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1、总复习总复习（2）高等数学高等数学 A (A (一一) ) 1高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社五、五、五、五、 函数有界、极限、连续与可导的关系函数有界、极限、连续与可导的关系函数有界、极限、连续与可导的关系函数有界、极限、连续与可导的关系 收敛数列（函数）的性质收敛数列（函数）的性质(唯一性唯一性 , 有界性有界性 , 保号性保号性) 数列有界数列有界数列无界数列无界数列收敛数列收敛数列发散数列发散无穷大量无穷大量无界变量无界变量2高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社函数在函数在 x0 处极限存在处极限存在函数在函数在 x0 处有定义处有定义函数在函数在 x0 处连续处连续函数在
2、函数在 x0 处可导处可导函数在函数在 x0 处可微处可微3高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社(A) 有界函数有界函数(B) 单调函数单调函数(C) 周期函数周期函数(D) 偶函数偶函数Df (x) 是奇函数，是奇函数，奇奇选择与填空选择与填空选择与填空选择与填空4高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社下列命题不成立的是下列命题不成立的是（ ）.C . 连续的奇函数的原函数是偶函数；连续的奇函数的原函数是偶函数；D . 连续的偶函数的原函数是奇函数。连续的偶函数的原函数是奇函数。A . 可导的奇函数的导函数是偶函数；可导的奇函数的导函数是偶函数；B . 可导的偶函数的导函数是奇函数；可
3、导的偶函数的导函数是奇函数；奇奇偶偶偶偶奇奇D？5高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社下列函数中，是无界函数下列函数中，是无界函数但不是无穷大量的是但不是无穷大量的是 ( ) .D下列命题正确的是下列命题正确的是 ( ) .(A) 无界变量就是无穷大量；无界变量就是无穷大量；(B) 无穷大量是无穷小量的倒数；无穷大量是无穷小量的倒数；(C) f (x) 在点在点 x0 不可导不可导,必在必在 x0 处不连续处不连续;(D) f (x) 在在 a, b 连续连续, 必在必在 a, b 有界。有界。D6高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 a, b 连续，在连续，在
4、( a, b) 可导，可导，下列结论不成立的是下列结论不成立的是 ( ).CA、D 显然成立，显然成立，7高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社则则 f (x) 在在 x = 0 处处 ( ) .(A) 极限不存在极限不存在(B) 极限存在但不连续极限存在但不连续(C) 连续但不可导连续但不可导(D) 可导可导= 0C8高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社若若 f (x) 在在 x = 0 处连续处连续, 则则 _;若若 f (x) 在在 x = 0 处可微处可微, 则则 _。9高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 x0 处可导，且处可导，且B-2-210高等数
5、学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 x = x0 处可微处可微, 且且11高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 x = 0 的某邻域内二阶可导，的某邻域内二阶可导，解：解：= 0 ；= 0 ；12高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 x = 0 的某邻域内二阶可导，的某邻域内二阶可导，= e= e .13高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社函数的增减性与函数的增减性与单调区间单调区间 函数的凹凸区间与函数的凹凸区间与拐点拐点 及其判别及其判别函数的函数的极值极值及其判别条件及其判别条件求函数的求函数的最大值最大值与与
6、最小值最小值作函数的图形，作函数的图形，求渐近线求渐近线 曲线的曲线的切线方程切线方程与与法线方程法线方程 六、六、六、六、 导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用最值的应用最值的应用14高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社 (尖点尖点) 来划分函数的定义区间，讨论来划分函数的定义区间，讨论各区间上各区间上来确定来确定 f (x) 在各在各区间上的单调增减性。区间上的单调增减性。及及 第二充分条件第二充分条件 利用利用 第一充分条件，第一充分条件， 在上述所分区间上，在上述所分区间上，判断函数的极值点，判断函数的极值点，并求出极值。并求出极值。求函数的求函数的单调区间单调区间： (注意取
7、得极值的注意取得极值的必要条件必要条件)求函数的求函数的极值极值：15高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社坐标为坐标为 ( x0, y0 )。 求函数的求函数的凹凸区间凹凸区间与与拐点拐点： 来划分函数的定义区间，讨论各区间上来划分函数的定义区间，讨论各区间上确定确定 f (x) 在各区间上的在各区间上的凹凸性凹凸性 求函数的求函数的最大值最大值与与最小值最小值：求出函数求出函数驻点驻点(或导数不存在的点或导数不存在的点)处处与与端点端点处函数值比较处函数值比较 最大者为最大值，最大者为最大值，最小者为最小值。最小者为最小值。 对综合情况，列表讨论！对综合情况，列表讨论！的函数值，的函数值
8、，凹弧与凸弧的分界点为拐点，凹弧与凸弧的分界点为拐点，16高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社 驻点与极值点的关系驻点与极值点的关系驻点驻点 x0极值点极值点可导可导函数函数的极值点的极值点极值点与最值点的关系极值点与最值点的关系极值点极值点最值点最值点17高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社例题讨论例题讨论一、选择题一、选择题1. 下列结论中正确的是（下列结论中正确的是（ ）A . 是函数的极值点。是函数的极值点。B . 若若 x = x0 是函数是函数 f (x) 的极值点的极值点 ,C . 函数函数 f (x) 在区间在区间 (a, b) 内的极大值内的极大值 一定大于极小值。一
9、定大于极小值。D . 是函数是函数 f (x) 的极大值点。的极大值点。C18高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社满足罗尔定理条件的是满足罗尔定理条件的是 ( ).3. 下列函数中，在下列函数中，在 -1, 1 上上CB19高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社即在即在 x = a 的某领域内，的某领域内，由极限的保号性，由极限的保号性，B20高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社2 .则它在点则它在点 x = _ 处处有极有极 _ 值，其值为值，其值为 _ 。2大大3 .最大值最大值 = _，最小值最小值 = _。= 021高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社在在 x0 处的切线
10、方程：处的切线方程：在在 x0 处的法线方程：处的法线方程： 曲线的切线方程与法线方程曲线的切线方程与法线方程22高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社处的切线方程。处的切线方程。解：解：参数方程中含有隐函数参数方程中含有隐函数，方程两边对方程两边对 t 求导：求导： t = 0 时，时，求切线斜率求切线斜率tt23高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社将边长为将边长为 l 的正三角形铁皮的三只角的正三角形铁皮的三只角剪掉，做成如图的三个全等四边形后，将剪掉，做成如图的三个全等四边形后，将边折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，当边折起，做成一个无盖正三棱柱盒子，当剪去的剪去的 x 为何值时，盒
11、子的容积最大？为何值时，盒子的容积最大？xABCDl设三棱柱的高为设三棱柱的高为 h , 解：解： 函数最值问题的应用函数最值问题的应用24高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社目标函数目标函数舍去；舍去；为为D内内唯一驻点唯一驻点，问题中存在最大值，问题中存在最大值，25高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社已知一点已知一点 (x0, y0) 过此点作一直线，使它在两坐标轴上的过此点作一直线，使它在两坐标轴上的 截距都为正，且使截距之和为最小，截距都为正，且使截距之和为最小，求此直线方程求此直线方程 。解：解：设所求直线设所求直线k求截距：求截距：与与 x 轴的截距轴的截距 X =与与
12、y 轴的截距轴的截距 Y =26高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社k为为D内唯一驻点，内唯一驻点， 0，且为最小值点且为最小值点； 所求直线方程：所求直线方程：27高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社求单位球内接正圆锥体的最大体积。求单位球内接正圆锥体的最大体积。作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段作切线，使此切线被两坐标轴所截的线段长度为最短，并求此最短长度。长度为最短，并求此最短长度。解：解：设设 P(x0, y0),xy0Px0则则 P点处切线方程：点处切线方程：( 复习一下物体的面积、体积公式等复习一下物体的面积、体积公式等 )98 级级 考题中：考题中：28高等数学A(一)
13、复习资料及上海大学出版社xy0Px0P点处切线方程：点处切线方程：l线段长度线段长度xy29高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社为唯一驻点为唯一驻点，问题中存在最小值，问题中存在最小值，最短长度最短长度30高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社 函数的性态与作图函数的性态与作图作图步骤：作图步骤：1 7考察函数的定义域与奇偶性考察函数的定义域与奇偶性函数的一阶与二阶函数的一阶与二阶导数必须求准导数必须求准把把驻点驻点等代入等代入相应导数相应导数中判断符号中判断符号判断有无判断有无渐近线渐近线拐点要用拐点要用点的坐标点的坐标表示表示31高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社1 . 零点定
14、理零点定理（证明方程根的存在性）（证明方程根的存在性）2 . 介值定理介值定理4 . 罗尔定理罗尔定理（证明导函数的零点存在）（证明导函数的零点存在）5 . 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理（导数导数与增量比的关系与增量比的关系，证明不等式）证明不等式）3 . 最大最小值定理最大最小值定理 七、七、七、七、 利用定理进行证明利用定理进行证明利用定理进行证明利用定理进行证明6 . 利用函数单调性证明不等式利用函数单调性证明不等式7 . 泰勒公式泰勒公式32高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社 L L 定理的条件与结论：定理的条件与结论：及其它定理的条件与结论及其它定理的条
15、件与结论, ,知道：知道：泰勒公式的展开式及余项的形式。泰勒公式的展开式及余项的形式。罗尔定理罗尔定理闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 ( (条件与结论条件与结论) )33高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证明函数证明函数可微性可微性的主要方法：的主要方法：利用函数的连续性找利用函数的连续性找 f (x0) 利用导数的定义利用导数的定义利用利用 L 中值定理中值定理利用函数极限与无穷小的关系利用函数极限与无穷小的关系34高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系35高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证明证明不等式不等式的常用方法
16、：的常用方法：作出适当的函数作出适当的函数利用函数的单调性利用函数的单调性求出函数的最值（当函数不单调时）求出函数的最值（当函数不单调时）利用利用 L中值定理中值定理 （当不等式有增量形式时）（当不等式有增量形式时） 利用泰勒公式利用泰勒公式36高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证明证明恒等式恒等式的常用方法：的常用方法：利用罗尔定理（要验证条件）利用罗尔定理（要验证条件）利用利用 L 中值定理中值定理利用利用 L 中值定理的推论：中值定理的推论：无具体函数时，无具体函数时，从从结论结论出发找出发找 辅助函数辅助函数 F(x) 。37高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证明方程证明方
17、程 f (x) = 0 有根有根证明方程证明方程根根的的存在性存在性与与唯一性唯一性：零点定理零点定理证明方程证明方程 f (x) = 0 有根有根罗尔定理罗尔定理证明方程证明方程 根的唯一性根的唯一性 利用函数的单调性利用函数的单调性 利用罗尔定理反证利用罗尔定理反证38高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证：证：= A 0 = 0 39高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证：证：= 0 ，得证。得证。证明不等式证明不等式40高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证一：证一：得证。得证。由由 L定理定理41高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社证二：证二：= 0 ,42高等数学A
18、(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 0, c 连续，在连续，在 ( 0, c) 可导，可导，43高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 0,1 连续，在连续，在 ( 0, 1) 可导，可导，证明：证明：证证:(1)且在且在 0,1 连续，连续，由介值定理，由介值定理，若由此证明若由此证明44高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 0,1 连续，在连续，在 ( 0, 1) 可导，可导，证明：证明：(2)分析：分析：45高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设 f (x) 在在 0,1 连续，在连续，在 ( 0, 1) 可导，可
19、导，证明：证明：(2)解：解：且在且在 0,1 连续连续, 在在 ( 0, 1) 可导，可导，由罗尔定理，由罗尔定理，46高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社结论中结论中47高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社设设f (x)在在 0,1连续连续, 在在( 0, 1)可微，可微，且且f (0)= 0,证明如果证明如果 f (x) 在在 0, 1上不恒等于零，上不恒等于零，证：证： 由结论，由结论，且在且在( 0, 1)可导，可导，又又 F(x) 在在 0, x0 上满足上满足 L 定理，定理，48高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社泰勒公式泰勒公式= 1 ，证：证：= 0 + x 49高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社= 1 ，证二：证二： x = 0 为极小值点，为极小值点，= 0 .50高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社认真复习认真复习善于总结善于总结动笔计算动笔计算51高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社52高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社祝同学们祝同学们 顺利愉快地顺利愉快地 进入第二学期！进入第二学期！53高等数学A(一)复习资料及上海大学出版社
