《北师大版数学必修四课件：1.5.3正玄函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修四课件：1.5.3正玄函数的性质（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版1.1.确定函数定义域的依据确定函数定义域的依据(1)(1)分式中，分母不能为零分式中，分母不能为零. .(2)(2)偶次根式中，被开方式非负偶次根式中，被开方式非负. .(3)(3)指数式中，底数为指数式中，底数为0 0时指数必然大于时指数必然大于0.0.(4)(4)对数式中，底数大于零且不等于对数式中，底数大于零且不等于1,1,真数大于零真数大于零. .求函数的定义域求函数的定义域2.2.解三角不等式解三角不等式sinxsinxm(m(或或sinxsinxm)m)的一般步骤的一般步骤. . 利用图像解不等式利用图像解不等式sinxsinxm(m(或或m)
2、m)的关键就的关键就是求方程是求方程sinx=msinx=m的解，也就是求函数的解，也就是求函数y=sinx,xRy=sinx,xR的图像与的图像与直线直线y=my=m的交点横坐标的交点横坐标. .【例例1 1】求下列函数的定义域求下列函数的定义域(1)(1)(2) (2) 【审题指导审题指导】本题中有二次根式、对数式、分式，可利用本题中有二次根式、对数式、分式，可利用求函数定义域的依据，列出不等式求函数定义域的依据，列出不等式( (组组) )，通过解不等式，通过解不等式( (组组) )求出定义域求出定义域. .【规范解答规范解答】(1)(1)为使函数有意义，需要满足为使函数有意义，需要满足s
3、inx0sinx0，由，由正弦函数的图像可知正弦函数的图像可知2kx2k+2kx2k+，kZ.kZ.原函数的定义域为原函数的定义域为x x2kx2k+2kx2k+，kZkZ. .(2)(2)为使函数有意义，需要满足为使函数有意义，需要满足即即方法一：画正弦函数的图像方法一：画正弦函数的图像( (如图所示如图所示) )方法二：画单位圆方法二：画单位圆( (如图所示如图所示) )由图像可知原函数的定义域为由图像可知原函数的定义域为 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断(1)(1)依据：函数奇偶性的定义依据：函数奇偶性的定义. .(2)(2)方法：方法：求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称求函数
4、的定义域，并判断定义域是否关于原点对称. .函数奇偶性的判断及应用函数奇偶性的判断及应用若定义域不关于原点对称，则知原函数既不是奇函数，若定义域不关于原点对称，则知原函数既不是奇函数，也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则继续判断也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则继续判断f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)的关系的关系. .若若f(x)=-f(-x)f(x)=-f(-x)，则知，则知f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .若若f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)，则知，则知f(x)f(x)是偶函数是偶函数. . 对于正弦函数要注意诱导公式对于正弦函数要注意诱导公式sin(-x)=si
5、n(-x)=-sinx-sinx的应用的应用. .【例例2 2】判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=xsin(+x).(1)f(x)=xsin(+x).(2)(2)(3) (3) 【审题指导审题指导】解答本题要注意以下两个关键问题解答本题要注意以下两个关键问题:(1):(1)先判先判断定义域是否关于原点对称断定义域是否关于原点对称.(2).(2)注意用诱导公式及对数的注意用诱导公式及对数的运算性质变形，判断运算性质变形，判断f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)的关系的关系. .【规范解答规范解答】(1)(1)函数函数f(x)=xsin(+x)f(x)=xsin(+x)的
6、定义域为的定义域为R.R.f(x)=xsin(+x)=x(-sinx)=-xsinxf(x)=xsin(+x)=x(-sinx)=-xsinxf(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)函数函数f(x)=xsin(+x)f(x)=xsin(+x)是偶函数是偶函数. .(2)(2)由由2sinx-102sinx-10，即，即 ，得函数定义域为，得函数定义域为 (kZ)(kZ)，此定义域在此定义域在x x轴上表示的区域不关于原点对称轴上表示的区域不关于原点对称. .该函数既不是奇函数，也不是偶函数该函数既不是奇函数，也不是
7、偶函数. .(3)(3)函数的定义域为函数的定义域为R R函数函数 是奇函数是奇函数. .1. 1. 对正弦函数单调性的理解对正弦函数单调性的理解(1)(1)正弦函数在定义域正弦函数在定义域R R上不是单调函数上不是单调函数. .(2)(2)因为正弦函数是周期函数，周期为因为正弦函数是周期函数，周期为22，所以研究正弦，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内函数的单调性，只要研究一个周期内( (如如0,2)0,2)的单调性的单调性即可即可. .正弦函数的单调性及应用正弦函数的单调性及应用2.2.利用单调性比较三角函数值的大小的步骤利用单调性比较三角函数值的大小的步骤(1)(1)异名函数化
8、为同名函数异名函数化为同名函数. .(2)(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上利用诱导公式把角化到同一单调区间上. .(3)(3)利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性比较大小. .【例例3 3】利用正弦函数的单调性，比较下列各对值的大小利用正弦函数的单调性，比较下列各对值的大小. .(1)sin190(1)sin190与与sin200sin200；(2) (2) 与与 ；(3) (3) 与与 . .【审题指导审题指导】解答本题的关键是对函数解析式恰当化简，解答本题的关键是对函数解析式恰当化简，利用利用y=sinxy=sinx在区间在区间 是增加的判断函数值的大小是增加的判断函数值的大小
9、. .【规范解答规范解答】(1)sin190(1)sin190=-sin10=-sin10,sin200,sin200=-sin20=-sin20, ,y=sinxy=sinx在在 上是增加的上是增加的, ,sin10sin10sin20sin20,-sin10,-sin10-sin20-sin20, ,即即sin190sin190sin200sin200. .(2)y=sinx(2)y=sinx在在 上是增加的，上是增加的，(3)(3)y=sinxy=sinx在在 上是增加的上是增加的, ,且且 , , 关于三角函数复合函数问题的常见题型关于三角函数复合函数问题的常见题型(1)(1)化为关于
10、化为关于sinxsinx的一次函数，再利用换元法求一次函数在的一次函数，再利用换元法求一次函数在限定区间上的最大值、最小值限定区间上的最大值、最小值. .(2)(2)化为关于化为关于sinxsinx的二次函数，再利用换元、配方等方法求的二次函数，再利用换元、配方等方法求二次函数在限定区间上的最大值、最小值二次函数在限定区间上的最大值、最小值. .求复合函数的最大值、最小值求复合函数的最大值、最小值【例例】已知函数已知函数f(x)=-sinf(x)=-sin2 2x+2asinx+a-1x+2asinx+a-1，xRxR，写出函数，写出函数f(x)f(x)的最大值的解析表达式的最大值的解析表达式
11、g(a).g(a).【审题指导审题指导】把把sinxsinx看作一个看作一个“整体整体”，原函数是二次函，原函数是二次函数数. .因此解答本题可以先求出因此解答本题可以先求出t=sinx, xRt=sinx, xR的取值范围，然的取值范围，然后求出函数后求出函数y=-ty=-t2 2+2at+a-1+2at+a-1的最大值的最大值. .【规范解答规范解答】令令t=sinxt=sinx则由则由xRxR知知-1t1,-1t1,于是原函数化为于是原函数化为y=-ty=-t2 2+2at+a-1+2at+a-1，t-1,1,t-1,1,y=-(t-a)y=-(t-a)2 2+a+a2 2+a-1,+a
12、-1,若若a a-1-1，则当，则当t=-1t=-1时时y=f(x)y=f(x)取得最大值取得最大值, ,g(a)=-a-2,g(a)=-a-2,若若-1a1-1a1，则当，则当t=at=a时时y=f(x)y=f(x)取得最大值取得最大值, ,g(a)= ag(a)= a2 2+a-1,+a-1,若若a a1 1，则当，则当t=1t=1时时y=f(x)y=f(x)取得最大值取得最大值, ,g(a)=3a-2,g(a)=3a-2,综上可知综上可知【典例典例】(12(12分分) )求关于求关于x x的函数的函数y=asinx+b(a,bR,a0)y=asinx+b(a,bR,a0)的最的最大值、最
13、小值大值、最小值. .【审题指导审题指导】本例中函数的自变量为本例中函数的自变量为x x，因此从总体看此函数，因此从总体看此函数为一次函数模型，且一次项系数为一次函数模型，且一次项系数a a符号不定符号不定. .因此解答本题的因此解答本题的关键是在求出关键是在求出sinxsinx的取值范围后，利用一次函数的单调性分的取值范围后，利用一次函数的单调性分类讨论类讨论. .【规范解答规范解答】由由xRxR知知-1sinx1 -1sinx1 1 1分分若若a a0 0，则，则当当sinx=1sinx=1时，函数时，函数y=asinx+by=asinx+b取最大值，最大值为取最大值，最大值为a+ba+b
14、3 3分分当当sinx=-1sinx=-1时，函数时，函数y=asinx+by=asinx+b取最小值，最小值为取最小值，最小值为b-a.b-a.6 6分分若若a a0 0，则，则当当sinx=-1sinx=-1时，函数时，函数y=asinx+by=asinx+b取最大值，最大值为取最大值，最大值为b-a.b-a.9 9分分当当sinx=1sinx=1时，函数时，函数y=asinx+by=asinx+b取最小值，最小值为取最小值，最小值为a+b.a+b.1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1. 1. 的定义域为的定义域为( )
15、( )(A)R (B)(A)R (B)x|xkx|xk，kZkZ(C)-1,0)(0,1 (D)(C)-1,0)(0,1 (D)x|x0x|x0【解析解析】选选B.B.由由sinx0sinx0得得xkxk，kZ,kZ,所以原函数的定义所以原函数的定义域为域为x|xkx|xk，kZkZ. .2.2.函数函数 的奇偶性为的奇偶性为( )( )(A)(A)奇函数奇函数 (B)(B)偶函数偶函数 (C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 (D)(D)非奇非偶函数非奇非偶函数【解析解析】选选A. A. 函数函数 的定义域为的定义域为R.R.令令 , ,则则 , ,所以所以 是奇函数是奇函数.
16、 .3.3.函数函数y=-sinxy=-sinx的递增区间是的递增区间是( )( )(A) (kZ)(A) (kZ)(B) (kZ)(B) (kZ)(C)2k,2k+(kZ)(C)2k,2k+(kZ)(D)2k-,2k(kZ)(D)2k-,2k(kZ)【解析解析】选选B.B.函数函数y=-sinxy=-sinx的图像与函数的图像与函数y=sinxy=sinx的图像关于的图像关于x x轴对称轴对称. .根据图像可知根据图像可知y=-sinxy=-sinx的递增区间是的递增区间是 (kZ).(kZ).4.4.函数函数y=2sinx( )y=2sinx( )的值域是的值域是_._.【解析解析】画出函
17、数画出函数y=2sinx( )y=2sinx( )的图像如图所示，由的图像如图所示，由图像可知该函数的值域为图像可知该函数的值域为(0,2(0,2答案答案: :(0,2(0,25.5.令令 ，则，则a a与与b b的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】 ，y=sinxy=sinx在在 上是增加的，上是增加的，且且 ， ， 即即a ab.b.答案答案: :a ab b6.6.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x x的值，并分的值，并分别写出最大值、最小值别写出最大值、最小值. .(1)y=1-2sinx (2)(1)y=1-2sinx (2)【解析解析】(1)(1)当当 (kZ)(kZ)时，函数取得最大值时，函数取得最大值3.3.当当 (kZ)(kZ)时，函数取得最小值时，函数取得最小值-1.-1.(2)(2)当当 (kZ)(kZ)时，函数取得最大值时，函数取得最大值 . .当当 (kZ)(kZ)时，函数取得最小值时，函数取得最小值 . .
