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1、3.23.2.1.1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .问题思考问题思考:1.1.如何确定一个点在空间的位置如何确定一个点在空间的位置? ?2.2.在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和一个定方向和一个定方向( (向量向量),),能能确定一条直线在空间的位置吗确定一条直线在空间的位置吗? ?3.3.给一个定点和两个定方向给一个定点和两个定方向( (向量向量),),能确定一个平能确定一个平面在空间的位置吗面在空间的位置吗? ?4.4.给一
2、个定点和一个定方向给一个定点和一个定方向( (向量向量),),能确定一个平能确定一个平面在空间的位置吗面在空间的位置吗? ?oP1、点的位置向量、点的位置向量知识构建知识构建ABP2、直线的方向向量、直线的方向向量这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以不仅可以确定直线确定直线l的位置的位置,还可以具体还可以具体表示出表示出l上的任意一点上的任意一点.知识构建知识构建obaP3、平面的法向量、平面的法向量这样这样,点点O与向量与向量不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位置,还可以具体表还可以具体表示出示出 内的任意一点内的任意一点知识构建知识构建法向量：法向量：如果如果表示非表示非零向量零
3、向量n n的的有向线段所在直有向线段所在直线垂直于平面线垂直于平面，则称这，则称这个向量垂直于平面个向量垂直于平面，记，记作作nn，如果如果nn ，那，那么么向量向量n n叫做叫做平面平面的的法向法向量量la类似于直线的方向向量，还可以用平面的类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置法向量表示空间中平面的位置问题问题1：法向量如何确定平面的位置？法向量如何确定平面的位置？A给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量a,a,那么，过点那么，过点A,A,以向以向量量a a为法向量的平面是完全确定的。为法向量的平面是完全确定的。几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量
4、一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 与平面平行或在平面内，则有与平面平行或在平面内，则有练习练习尝试尝试因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行平行、垂垂直、夹角直、夹角等位置关系。等位置关系。法法向量的运用向量的运用(1)平行关系：平行关系：探究合作探究合作(2)垂直关系：垂直关系：探究合作探究合作例
5、例1 (1)设设 分别是直线分别是直线 的方向向量的方向向量,根据下列根据下列条件判断条件判断 与与 的位置关系的位置关系: 分析分析:直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系平行平行垂直垂直相交或异面相交或异面例例1 (2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系: 分析分析:平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系垂直垂直平行平行相交相交(不垂直不垂直)分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直
6、直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断直线和平面的位置关系例例1 (3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直线是直线 的方向向的方向向量量,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系: 垂直垂直相交相交(斜交斜交)例例2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量.解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=
7、0且且x=2y,令令y=1,则则x=2 平面平面 的一个法向量是的一个法向量是变式变式1:1: 在正方体在正方体ABCD- 中中,E、F分别是分别是 、DC的中点的中点,则则 是否为是否为平平面面 的一个法向量的一个法向量?变式变式2:2: 已知已知正方体正方体ABCD- 的的棱长为棱长为1,在在BC、 上是否存在点上是否存在点E、F，使使 是平面是平面ABF的法向量？若存在，请的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；满足的条件；若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。1.1.若直线若直线l的方向向量为的方向向量为 ,平面平面 的法向量为的法向量为
8、 ,则则l与与 的位置的位置关系是关系是 3.3.若平面若平面 、 的法向量分别为的法向量分别为 ， ，则，则 、的位置关系是、的位置关系是2.2.已知已知A(1,0,0)A(1,0,0)、B(0,1,0)B(0,1,0)、C(0,0,1)C(0,0,1)，则平面则平面ABCABC的一个单位法向量是的一个单位法向量是小结小结:1.1.直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具解决立体几何问题的两个重要工具, ,是实现空间是实现空间问题的向量方法的媒介问题的向量方法的媒介. .2.2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线来研究直线、平面之间关系的原理与方法平面之间关系的原理与方法, ,特别特别是直线是直线、平面的位置关系与方向向量平面的位置关系与方向向量、法向量之法向量之间的联系间的联系. .l1l2l1l1l2l
