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1、8.5空间向量及其运算第八章立体几何数学数学 苏苏（理）（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模的向量ab相反向量方向 且模的向量a的相反向量为a01相同相等相反相等共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量ab共面向量平行于同一个的向量平行或重合平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，a与b共线的充要条件是存在实数，使得.其中a叫直线l的方向向量，tR，ba(1t)t1xa
2、+yb(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.xe1ye2ze33.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b.交换律：abba.分配律：a(bc)abac.(ab)4.空间向量的坐标表示及应用向量表示坐标表示数量积ab共线ab(b0)垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，bu
3、思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()(6)|a|b|ab|是a、b共线的充要条件.()题号答案解析1234 解析解析思维升华思维点拨题型一空间向量的线性运算题型一空间向量的线性运算利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可.题型一空间向量的线性运算题型一空间向量的线性运算解析思维升华思维点拨题型一空间向量的线性运算题型一空间向量的线性运算解析思维升华思维点拨题型一空间向量的线性运算题型一
4、空间向量的线性运算解析思维升华思维点拨用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.题型一空间向量的线性运算题型一空间向量的线性运算解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F
5、、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；证明连结BG，解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理
6、题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；解析思维升华思维点拨题型二共线定理、共面定理题型二共线定理、共面定理的应用的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；解析思维升华思维点拨解析思维升华例2(2)求证：BD平面
7、EFGH；思维点拨例2(2)求证：BD平面EFGH；解析思维升华思维点拨例2(2)求证：BD平面EFGH；所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.解析思维升华思维点拨例2(2)求证：BD平面EFGH；解析思维升华思维点拨例2(2)求证：BD平面EFGH；解析思维升华思维点拨例2(2)求证：BD平面EFGH；解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨证明找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.解析思维升华思维点拨即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.解析思维升华思维点拨解析思维升华思
8、维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华思维点拨跟踪训练2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为 .跟踪训练2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为 .且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD.平行题型三空间向量数量积的应用题型三空间向量数量积的应用解析思维升华题型三空间向量数量积的应用题型三空间向量数量积的应用解a(1,1,0)，b(1,0,2)
9、，ab(1,1,0)(1,0,2) 1，解析思维升华题型三空间向量数量积的应用题型三空间向量数量积的应用即向量a与向量b的夹角的余弦值为.解析思维升华题型三空间向量数量积的应用题型三空间向量数量积的应用(1)利用向量的数量积可证明直线的垂直关系；也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；解析思维升华题型三空间向量数量积的应用题型三空间向量数量积的应用(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.解析思维升华解析思维升华例3(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.例3(2)若kab与ka2b互相垂
10、直，求实数k的值.解方法一kab(k1，k,2).ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，解析思维升华例3(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.当kab与ka2b互相垂直时，解析思维升华例3(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.(ka b)(ka 2b)k2a2kab2b22k2k100，解析思维升华例3(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.(1)利用向量的数量积可证明直线的垂直关系；也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面
11、角；解析思维升华例3(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.解析思维升华跟踪训练3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.跟踪训练3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；跟踪训练3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MNA
12、B，MNCD；同理可证MNCD.(2)求MN的长；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.易错警示系列易错警示系列11“两向量同向两向量同向”意义不清致误意义不清致误解 析易 错 分 析 温 馨 提 醒典例：已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为.将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：a、b方向相同或相反.解 析易 错 分 析 温 馨 提 醒解 析易 错 分 析 温 馨 提 醒把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1当x2时
13、，y6；当x1时，y3.解 析易 错 分 析 温 馨 提 醒两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.答案1,3(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足ab(b0)且0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.解 析易 错 分 析 温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹
14、角问题.3.利用向量解立体几何题目的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.失 误 与 防 范1.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立.2.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.2345678910123456789101解析取BD的中点F，连结EF，234567891012.如果三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a,3，b2)在同一条直线上，则a，b的值分别为.3,2234567891013.已知a，b是异面直
15、线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于.所以异面直线a，b所成的角等于60.60234567891014.空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)(填“在”或“不在”)同一平面内.假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y，23456789101由得xy1，代入式不成立，矛盾.假设不成立，故四点不共面.答案不在23456789101则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.23456789101345678910126.已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c
16、为方向向量的两直线的夹角为.解析由题意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，b，c120，两直线的夹角为60.60345678910127.如图，在空间四边形OABC中，若OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值为.345678910123456789101234567891012a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.方法二如图，在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.答案0345678910129.已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2
17、,2).(1)求|2ab|；解a(1，3,2)，b(2,1,1)，2ab(0，5,5)，34567891012解假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，即(x3，y1，z4)(1，1，2)，34567891012590，10.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；34567891012则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，34567891012a2b2c22(abbcca)(2)求BD1与AC夹角的余弦值.34567891012b2a2acbc1.34567891012234511.设向量a、b
18、、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是.ab，ba，a;ab，ba，b；ab，ba，c;abc，ab，c.23451答案234512.以下命题中，正确的命题个数为.若a，b共线，则a与b所在直线平行；若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；若空间向量m、n、p满足mn，np，则mp；23451解析由共线向量知a与b所在直线可能重合知错；若ab，bc，ca共面，则存在实数x，y，使abx(bc)y(ca)yaxb(xy)c，a，b，c不共面，y1，x1，xy0，x，y无解，ab，bc，ca能构成空间的一个基底，正确；由向量相等的定义知正确；23451由共面向量
19、定理的推论知，当xyz1时，P，A，B，C四点共面，错.答案2234513.已知e1、e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角为.解析由题意知，|e1|e2|1，23451所以ae1e2与be12e2的夹角为120.答案120234514.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5).解由题意可得：2345123451解设a(x，y，z)，23451向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1).234515. 如图，直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点.(1)求证：CEAD；根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，2345123451(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.23451
