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1、CAD支撑软件工程技术研究中心支撑软件工程技术研究中心课时：32教师：王书亭电话：电话： emailemail： 办公室：西楼办公室：西楼A614A614室室二阶线性偏微分方程的一般形式为：二阶线性偏微分方程的一般形式为：二阶线性偏微分方程的一般形式为：二阶线性偏微分方程的一般形式为：对于变量 和 给定的值 和 若为为为为椭圆型椭圆型椭圆型椭圆型偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程若若为为为为双曲型双曲型双曲型双曲型偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程为为为为抛物型抛物型抛物型抛物型偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程 二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含有两个以上自变量的二
2、阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含有两个以上自变量的二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含有两个以上自变量的二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含有两个以上自变量的非线性高阶偏微分方程。非线性高阶偏微分方程。非线性高阶偏微分方程。非线性高阶偏微分方程。3有限差分法有限差分法一、典型的偏微分方程介绍一、典型的偏微分方程介绍1.椭圆型方程椭圆型方程:在研究有热源稳定状态下的热传导，在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson方程方程Laplace方程方程Poisson方程方程 42.抛物型方程抛物型
3、方程 热传导方程热传导方程热传导方程热传导方程: :在研究热传导过程、气体扩散现在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。这类方程论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。中最简单、最典型的是热传导方程。 其中其中a a是常数。是常数。它表示长度为它表示长度为L L的细杆内，物体温度分布的规律的细杆内，物体温度分布的规律 53双曲型方程双曲型方程波动方程波动方程( (波的传播、物体的振动波的传播、物体的振动) )它表示长度为它表示长度为L L的弦振动的
4、规律。的弦振动的规律。 6二、定解问题二、定解问题决定方程唯一解所必须给定的决定方程唯一解所必须给定的初始条件初始条件初始条件初始条件和和边界条件边界条件边界条件边界条件叫做定解条件叫做定解条件. .定解条件由实际问题提出定解条件由实际问题提出. .解条件解条件 抛物型方程边界条件的提法应为物体在端点的温度抛物型方程边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即边界条件分布为已知，即边界条件7双曲型方程初始条件表示弦在两端振动规律为已知：双曲型方程初始条件表示弦在两端振动规律为已知：8nPoisson方程反应稳定状态的情况，与时间无关，所以不需要提初始条件。边界条件的提法为：n其中 (x,
5、y)为已知边界，s是区域D的边界。 9 基本思想基本思想基本思想基本思想：使用离散的、只含有限个未知数的差分方程去近似代替连续变量的微分方程及边值条件，并将相应的差分方程解作为(初)边值问题的近似解。偏微分方程的有限差分方法偏微分方程的有限差分方法10u计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，计算机只能作有限次的加、减、乘、除运算，它既不能求导数，更不能解偏微分方程它既不能求导数，更不能解偏微分方程它既不能求导数，更不能解偏微分方程它既不能求导数，更不能解偏微分方程u如果想在计算机上求得微分方程数值解，它的如果想在
6、计算机上求得微分方程数值解，它的如果想在计算机上求得微分方程数值解，它的如果想在计算机上求得微分方程数值解，它的主要做法是主要做法是主要做法是主要做法是u把偏微分方程中所有的偏导数分别用差商代替u从而得到一个代数方程组差分方程组u然后对差分方程求解，并以所求的解作为偏微分方程数值解4.1 差分法简介差分法简介11 在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，x=y=h，如图。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，如在-上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点处，函数f可展为泰勒级数如下：12 我们将只考虑离开结点充分近的那些结点
7、，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：在结点，x=x0-h, 在结点1, x=x0+h，代入(b) 得：13联立(c),(d),解得差分公式： 同理，在网线-上可得到差分公式14 差分公式(-)及(-)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。15
8、 以上(-)(-)是基本差分公式,从而可导出其它的差分公式如下：16 因此需要对区域进行剖分，用网格点来代替连续区因此需要对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，所以差分法亦称域，所以差分法亦称“网格法网格法网格法网格法”。0xy17 把整体分割成若干个单元来处理问题的把整体分割成若干个单元来处理问题的方法在数学上称为方法在数学上称为“离散化方法离散化方法” 。 在结点上采用离散化方法（数值差分、在结点上采用离散化方法（数值差分、数值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边数值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值问题化成关于离散变量的相应问题，这个值问题化成关于离散变量的相应问题，这个相应问题的解就
9、是方程在点相应问题的解就是方程在点xi上的数值解上的数值解f(x)，或在点（，或在点（xi,ti）上的数值解）上的数值解U( xi,ti)。 一般来说，不同的离散化导致不同的方一般来说，不同的离散化导致不同的方法。法。18例：取一边长为例：取一边长为1 1的正方形均匀薄板，上下侧面绝热，的正方形均匀薄板，上下侧面绝热，四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。u=0u=0u=00xyLaplace方程第一边值问题方程第一边值问题19记记u在这些点满足方程在这些点满足方程20得到得到u(i,k)的近似的近似ui,k，所满足的线性代数方程组：，所满足的线性代数
10、方程组： 其中其中 用迭代法来解方程组用迭代法来解方程组 21简单迭代法简单迭代法高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法22表4.1表4.200000k=400000000.35400.707k=300.1510.3540.4530.70700.2500.751k=200.250.4270.751000.35400.707k=100.1510.3540.4530.70700000k=000000i=0i=1i=2i=3i=4u(0)23000000.7070.4530.2580.151010.583 0.4270.182 00.7070.453 0.2580.151000000表表4.3i=0i=1
11、i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=424000000.7070.4530.2580.151010.573 0.3860.182 00.7070.3810.2430.134000000表表4.4i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=425用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题：用差分法解偏微分方程需要考虑三个问题： 1 1选用网格，将微分方程离散化为差分方程。选用网格，将微分方程离散化为差分方程。2 2当网格步长当网格步长h0时差分方程的准确解是否时差分方程的准确解是否收敛于微分方程的解？收敛于微分方程的解？ 3 3如何解相应的代数方程组？如何解相应的代数方程组？
12、264.2 4.2 4.2 4.2 椭圆型方程的差分解法椭圆型方程的差分解法椭圆型方程的差分解法椭圆型方程的差分解法 椭圆型方程最简单的典型问题就是椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程 27考虑泊松方程第一边值问题：考虑泊松方程第一边值问题：28区域的矩形网格剖分区域的矩形网格剖分区域的矩形网格剖分区域的矩形网格剖分也可引入非均匀的矩形网格。yxo 两组网线的交点 称为节点，记为 或 (i,j)。设设 为为xy平面上一有界区域平面上一有界区域，为其边界，为其边界，是分段光滑曲线。是分段光滑曲线。正则内点正则内点非正则内点
13、非正则内点边界点边界点29（二）（二）五点差分格式五点差分格式现在假设现在假设（i，k）为为正则内点正则内点。沿着。沿着x，y轴方向分别用轴方向分别用二阶中心差商二阶中心差商代替代替uxx，uyy，则得则得若以若以uh，fh表示表示网函数网函数，记记30则差分方程可简写成：则差分方程可简写成： 利用利用Taylor展式展式31这四个式子两两相加便有：这四个式子两两相加便有： 32于是可得差分方程的截断误差于是可得差分方程的截断误差 33因为上述差分方程中只出现网格函数u在 (i, j)点及其上、下、左、右四个邻点上的值，故称之为五点差分格式。当 p(x,y)=1,q(x,y)=0时，方程(1.
14、1)就是Poisson方程：若用正方形矩形网格剖分区域，即 ，则(1.6)求解Poisson方程的差分格式(1.5)简化为34 若为矩形区域，且a=b，则 M=N=a/h 。利用边界条件(1.2)，则可将(1.6) 写成如下形式(1.7)I为N1 阶单位矩阵，而B为N1阶矩阵；其中 定义H为 阶矩阵。35（三）非正则内点（三）非正则内点处理处理 （1）直接转移法直接转移法对对（xi,yk） ，用边界上距离这点最近的点的值，用边界上距离这点最近的点的值作为作为（xi,yk）的值，即的值，即36（2）线性插值法线性插值法641352h137则则u在这些点上的值有近似关系：在这些点上的值有近似关系：
15、38（3）列不等距差分方程列不等距差分方程f1为为f在在1点的值点的值。391 1、矩形域上边界条件的处理、矩形域上边界条件的处理、矩形域上边界条件的处理、矩形域上边界条件的处理 第二类或第三类边界条件第二类或第三类边界条件第二类或第三类边界条件第二类或第三类边界条件，则需在这些边界点上单独列出差分方程。 第一类边界条件第一类边界条件第一类边界条件第一类边界条件，只需将直接带入在内点列出的差分方程。( (四四四四) ) 边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理40 如果是一般的二维区域，边界是分段光滑曲线，则临近边界的网格点不一定在网线的交点上；边界的法线方向不一定是水平或垂直
16、方向。第一类边界条件第一类边界条件第一类边界条件第一类边界条件，有以下两种方法：（1 1）直接转移）直接转移）直接转移）直接转移（2 2）线性插值）线性插值）线性插值）线性插值 第二类或第三类边界条件第二类或第三类边界条件第二类或第三类边界条件第二类或第三类边界条件，主要考虑如何逼近法向导数。这时分两种情况：2 2、非矩形域上边界条件的处理、非矩形域上边界条件的处理、非矩形域上边界条件的处理、非矩形域上边界条件的处理41 如果外法线方向与坐标轴平行，用单侧差商逼近方向导数，也可以用处理矩形区域的方法列出邻近边界的网点上的差分方程。用单侧差商逼近 x方向和 y方向的导数，然后列出边界网点上的差分
17、方程。（1 1）邻近边界的网格点）邻近边界的网格点）邻近边界的网格点）邻近边界的网格点 位于位于位于位于 上上上上（2 2）邻近边界的网格点）邻近边界的网格点）邻近边界的网格点）邻近边界的网格点 不在不在不在不在 上上上上由 可以采用直接转移法近似处理，即将边界条件用于邻近边界的网格点，然后再在该点列出差分方程。 如果外法线方向与坐标轴不平行，其方向余弦是 。42STRPn43 若用(i,j)点上、下、左、右四个邻点 (i-1,j+1)、(i+1,j-1)、(i-1,j-1)及(i+1,j+1) 构造Poisson方程的差分格式，可以得到另一种五点格式：(1.8) 将上述两种五点格式组合，可以
18、得到求解Poisson方程的九点差分格式：(1.9)其局部截断误差达到 。442 2 用积分插值法构造差分格式用积分插值法构造差分格式用积分插值法构造差分格式用积分插值法构造差分格式3 3 差分格式的稳定性和收敛性差分格式的稳定性和收敛性差分格式的稳定性和收敛性差分格式的稳定性和收敛性4 4 差分方程求解的一些方法差分方程求解的一些方法差分方程求解的一些方法差分方程求解的一些方法 交替方向迭代法 多重网格法 预处理共轭梯度法454.34.3抛物型方程的差分解法抛物型方程的差分解法抛物型方程的差分解法抛物型方程的差分解法 抛物型方程是指如下形式的方程：抛物型方程是指如下形式的方程： 很多实际的物
19、理问题都可以用这类方程描述：很多实际的物理问题都可以用这类方程描述：热传导方程热传导方程46现以热传导方程为例，介绍抛物型方程的现以热传导方程为例，介绍抛物型方程的有限差分格式有限差分格式有限差分格式有限差分格式。设热传导方程：设热传导方程：定解条件定解条件(1)(2)求求（1）满足满足（2）的解。的解。474.3.1 矩形网格矩形网格用两组平行直线族用两组平行直线族xj=jh, , tk=k (j=0, 1,，k=0， 1,)构成的矩形构成的矩形网覆盖了网覆盖了xt平面，网格点平面，网格点（xj,tk）称为结点，简记为称为结点，简记为（j,k），h、 为常数，分别为常数，分别称为称为空间步长
20、及时间步长空间步长及时间步长空间步长及时间步长空间步长及时间步长，或称或称h为沿为沿x方向的步长，称方向的步长，称 为沿为沿t方向的步长，方向的步长，N为正整数。在为正整数。在t=0上的结点称为边界结点，其余所有属于上的结点称为边界结点，其余所有属于内的结点称为内部结点。内的结点称为内部结点。txoh (xj,tk)484.3.2古典差分格式古典差分格式于平面区域于平面区域 上考虑传导方程：上考虑传导方程： a 为正常数为正常数 （3） (4)49于结点于结点（j,k）处偏导数与差商之间有如下近似的关系：处偏导数与差商之间有如下近似的关系：利用上述表达式得到利用上述表达式得到 LU 在在 (j
21、,k)处的关系式：处的关系式： (5)50视为视为 u(xj,tk)的近似值的近似值。 令令，j=1,2,N 1；k=0,1,2,则有：则有：（6）差分方程差分方程（6）称为解热传导方程称为解热传导方程（3）的古典显格式，的古典显格式，它所用到的结点如下图：它所用到的结点如下图：51将将（6）写成便于计算的格式：写成便于计算的格式：（7）称为称为网比网比网比网比，利用，利用（7）及初边值条件及初边值条件（4）在网格上的值在网格上的值（8）即可算出即可算出k=1,2,，各层上的值各层上的值 。截断误差阶为截断误差阶为 0( + h2)。 52为了提高截断误差的阶，可以利用中心差商：为了提高截断误
22、差的阶，可以利用中心差商：j=1,2,N 1；k=0,1,2,（9）得到得到Richardson格式，其结点图为：格式，其结点图为： * * * * （j, k） *53截断误差阶为截断误差阶为o( 2+h2)，较古典显格式高较古典显格式高。将将（9）式改写成适于计算的形式：式改写成适于计算的形式：j=1,2,N 1；k=1,2,r=a /h2称为网比，（称为网比，（10）式中出现了三层网格上的值，式中出现了三层网格上的值，（10）才能逐层计算。才能逐层计算。故需要事先求得第故需要事先求得第k1层的值层的值 和第和第k层的值层的值,54如果利用向后差商如果利用向后差商 j=1,2,N 1；k=
23、0,1,2,(11)(12)j=1,2,N 1；k=0,1,2,古典隐格式古典隐格式古典隐格式古典隐格式，其结点图为：，其结点图为： （j,k）*截断误差为截断误差为o( + h2)，与古典显格式相同。，与古典显格式相同。 554.3.3六点对称格式六点对称格式取该点的中心差商，从而取该点的中心差商，从而对于方程对于方程（3）式式，在在点列方程点列方程， ，a 为正常数为正常数 （3） 56将以上各式代入将以上各式代入（3）式得到差分方程：式得到差分方程： 57整理整理, ,得得 此即六点对称格式，也称为此即六点对称格式，也称为Crank-Nicolson格式，所用结点图为：格式，所用结点图为
24、： *k+1*kj+1j j 1（13） 584.3.4 稳定性稳定性（1）当步长无限缩小时，差分方程的解是否逼近于微分方程当步长无限缩小时，差分方程的解是否逼近于微分方程（2）计算过程中产生的误差在以后的计算中是无限增加，计算过程中产生的误差在以后的计算中是无限增加，还是可以控制？（稳定性）还是可以控制？（稳定性）的解？（收敛性）的解？（收敛性）稳定性问题是研究抛物型差分方程的一个中心课题！稳定性问题是研究抛物型差分方程的一个中心课题！稳定性问题是研究抛物型差分方程的一个中心课题！稳定性问题是研究抛物型差分方程的一个中心课题！ 59考察考察 Richardson格式的稳定性格式的稳定性。 用
25、用 表示计算表示计算 所产生的误差，如果右端所产生的误差，如果右端 无误差存在，无误差存在，则则 满足：满足：取取（14）假设假设k - 1层之前无误差存在。即层之前无误差存在。即 ，而在第，而在第k层产生了层产生了误差误差。 ，这一层其它点也无误差，而且在计算过程这一层其它点也无误差，而且在计算过程中不再产生新的误差，利用（中不再产生新的误差，利用（14）式算出误差）式算出误差 的传播如下表：的传播如下表： 60 r=时时 Richardson格式的误差传播格式的误差传播 jj04j03j02j01j0j0+1j0+2j0+3j0+4k -2 -4 7 4 -6 17 -24 17 -6 -
26、8 31 -68 89 -68 31 -8 -10 49 -144 277 -388 277 -144 49 -10 71 -260 641 -109 1311 -109 641 -260 71 61 r 1/2时古典显格式的误差传播时古典显格式的误差传播 jj04j03j02j01j0j0+1j0+2j0+3j0+4k 0.5 0 0.5 0.25 00.5 00.25 0.125 00.375 00.375 00.125 0.0625 00.25 00.375 00.25 00.0625 如果选用如果选用 r= 时的古典显格式，误差方程为时的古典显格式，误差方程为：62差分格式关于初值稳定
27、的实际含义是：如果其解差分格式关于初值稳定的实际含义是：如果其解在某一层存在误差，则由它引起的以后各层上的误差不在某一层存在误差，则由它引起的以后各层上的误差不超过原始误差的超过原始误差的M倍（倍（M为与为与 无关的常数）。无关的常数）。因此，在稳定的条件下，只要初始误差足够小，因此，在稳定的条件下，只要初始误差足够小，以后各层的误差也能足够小。以后各层的误差也能足够小。以上构造的几种差分格式中，以上构造的几种差分格式中，古典显格式：古典显格式：r1/2时稳定时稳定古典隐格式：绝对稳定古典隐格式：绝对稳定Richardson格式：绝对不稳定格式：绝对不稳定六点对称格式：绝对稳定。六点对称格式：
28、绝对稳定。稳定性概念稳定性概念稳定性概念稳定性概念：634.4双曲型方程的差分解法双曲型方程的差分解法一阶线性双曲型方程最简单的形式为一阶线性双曲型方程最简单的形式为（4.4.1)当给定初始条件当给定初始条件(4.4.2)以后，容易验证，双曲型方程以后，容易验证，双曲型方程(8.4.1)的解为：的解为：(4.4.3)64也就是说，在平面也就是说，在平面x t上，沿着上，沿着（k是常数是常数）这样的直线，这样的直线，u 的值保持不变。这种直线叫做的值保持不变。这种直线叫做特征线特征线特征线特征线。 0xta00xta0时，波形时，波形 （x）沿沿x轴方向传播轴方向传播，为右传播波为右传播波，a0
29、时，恒有时，恒有 ，格式，格式（4.4.7）不稳定不稳定 ；当当a0且且ar 1时时， ，格式格式（4.4.7）稳定稳定。格式格式（8.4.8）在在a0且且ar 1时稳定。时稳定。将迎风格式写为统一形式：将迎风格式写为统一形式： 稳定性条件为：稳定性条件为：(4.4.9)71b)Lax-Friedrichs格式格式该格式构造于该格式构造于1954年，用到年，用到的技巧，截断误差为的技巧，截断误差为 ： 节点分布节点分布图：图： * * （j,n）(4.4.10)72传播因子传播因子 时稳定时稳定。当当时时，即格式即格式（4.4.10）在在73c）Lax-Wendroff格式格式 * * （j,
30、n）设设是方程的光滑解，将是方程的光滑解，将在点在点处做处做Taylor展开展开注意注意代入前式，可得代入前式，可得74c）Lax-Wendroff格式格式截断误差为截断误差为 节点分布图：节点分布图： * * （j,n）传播因子传播因子当当 时有时有 ，即格式在，即格式在 条件下稳定。条件下稳定。 75d）古典隐式格式古典隐式格式ut用向后差商代替用向后差商代替，ux用中心差商代替用中心差商代替得得截断误差为：截断误差为： 传播因子：传播因子：对任意的网格比，均有对任意的网格比，均有 ，故古典隐格式绝对稳定。，故古典隐格式绝对稳定。76e）Grank-Nicholson格式格式在在（ ）处展
31、开，由处展开，由及中心差商以式而得到：及中心差商以式而得到：截断误差为截断误差为 ：绝对稳定绝对稳定774.4.3二阶双曲型方程的差分格式二阶双曲型方程的差分格式直接构造方程直接构造方程 的差分格式的差分格式 utt,uxx均用中心差商代替之，得均用中心差商代替之，得其中网格比其中网格比 : :截断误差截断误差 78b）隐格式隐格式利用关系利用关系可得三层隐式格式：可得三层隐式格式： 截断误差截断误差 : :绝对稳绝对稳定定794.5 应力函数的差分解 当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求
32、解之。80 一旦求得弹性体全部节点的值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。81 可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：一、建立差分方程 将（1-68）代入双调和方程 对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。整理即得82 二、联立求解这些线性代数方程，就能求得各内结点处的值。 为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即： 一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及边界上各结点处的值，并包含边界外一行的虚结点处的值。83代入上式，即得： l1=cos(N,x)=cos
33、=dy/ds, l2=cos(N,y)=sin=-dx/ds,于是，式（a）可改写为：由右图可见，84关于边界上任一点处由此得： 的值，可将（b）式从A点到B点对s积分得到：85 将此式亦从A点到B点沿s进行积分，就得到边界上任一点B处的值。为此利用分部积分法，得： 由高等数学可知，86将式(b),(c)代入，整理得： 由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得由式(d)及式(c)可见，设即可根据面力分量及导数求得为已知，87 从图易看出，式（23）右边的积分式表示A与B之间的x方向的面力之和；式（24）右边的积
34、分式表示A与B之间的y方向的面力之和；式（25）右边的积分式表示A与B之间的面力对于B点的矩。于是式(d)，式(c)即简化为：88 至此，我们解决了怎样计算边界上各结点的值的问题。 至于边界外一行虚结点处 的值，则可用边界上结点处的 或 值和边界内一行相应结点处 的值来表示。例如，对于图1中的虚结点14，因为有 89所以有 当求出全部结点上的值以后，我们就可按应力分量的差分公式（21）计算应力分量。 用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行： （1） 在边界上任意选定一个结点作为基点A，取90 然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于边界方向的
35、导数值。 （2）应用公式（26），将边界外一行虚结点处的值用边界内的相应结点处的值来表示。 （3）对边界内的各结点建立差分方程（22），联立求解这些结点处的值。 （4）按照公式（26），算出边界外一行的各虚结点处的值。91（5）按照公式（21）计算应力的分量。说明： 1以上是针对单连体导出的结果。对于多连体，情况就不象这样简单。 2. 如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（22）必须加以修正。924.6 例 深梁的应力函数差分解 现以如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷
36、载q，并由下角点处的反力维持平衡。93(1）计算边界上各结点的 、 和 值。取A为基点，且由上面公式所得的计算结果见下表。94（2）计算边界外以行各虚结点处的值。由式（2-6）及前表可得95(3）边界内各结点的差分方程,由式（2-2）可知96联立求解上式，可得（以qh2为单位 ) （4）计算结点外一行各结点处的值。由(a)、(b)、(c)可得（5）计算应力。对于结点M，由式（1）可知 97同理可得 沿着梁的中线MA，的变化如下图和右图所示。 98差分方法的优缺点n优点： 1.差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法； 2.差分法简便易行； 3.对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析；n缺点： 1.对于曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格的处理，比较麻烦和易于出错； 2.比较比较适用于求解二维问题或平面问题； 3.比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需要采用二次网格进行计算。99课堂作业课堂作业用差分法计算下图中用差分法计算下图中A A和和B B点的应力分量点的应力分量。FFBAaa234165XY7100
