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1、解直角三角形应用执教者：李莉敏执教者：李莉敏一、回顾知识要点一、回顾知识要点1 1、解直角三角形定义解直角三角形定义 在一个直角三角形中，由已知元素（已知一条边和一个锐角或者已知两条边）求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。ACB2 2、直角三角形中的边角关系直角三角形中的边角关系；铅铅垂垂线线水平线视线视线）仰角俯角h3、在解直角三角形中，经常接触的名称：、在解直角三角形中，经常接触的名称：二、解实际问题常用的两种思维方法：二、解实际问题常用的两种思维方法： 1、切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与、切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合；其他特殊图形的组合； 2
2、、粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。、粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。D15例例1 1 要要求求tan30的的值值，可可构构造造如如图图所所示示的的直直角角三三角角形形进进行行计计算算：作作RtABC，使使C=90，斜斜边边AB=2，直直角角边边AC=1，那么那么BC= ，tan30= . 在此图基础上，通过添加适当在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的辅助线，可求出tan15的值。的值。请简要写出你添加的辅助线和求出的请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15的值。的值。 ACB1230解：延长解：延长CB至至D，使使BD=AB，连结连结AD，则则D=15，tan15= 。A
3、CB1230DEx2三、举例：三、举例：例例2 2 为了申办为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定在地面上事先划定以以B为圆心，半径与为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在等长的圆形危险区。现在某工人站在离离B点点3米远的米远的D处测得树的顶端处测得树的顶端A点的仰角为点的仰角为60，树的底部，树的底部B点的俯角为点的俯角为30。问距离。问距离 B点点8米远的保护物是否在危险区内？米远的保护物是否在危险区内？CDBE3060A解：过点解：过点C作作
4、CE AB于于E.在在RtCBE中中,tan30=BE=CE tan30=在在RtCAE中中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米）米） 8(米）米）距离距离 B点点8米远的保护物不在危险区米远的保护物不在危险区.例例3 3 如如图图，公公路路MN和和公公路路PQ在在点点P处处交交会会，且且QPN=30，点点A处处有有一一所所中中学学，AP=160米米，（1 1）假假设设拖拖拉拉机机行行驶驶时时，周周围围100米米以以内内会会受受到到噪噪声声的的影影响响，那那么么拖拖拉拉机机在在公公路路MN上上沿沿PN方方向向行行驶驶时时，学学校校是是否否会会受受到到噪噪声声影
5、影响响？请请说说明明理理由由（2 2）如如果果受受影影响响，已已知知拖拖拉拉机机的的速速度度为为18千千米米/时时，那那么么学学校校受受影影响的时间为多少秒？响的时间为多少秒？ 解题点拨解题点拨 （1） 作作ABMN于于B，求求出出AB，若若AB100米，则受影响，若米，则受影响，若AB100米，则不受影响米，则不受影响. .MPQNAB30160解解（1）作作ABMN，B为垂足。为垂足。 在在RtABP中中 ABP=90，APB=30， AP=160米，米， AB= AP=80米米 点点A到直线到直线MN的距离小于的距离小于100米。米。 这所中学会受到噪声的影响。这所中学会受到噪声的影响。
6、MPQNACDB（2）如如图图，如如果果以以点点A为为圆圆心心，100米米为为半半径径画画圆圆，那那么么圆圆A和和直直线线MN有有两两个个交交点点，设设交交点点分分别别为为C、D，连连结结AC、AD，那么那么AC=AD=100（米）。米）。 根根据据勾勾股股定定理理和和垂垂径径定定理理，CB=DB = =60（米），米）， CD=120（米）米） 学校受噪声影响的时间学校受噪声影响的时间t=120米米18千米千米/时时= 时时=24秒。秒。 解题点拨解题点拨 （2 2） 既然受影响，既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪机速度已知，故应
7、求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程，即声影响时拖拉机行驶的路程，即以以A为圆心，为圆心，100米为半径画圆米为半径画圆A，则则A交交MN于于C、D两点，弦两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径的长为所求的路程，用垂径定理可求定理可求CD。若若这这艘艘轮轮船船自自A处处按按原原速速度度继继续续航航行行，在在途途中中会会不不会会遇遇到到台台风风？若若会会，试试求求轮轮船船最最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。轮轮船船自自A处处立立即即提提高高船船速速，向向位位于于东东偏偏北北30方方向向，相相距距60里里的的D港港驶驶去去。为为使使台台风风到到来来之之前前
8、到到达达D港港，问问船船速速至至少少应应提提高高多多少少？（提高的船速取整数，？（提高的船速取整数， ）？）？ 北北东东DAB30练习：练习： 如图所示，一艘轮船以如图所示，一艘轮船以20里里/时的速度由西向东航行，时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以途中接到台风警报，台风中心正以40里里/时的速度由南向北移动，时的速度由南向北移动，距台风中心距台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到船到A处时，测得台风中心移到位于点处时，测得台风中心移到位于点A正南方向正南方向B处，且处，且AB=100里。里。解解题题点点拨拨：（1）
9、假假设设会会遇遇到到台台风风，设设最最初初遇遇到到台台风风时时间间为为t小小时时，此此时时，轮轮船船在在C处处，台台风风中中心心到到达达E处处（如如图图），则则有有AC2+AE2=EC2，显显然然，AC=20t里里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，则则（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若可求出可求出t，则会遇到台风，若不能求出则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。则不会遇到台风。解解：（1）设设途途中中会会遇遇到到台台风风，且且最最初初遇遇到到台台风风的的时时间间为为t小小时时，此此时时轮轮船船位位于于C处处，台台风风中中心心移移到到E处处，连连结结CE，则
10、则有有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在在RtAEC中中，由由勾勾股股定理，得定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中会遇到台风。途中会遇到台风。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到台风的时间为最初遇到台风的时间为1小时。小时。ACEB北北南南西西东东解题点拨：解题点拨： 先求出台风抵达先求出台风抵达D港的时间港的时间t t，因因AD=60，则则6060 t=t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。 解：解： 设台风抵达设台风抵达D港
11、时间为港时间为t小时，此时台风中心至小时，此时台风中心至M点。点。 过过D作作DFAB，垂足为垂足为F，连结连结DM。 在在RtADF中，中，AD=60，FAD=60 DF=30 ，FA=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 台风抵达台风抵达D港的时间为港的时间为 小时。小时。 轮船从轮船从A处用处用 小时到达小时到达D港的速度为港的速度为60 25.5。为使台风抵达为使台风抵达D D港之前轮船到港之前轮船到D D港，轮船至少应提速港，轮船至少应提速6 6里里/ /时
12、。时。 DAMB30北北东东F小结：小结：1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题。型转化为数学问题。2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决。问题来解决。作业作业：1、 如如图图，有有一一位位同同学学用用一一个个有有30角角的的直直角角三三角角板板估估测测他他们们学学校校的的旗旗杆杆AB的的高高度度，他他将将30角角的的直直角角边边水水平平放
13、放在在1.3米米高高的的支支架架CD上上，三三角角板板的的斜斜边边与与旗旗杆杆的的顶顶点点在在同同一一直直线线上上，他又量得他又量得D、B的距离为的距离为15米。米。 （1）试求旗杆）试求旗杆AB的高度（精确到的高度（精确到0.1米，米， ）；）； （2）请你设计出一种更简便的估测方法。）请你设计出一种更简便的估测方法。 30CDBEA2、如如图图，客客轮轮沿沿折折线线ABC，从从A出出发发经经B再再到到C匀匀速速直直线线航航行行，将将一一批批物物品品送送达达客客轮轮。两两船船同同时时起起航航，并并同同时时到到达达折折线线ABC上上的的某某点点E处处，已已知知AB=BC=200海海里里，ABC=90，客轮速度是货轮速度的客轮速度是货轮速度的2倍。倍。 选择：两船相遇之处选择：两船相遇之处E点（点（ ） （A）在线段在线段AB上上 （B）在线段在线段BC上上 求求货货轮轮从从出出发发到到两两船船相相遇遇共共航航行行了了多多少少海海里里?(结结果果保保留留根根号号)ABCD
