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1、第三章第三章 函数的应用函数的应用3.1 3.1 函数与方程函数与方程3.1.1 3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1.1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的 存在性及根的个数；存在性及根的个数；（难点）（难点）2.2.了解函数的零点与方程根的关系；了解函数的零点与方程根的关系；( (易错点）易错点）3.3.会求函数的零点会求函数的零点. .（重点）（重点） 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题解的问题. .如约公元如约公元5050年年100100年编成的年编成的九章算术
2、九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法法 1313世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法的正根的解法 1111世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法程的解法探究：探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？（1 1）方程）方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x-3-2x-3（2 2）方程）方程x x2
3、 2-2x+1=0-2x+1=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+1-2x+1（3 3）方程）方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+3-2x+3（1 1）（2 2）（3 3） 方程方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y= x2-2x-3y= x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)(1,0)无交点无交点x2-2x-3=0xy01321121234.xyO132112543.yx12112y= x2-2x+3函数的图象函数的图象与与x
4、x轴的交点轴的交点O方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax +bx+c(a0)的的图象图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 1 、x2 2 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做叫做函数函数y=y=f(xf(x) )的零点的零点. .函数零点的定义：函数零点的
5、定义：注意：注意：零点指的是一个实数零点不是一个点方程方程f(xf(x) )0 0有有实数根数根 函数函数y yf(xf(x) )的的图象与象与x x轴有交点有交点 函数函数y yf(xf(x) )有零点有零点方程方程 的根是函数的根是函数 的图象与的图象与 轴的交轴的交点的横坐标点的横坐标. .结结论论由此可知，求方程由此可知，求方程f(xf(x)=0)=0的实数根，就是求函数的实数根，就是求函数y= y= f(xf(x) )的零点的零点. .对于不能用公式法求根的方程对于不能用公式法求根的方程f(xf(x)=0)=0来说，来说，可以将它与函数可以将它与函数y=y=f(xf(x) )联系起来
6、，利用函数的性质找出联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根零点，从而求出方程的根. .函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x x轴交点轴交点的横坐标的横坐标. .零点对于函数而言，根对于方程而言零点对于函数而言，根对于方程而言探究：探究：如何求函数的零点？如何求函数的零点？1 1 2 2 3 3 4 4 5 5-1-1-2-21 12 23 34 45 5-1-1-2-2-3-3-4-4x xy y-1-1观察二次函数察二次函数f( (x) )x2 22 2x3 3的的图象：象：在区在区间-2-2，11上有零点上有零点_；f(-2)=_(
7、-2)=_，f(1)=_(1)=_，f(-2)(-2)f(1)_0(1)_0(“”或或“”) )在区在区间(2(2，4)4)上有零点上有零点_；f(2)(2)f(4)_0(4)_0（“”或或“”） x= =1 14 45 5 x=3=3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5-1-1-2-21 12 23 34 45 5-2-2-3-3-4-4xyxyOabcd思考：观察图象填空，在怎样的条件下，思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数函数 在区间在区间 上存在零点？上存在零点？有有 有有 有有 在区间在区间( (a,ba,b) )上上,f(a),f(a)f(b)_0(f(b)_0(“”或或“
8、”) ) 在区间在区间( (a,ba,b) )上上,_(,_(有有/ /无无) )零点；零点；在区间在区间( (b,cb,c) )上上, ,f(b)f(b)f(cf(c) _0() _0(“”或或“”) ) 在区间在区间( (b,cb,c) )上上,_(,_(有有/ /无无) )零点；零点；在区间在区间( (c,dc,d) )上上f(c)f(c)f(df(d) _0() _0(“”或或”) ) 在区间在区间( (c,dc,d) )上上,_(,_(有有/ /无无) )零点；零点；xyOabc总结提升总结提升如果函数如果函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上的图像是连续不断的
9、一条曲线，上的图像是连续不断的一条曲线，并且有并且有f(a)f(a)f(bf(b)0)0，那么，函数，那么，函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有零点，内有零点，即存在即存在c(a,bc(a,b),),使得使得f(cf(c)=0,)=0,这个这个c c也就是方程也就是方程f(xf(x)=0)=0的根。的根。例例1 1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1 1）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(af(a) )f(bf(b) 0) 0，则，则f(xf(
10、x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有且仅有一个零内有且仅有一个零点点. .（ ）（2 2）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(af(a) )f(b)f(b)0 0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内没有零点内没有零点. .（ ）（3 3）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 上满足上满足f(a)f(a)f(bf(b) ) 00，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内存在零点内存在零点. .（ ）解：解：（1 1）已知函数）已知函数y=
11、f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(a)f(a)f(bf(b) 0) 0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点. .（ ）abOxy如图如图, ,函数函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )上有上有3 3个零点个零点, ,故故“在区间在区间( (a,ba,b) )内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点”的说法是错误的的说法是错误的. .（2 2）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(af(a) )f(bf(b) )
12、 0 0，则，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内没有零点内没有零点. .（ ）a ab bO Ox xy y可知，函数可知，函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f (a)f (a)f(b)f(b)0 0，但，但f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有零点内有零点. .故论断不正确。故论断不正确。 如图如图, , （3 3）已知函数）已知函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上满足上满足f(a)f(a)f(bf(b)0)0，则则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内存在零点内
13、存在零点. .（ ）abOxy虽然函数虽然函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上满足上满足f(a)f(a)f(bf(b) 0,) 0,但是但是图图象象不是连续的曲线，则不是连续的曲线，则f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内不存在零点内不存在零点. .如图如图, , 若函数若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间 a,ba,b 上的图象是上的图象是连续不断的曲线，且函数连续不断的曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在( (a,ba,b) )内有内有零点，则零点，则f(a)f(a)f(bf(b) )的值的值( )(
14、)A.A.大于大于0 B.0 B.小于小于0 0 C.C.无法判断无法判断 D.D.等于零等于零C C 由表可知由表可知f(2)0f(2)0f(3)0，由于函数由于函数f(xf(x) )在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点它仅有一个零点用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x x、f(xf(x) )的对应值表和图像；的对应值表和图像；例例2.2.求函数求函数f(xf(x)=lnx+2x)=lnx+2x6 6的零点的个数的零点的个数. .解：解：10108 86 64 42 2-2-2-4-45 51 1 2 23 34 46 6x xy yO O
15、x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 9f(xf(x) )-4-4 -1.3-1.3 1.11.1 3.43.4 5.65.6 7.87.89.99.9 12.112.1 14.214.2方法一方法一f(xf(x)=lnx+2x)=lnx+2x6 6从而从而f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,函数函数f(xf(x) )在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点内有零点y=y=2x+62x+6y=y=lnxlnx6 6Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y即求方程即求方程 lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0的根的个数，即求的根的个数，即求 lnxlnx=6-2x
16、=6-2x的根的根的个数，即判断函数的个数，即判断函数y=y=lnxlnx与函数与函数y=6-2xy=6-2x的交点个数的交点个数如图可知，只有一如图可知，只有一个交点，即方程只个交点，即方程只有一根有一根. .方法二：方法二： 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线断的一条曲线, ,并且有并且有f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,那么那么, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点. .求方程求方程2 2-x-x =x =x的根的个数，并确定根所在的区的根的个数，并确定根所在的
17、区间nn，n+1(nZ)n+1(nZ) 解：解：求方程求方程 的根的个数，即求方程的根的个数，即求方程 的根的个数，即判断函的根的个数，即判断函数数 与与 的图象交点个数的图象交点个数. .由图可由图可知只有一解知只有一解. .y=x y=x 1 1Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y估算估算f(xf(x) )在各整数处的取值的正负：在各整数处的取值的正负：令令由上表可知，方程的根所在区间为由上表可知，方程的根所在区间为x x0 01 12 23 3f(xf(x) ) + +. . . . .无数个无数个（）（）（）3.3.函数函数f(xf(x)=x)=x3 3+x-1+x-1在下列哪
18、个区间内有零点（在下列哪个区间内有零点（ ) ) A.(-2A.(-2，-1) B.(0-1) B.(0，1) 1) C.(1C.(1，2) D.(22) D.(2，3)3)B B4.(20104.(2010天津高考天津高考) )函数函数f(xf(x)=2)=2x x+3x+3x的零点所在的一个的零点所在的一个区间是区间是( )( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)(C)(0,1) (D)(1,2)【解析解析】选选B B，f(xf(x)=2)=2x x+3x,f(-1)=- +3x,f(-1)=- 0,0,f(0)=1f(0)=10,0,故选故选B B方程有实数根方程有实数根 函数的图象与函数的图象与 轴有交点轴有交点 函数有函数有零点零点. .如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。
