大值最小值问题注注 1) 若若f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点在一个区间内可导且只有一个驻点且且是是f(x)的极大值点的极大值点 (极小值点极小值点),就是就是f(x)在在则则该区间上的最大值该区间上的最大值(最小值最小值).2) 实际问题中实际问题中, 若根据问题的性质可以断定可导函数若根据问题的性质可以断定可导函数确有最大值确有最大值(或最小值或最小值),
17、并且一定在定义区间内部取得并且一定在定义区间内部取得,而此时而此时在定义区间内部只有一个驻点在定义区间内部只有一个驻点则可断定则可断定就是所求的最大值就是所求的最大值(或最小值或最小值)。由实际情况最小周长一定存在，由实际情况最小周长一定存在，解解例例6某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。1.1.凹凸性的定义凹凸性的定义如果对如果对I I上任意两点上任意两点4.5 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点2. 定理定理例例1解解例例2解解曲线凹向与凸向的分界点曲线凹向与凸向的分界点,称为称为拐点拐点.例例3解解例例4解解定义域为定义域为例例5解解令令得得 x =
18、 0都有都有故故没有拐点没有拐点二阶导数等于零的点二阶导数等于零的点, 不一定是拐点不一定是拐点.注注1 1例例 6解解都不存在都不存在二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点, 也可能是拐点也可能是拐点.且曲线在且曲线在 x=0 连续连续,故点故点 (0, 0) 是曲线的拐点是曲线的拐点.注注24.6 曲线的渐近线和函数作图曲线的渐近线和函数作图 一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线(1)水平渐近线水平渐近线(2)垂直渐近线垂直渐近线x0xyoCyxo(3)斜渐近线斜渐近线例例1 解解确定函数图形确定函数图形的单调与凸凹、的单调与凸凹、极值点和拐点，极值点和拐点， 将结果列表汇总将结果列表汇总.一般步骤一般步骤: :利用导数工具描绘函数的图形，称为利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图分析法作图。考察函数的奇偶性、周期性考察函数的奇偶性、周期性;(5) 适当添加一些必要的辅助点；适当添加一些必要的辅助点；二、曲线的作图二、曲线的作图例例2 (2)解解 定义域定义域 列表列表+的图形的图形00+0极大极大拐点拐点极小极小所以该曲线既无水平渐近线，也无垂直渐近线。所以该曲线既无水平渐近线，也无垂直渐近线。例例3 解解 定义域定义域的图形的图形0+极大极大拐点拐点00解解例例4间断点为间断点为的图形的图形极大极大拐点拐点0+0
