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1、1六年级数学奥数习题讲义-第 40 讲 不定方程一、知识要点一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程.如5x3y9 就是不定方程.这种方程的解是不确定的.如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了.如 5x3y9 的解有:x2.4 x2.7 x3.06 x3.6y1 y1.5 y2.1 y3如果限定 x、y 的解是小于 5 的整数,那么解就只有 x3,Y2 这一组了.因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响.解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内
2、试验求解.解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数.对于有 3 个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解.解答应用题时,要根据题中的限制条件（有时是明显的,有时是隐蔽的）取适当的值.二、精讲精练二、精讲精练【例题例题 1】1】求 3x+4y23 的自然数解.先将原方程变形,y.可列表试验求解:233x4X1234567Y52所以方程 3x+4y23 的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习练习 1 11、求 3x+2y25 的自然数解.22、求 4x+5y37 的自然数解.3、求 5x3y16 的最小自然数解.【例题例题 2】2】求
3、下列方程组的正整数解.5x+7y+3z253xy6z2这是一个三元一次不定方程组.解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例 1 那样的不定方程.5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+,得 13x+13y52 X+y4 把式变形,得 y4x.因为 x、y、z 都是正整数,所以 x 只能取 1、2、3.当 x1 时,y3当 x2 时,y2当 x3 时,y1把上面的结果再分别代入或,得 x1,y3 时,z 无正整数解. x2,y2 时,z 也无正整数解. x3 时,y1 时,z1.所以,原方程组的正整数解为 x1 y1 z13练习练习 2 2求下面方程组的自然数解.1、4x+3
4、y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例题例题 3】3】一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装 12 个,每个小盒子装 5 个,恰好装完.如果弹子数为 99,盒子数大于 9,问两种盒子各有多少个?两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解.设大盒子有 x 个,小盒子有 y 个,则 12x+5y99（x0,y0,x+y9） y（9912y）5经检验,符合条件的解有: x2 x7y15 y3所以,大盒子有 2 个,小盒子有 15 个,或大盒子有 7 个,小盒子有 3 个.4练习练习
5、 3.3.1、某校 6（1）班学生 48 人到公园划船.如果每只小船可坐 3 人,每只大船可坐 5 人.那么需要小船和大船各几只?（大、小船都有）2、甲级铅笔 7 角钱一枝,乙级铅笔 3 角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝?3、小华和小强各用 6 角 4 分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是 5 分一枝和 7 分一枝的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?【例题例题 4】4】买三种水果 30 千克,共用去 80 元.其中苹果每千克 4 元,橘子每千克 3 元,梨每千克 2 元.问三种水果各买了多少千克?设苹果买了 x 千克,橘子买了 y 千克,梨买了（3
6、0xy）千克.根据题意得: 4x+3y+2（30xy）82 x10y2由式子可知:y20,则 y 必须是 2 的倍数,所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、14、16、18.因此,原方程的解如下表:苹果987654321橘子24681012141618梨1918171615141312115练习练习 4 41、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的 9 倍,蓝皮球有多少只?2、用 10 元钱买 25 枝笔.已知毛笔每枝 2 角,彩色笔每枝 4 角,钢笔每枝 9 角.问每种笔各买几枝?（每种都要买）3、晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张 8 分,荧光纸每张
7、1 角,高级纸每张 2 角.她一共用了一元两角两分钱.那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张?【例题例题 5】5】某次数学竞赛准备例 2 枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生.原计划一等奖每人发 6 枝,二等奖每人发 3 枝,三等奖每人发 2 枝.后又改为一等奖每人发 9 枝,二等奖每人发 4 枝,三等奖每人发 1 枝.问:一、二、三等奖的学生各有几人?设一等奖有 x 人,二等奖有 y 人,三等奖有 z 人.则 6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2,得 12x+5y22 y x12212x5x 只能取 1.Y2,代入得 z5,原方程的解为 y2z5所以,一等奖的学生有 1 人,二等奖的学生有 2 人,三等奖的学生有 5 人.6练习练习 5 51、某人打靶,8 发打了 53 环,全部命中在 10 环、7 环和 5 环.他命中 10 环、7 环和 5 环各几发?2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋 30 个,价值 24 元.已知煮蛋每个 0.60 元,茶叶蛋每个1 元,皮蛋每个 1.20 元.问篮子里最多有几个皮蛋?3、一头猪卖 3 个银币,一头山羊卖 1 个银币,一头绵羊买 个银币.有人用 100 个银币121312卖了这三种牲畜 100 头.问猪、山羊、绵羊各几头?
