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1、第四节 原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考1一、主要定理和定义一、主要定理和定义定理一定理一由定理一可知由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关, (如下页图如下页图)1. 两个主要定理两个主要定理:23定理二定理二证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.4由于积分与路线无关由于积分与路线无关,56由积分的估值性质由积分的估值性质,7 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕82. 原函数的定义原函数的定义:原函数之间的关系原函数之间
2、的关系: :证证9那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕103. 不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )11证证根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理,证毕证毕说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.12二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,13例例2 2解解(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)14
3、例例3 3此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”15例例4 4解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得课堂练习课堂练习答案答案16例例5 5解解17例例6 6解解所以积分与路线无关所以积分与路线无关, 根据牛根据牛莱公式莱公式:18三、小结与思考三、小结与思考 本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式. 在学习中应注意与高等数学中相关内容在学习中应注意与高等数学中相关内容相结合相结合, 更好的理解本课内容更好的理解本课内容.19思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异莱布尼兹公式有何异同同?20思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .21
