《高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教版选修2-1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教版选修2-1.ppt（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程曲线的方程和方程的曲线的定义曲线的方程和方程的曲线的定义前提前提一般地一般地, ,在直角坐在直角坐标系中系中, ,如果某曲如果某曲线C(C(看作点的集看作点的集合或适合某种条件的点的合或适合某种条件的点的轨迹迹) )上的点与一个二元上的点与一个二元方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0的的实数解建立了如下的关系数解建立了如下的关系: :条件条件曲曲线上点的坐上点的坐标都是都是_;_;以以这个方程的解个方程的解为坐坐标的点都是的点都是_结论这个方程就叫做曲个方程就叫做曲线的方程的方程; ;这条曲条曲线就叫做方程就叫做方程的曲的曲线这个方程
2、的解个方程的解曲曲线上的点上的点判断判断:(:(正确的打正确的打“”“”, ,错误的打的打“”)”)(1)(1)以方程以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解为坐坐标的点都在曲的点都在曲线上上, ,那么方程那么方程f(x,y)=0f(x,y)=0就是曲就是曲线的方程的方程.(.() )(2)(2)如果如果f(x,y)=0f(x,y)=0是某曲是某曲线C C的方程的方程, ,则曲曲线上的点的坐上的点的坐标都适都适合方程合方程.(.() )(3)x(3)x2 2+y+y2 2=1(x0)=1(x0)表示的曲表示的曲线是是单位位圆.(.() )提示提示: :(1)(1)错误错误. .曲线的方程
3、必须满足两个方面曲线的方程必须满足两个方面. .(2)(2)正确正确. .满足曲线的方程的定义满足曲线的方程的定义. .(3)(3)错误错误.x.x2 2+y+y2 2=1(x0)=1(x0)表示以表示以(0,0)(0,0)为圆心为圆心, ,以以1 1为半径的圆在为半径的圆在y y轴右侧的部分轴右侧的部分. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知识点拨知识点拨】曲线与方程的定义的三点说明曲线与方程的定义的三点说明(1)(1)纯粹性纯粹性: :定义中的条件定义中的条件, ,阐明曲线上没有坐标不是方程的阐明曲线上没有坐标不是方程的解解, ,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫
4、无例外也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外. .(2)(2)完备性完备性: :定义中的条件定义中的条件, ,阐明符合条件的所有解对应的点阐明符合条件的所有解对应的点都在曲线上而毫无遗漏都在曲线上而毫无遗漏. .(3)(3)实质实质: :定义的实质是平面曲线的点集定义的实质是平面曲线的点集M|P(M)M|P(M)和方程和方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解集的解集(x,y)|f(x,y)=0(x,y)|f(x,y)=0之间的一一对应关系之间的一一对应关系. .具体具体如下如下: :由曲线和方程的这一对应关系由曲线和方程的这一对应关系, ,既可以通过方程研究曲线的性既可以通过方程研究
5、曲线的性质质, ,又可以通过曲线求出曲线的方程又可以通过曲线求出曲线的方程. .类型类型 一一 曲线的方程与方程的曲线的概念曲线的方程与方程的曲线的概念 【典型例题典型例题】1.1.设方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解集非空的解集非空, ,如果命如果命题“坐坐标满足方程足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点都在曲的点都在曲线C C上上”是不正确的是不正确的, ,则下面命下面命题中正确的中正确的是是( () )A.A.坐坐标满足足f(x,y)=0f(x,y)=0的点都不在曲的点都不在曲线C C上上B.B.曲曲线C C上的点的坐上的点的坐标不不满足足f(x,y)=0f(x,y)=0C
6、.C.坐坐标满足足f(x,y)=0f(x,y)=0的点有些在曲的点有些在曲线C C上上, ,有些不在曲有些不在曲线C C上上D.D.一定有不在曲一定有不在曲线C C上的点上的点, ,其坐其坐标满足足f(x,y)=0f(x,y)=02.2.已知点已知点M( ,-m)M( ,-m)在方程在方程x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10表示的曲表示的曲线上上, ,求求实数数m m的的值. .【解题探究解题探究】1.1.在什么条件下才能判断方程是曲线的方程在什么条件下才能判断方程是曲线的方程, ,曲曲线是方程的曲线线是方程的曲线? ?2.2.点在方程所表示的曲线上的含义是什么点在方程所表示
7、的曲线上的含义是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.判断方程是曲线的方程判断方程是曲线的方程, ,曲线是方程的曲线时曲线是方程的曲线时, ,必须具备两必须具备两个条件个条件, ,即即曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;以这个方以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点程的解为坐标的点都是曲线上的点. .二者缺一不可二者缺一不可, ,是不可分是不可分割的整体割的整体. .2.2.点在方程表示的曲线上的含义是此点的坐标满足此曲线的点在方程表示的曲线上的含义是此点的坐标满足此曲线的方程方程, ,即把点的坐标代入方程成立即把点的坐标代入方程成立. .【解析解析】1.1.选选D
8、.“D.“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上”不正确不正确, ,就是说就是说“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点不都在曲线的点不都在曲线C C上上”是正确的是正确的. .这意味着一定有这样的点这意味着一定有这样的点(x(x0 0,y,y0 0),),虽然满足方程虽然满足方程f f(x(x0 0,y,y0 0)=0,)=0,但但(x(x0 0,y,y0 0) ) C,C,即一定有不在曲线即一定有不在曲线C C上的点上的点, ,其坐标满其坐标满足足f(x,y)=0,f(x,y)=0,故应选故应选D.D.2.2.点点M
9、( ,-m)M( ,-m)在方程在方程x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10表示的曲线上表示的曲线上, ,x= ,y=-mx= ,y=-m适合方程适合方程x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10,=10,即即( )( )2 2+(-m-1)+(-m-1)2 2=10,=10,解得解得m=2m=2或或m=m=故实数故实数m m的值为的值为2 2或或【拓展提升拓展提升】1.1.判断判断“方程是曲线的方程方程是曲线的方程”和和“曲线是方程的曲线曲线是方程的曲线”的方法的方法2.2.点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )与曲线与曲线C:f(x,y)=0C:f(x,y)=0的
10、关系的关系(1)(1)点点P P在曲线在曲线C C上上f(xf(x0 0,y,y0 0)=0.)=0.(2)(2)点点P P不在曲线不在曲线C C上上f(xf(x0 0,y,y0 0)0.)0.【变式式训练】“以方程以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解为坐坐标的点都是曲的点都是曲线C C上上的点的点”是是“曲曲线C C的方程是的方程是f(x,y)=0”f(x,y)=0”的的( () )A.A.充分条件充分条件 B.B.必要条件必要条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题指南解题指南】解决本题的关键是分清楚哪个是条件解决本题的关键是分清楚哪个
11、是条件, ,哪个是结哪个是结论论, ,然后考虑是否满足两个条件然后考虑是否满足两个条件. .【解析解析】选选B.“B.“曲线曲线C C的方程是的方程是f(x,y)=0”f(x,y)=0”“以方程以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解为坐标的点是曲线的解为坐标的点是曲线C C上的点上的点”, ,但满足但满足f(x,y)=0f(x,y)=0不能说明不能说明“f(x,y)=0”f(x,y)=0”为曲线方程为曲线方程. .类型类型 二二 曲线与方程的判定问题曲线与方程的判定问题 【典型例题典型例题】1.1.方程方程(x+y-1) =0(x+y-1) =0表示的曲表示的曲线是是( () )A.A.两
12、条互相垂直的直两条互相垂直的直线B.B.两条射两条射线C.C.一条直一条直线和一条射和一条射线D.D.一个点一个点(2,-1)(2,-1)2.2.下列方程表示如下列方程表示如图所示的直所示的直线C,C,对吗? ?为什么什么? ?(1) =0.(1) =0.(2)x(2)x2 2-y-y2 2=0.=0.(3)|x|-y=0.(3)|x|-y=0.【解题探究解题探究】1.1.必修必修2 2中接触到的曲线有哪些中接触到的曲线有哪些, ,它们对应的方它们对应的方程分别是什么程分别是什么? ?2.2.判断方程表示什么类型曲线一般先从哪里入手判断方程表示什么类型曲线一般先从哪里入手? ?探究提示探究提示
13、: :1.1.必修必修2 2中接触到的曲线主要有直线和圆中接触到的曲线主要有直线和圆, ,它们所对应的方程它们所对应的方程分别是分别是Ax+By+C=0(AB0),(x-a)Ax+By+C=0(AB0),(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. .2.2.判断方程表示何种曲线判断方程表示何种曲线, ,一般先把方程化为熟悉的类型一般先把方程化为熟悉的类型, ,如如直线、圆的方程形式直线、圆的方程形式. .【解析解析】1.1.选选C.(x+y-1) =0,C.(x+y-1) =0, 或或x-y-3=0,x-y-3=0,前者表示射线前者表示射线x+y-1=0(x2),x+y-1
14、=0(x2),后者表示一条直线后者表示一条直线. .2.(1)2.(1)不对不对, ,方程方程 =0=0中中, ,须须x0,y0.x0,y0.所以所以 =0=0表示直线表示直线C C中第一象限的部分中第一象限的部分. .(2)(2)不对不对. .方程方程x x2 2-y-y2 2=0=0可化为可化为x x2 2=y=y2 2即即|x|=|y|,|x|=|y|,它表示四个象限的角平分线即它表示四个象限的角平分线即y=x.y=x.(3)(3)不对不对. .方程方程|x|-y=0|x|-y=0可化为可化为y=|x|.y=|x|.如点如点(-1,1)(-1,1)满足方程满足方程, ,但不在直线但不在直
15、线C C上上. .【互互动探究探究】若把若把题1 1中的方程改中的方程改为(x+y-1)( -1)=0,(x+y-1)( -1)=0,表示什么曲表示什么曲线? ?【解题指南解题指南】解答本题解答本题, ,要注意题目中的隐含条件要注意题目中的隐含条件x-30.x-30.【解析解析】因为因为(x+y-1)( -1)=0,(x+y-1)( -1)=0,所以可得所以可得 或者或者 -1=0,-1=0,也就是也就是x+y-1=0(x3)x+y-1=0(x3)或或x=4.x=4.故方程表示一条射线和一条直线故方程表示一条射线和一条直线. .【拓展提升拓展提升】1.1.曲线与方程的判定技巧曲线与方程的判定技
16、巧(1)(1)若方程若方程f(x,y)=0f(x,y)=0无实数解无实数解, ,则与之对应的曲线是不存在的则与之对应的曲线是不存在的. .反之曲线不存在反之曲线不存在, ,则方程则方程f(x,y)=0f(x,y)=0无实数解无实数解. .(2)(2)判断点是否在曲线上判断点是否在曲线上, ,其实质就是判断点的坐标是否适合其实质就是判断点的坐标是否适合曲线的方程曲线的方程. .(3)(3)判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线, ,只要一一检验定义中的只要一一检验定义中的“两条性质两条性质”是否都满足是否都满足, ,并作出相应并作出相
17、应的回答即可的回答即可. .这是解决这是解决“曲线曲线”与与“方程方程”问题的关键问题的关键. .2.2.方程表示的曲线的判断步骤方程表示的曲线的判断步骤【变式式训练】方程方程 所表示的曲所表示的曲线图形是形是( () )A.A.两条两条线段段B.B.两条直两条直线C.C.两条射两条射线 D.D.一条直一条直线和一条和一条线段段【解析解析】选选A.A.原方程可化为原方程可化为1-|x|=1-y,1-|x|=1-y,即即y=|x|.y=|x|.又又1-y01-y0即即y1,y1,1-|x|01-|x|0即即-1x1,-1x1,方程表示如图所示的两条线段方程表示如图所示的两条线段. .类型类型 三
18、三 曲线的交点问题曲线的交点问题 【典型例题典型例题】1.1.若直若直线x-2y-2k=0x-2y-2k=0与与y=x+ky=x+k的交点在曲的交点在曲线x x2 2+y+y2 2=25=25上上, ,则k k的的值是是( () )A.1A.1 B.-1B.-1C.1C.1或或-1-1 D. D.以上都不以上都不对2.2.求直求直线y=x+3y=x+3被抛物被抛物线y=2xy=2x2 2截得的截得的线段的段的长度度. .【解题探究解题探究】1.1.怎样求曲线的交点怎样求曲线的交点? ?2.2.两点两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )之
19、间的距离公式是什么之间的距离公式是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.解两条曲线的方程联立的方程组解两条曲线的方程联立的方程组, ,可以求出曲线的交点可以求出曲线的交点. .2.2.若若P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),则则【解析解析】1.1.选选C.C.联立得方程组联立得方程组 解得交点为解得交点为(-4k,-3k),(-4k,-3k),代入圆的方程中代入圆的方程中. .即即(-4k)(-4k)2 2+(-3k)+(-3k)2 2=25,k=1.=25,k=1.2.2.方法一方法一: :由由 解得解得 或或即直线与抛物线的交点坐
20、标为即直线与抛物线的交点坐标为A(-1,2),B( ).A(-1,2),B( ).所截线段的长为所截线段的长为方法二方法二: :设直线设直线y=x+3y=x+3与抛物线与抛物线y=2xy=2x2 2的交点坐标为的交点坐标为A(xA(x1 1,y,y1 1),B),B(x(x2 2,y,y2 2),),则由方程组则由方程组得得2x2x2 2-x-3=0,0,-x-3=0,0,又又A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )都在直线都在直线y=x+3y=x+3上上, ,yy1 1=x=x1 1+3,y+3,y2 2=x=x2 2+3,y+3,y2 2-y-y1 1
21、=x=x2 2-x-x1 1, ,|AB|=|AB|= = =所截线段的长为所截线段的长为 . .【拓展提升拓展提升】1.1.求曲线交点的三个步骤求曲线交点的三个步骤2.2.两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系曲线曲线C C1 1,C,C2 2的方程分别为的方程分别为f(x,y)=0f(x,y)=0和和g(x,y)=0.g(x,y)=0.(1)(1)若若P(xP(x0 0,y,y0 0) )为为C C1 1,C,C2 2交点交点, ,则则(2)(2)交点的个数与交点的个数与 的解的组数相同的解的组数相同. .特别地特别地,C,C1 1与与C C2
22、 2没有公共点没有公共点 没有解没有解. .【变式式训练】已知两曲已知两曲线的方程的方程为C C1 1:2x-5y+5=0,C:2x-5y+5=0,C2 2:y=- ,:y=- ,判断两曲判断两曲线有无交点有无交点. .若有交点若有交点, ,求出交点坐求出交点坐标, ,若无交点若无交点, ,说明理由明理由. .【解题指南解题指南】两曲线的交点坐标即两曲线方程的公共解两曲线的交点坐标即两曲线方程的公共解, ,将两将两曲线方程联立方程组曲线方程联立方程组, ,方程组有几组解方程组有几组解, ,则两曲线就有几个交则两曲线就有几个交点点, ,故将两曲线交点问题转化为方程组解的个数问题故将两曲线交点问题
23、转化为方程组解的个数问题. .【解析解析】联立得方程组联立得方程组 由由,消去消去y y得得2x2x2 2+5x+50=0+5x+50=0,=25-42500,=25-42500;Cx0;C中中 =1 =1中中yR,x2,yR,x2,而而lg(y+1)=lg(x-2)lg(y+1)=lg(x-2)中中y-1,x2,y-1,x2,故只有故只有D D正确正确. .3.3.已知直已知直线l:x+y-3=0:x+y-3=0及曲及曲线C:(x-3)C:(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=2,=2,则点点M(2,1)(M(2,1)() )A.A.在直在直线l上上, ,但不在曲但不在曲线C C上
24、上B.B.在直在直线l上上, ,也在曲也在曲线C C上上C.C.不在直不在直线l上上, ,也不在曲也不在曲线C C上上D.D.不在直不在直线l上上, ,但在曲但在曲线C C上上【解析解析】选选B.B.因为点因为点M(2,1)M(2,1)适合于直线适合于直线x+y-3=0,x+y-3=0,也适合于曲也适合于曲线线(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=2,=2,所以点所以点M M在直线在直线l上上, ,也在曲线也在曲线C C上上. .4.4.已知已知02,02,点点P(cos,sin)P(cos,sin)在曲在曲线(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3=3上上, ,则的的
25、值是是. .【解析解析】因为因为P(cos,sin)P(cos,sin)在曲线在曲线(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3=3上上, ,(cos-2)(cos-2)2 2+sin+sin2 2=3.=3.整理得整理得cos= ,cos= ,又又02,=02,=答案答案: :5.5.方程方程(x(x2 2-4)-4)2 2+(y+(y2 2-4)-4)2 2=0=0表示的表示的图形是形是. .【解析解析】由由 得得 或或或或 或或 故方程故方程(x(x2 2-4)-4)2 2+(y+(y2 2-4)-4)2 2=0=0表示的图形是四个点表示的图形是四个点. .答案答案: :四个点四个点6.
26、6.判断下列判断下列说法是否正确法是否正确: :(1)(1)方程方程(x+y) =0(x+y) =0表示的曲表示的曲线是是圆或直或直线. .(2)(2)方程方程2x2x2 2+y+y2 2-4x+2y+3=0-4x+2y+3=0表示一个点表示一个点. .【解析解析】(1)(1)错误错误. .由由(x+y) =0(x+y) =0得得 或或x x2 2+y+y2 2-4=0,-4=0,前者表示直线前者表示直线y=-xy=-x在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4外的两条射线外的两条射线( (包括端点包括端点),),后者表示圆后者表示圆x x2 2+y+y2 2=4.=4.所以表示的是圆和两条射线所以表示的是圆和两条射线. .(2)(2)正确正确. .方程左边配方得方程左边配方得2(x-1)2(x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=0,=0,由由2(x-1)2(x-1)2 20,(y+1)0,(y+1)2 20,0,知知 解得解得故方程表示的图形是一个点且坐标是故方程表示的图形是一个点且坐标是(1,-1).(1,-1).
